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第一章《三角形》单元自测卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．用长度分别为和的两根木棒与另一根木棒首尾相连围成一个三角形，则另一根木棒的长可能为（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．， B．，，
C．，， D．，，
3．游戏时，3名同学在活动区内的同一点处同时出发，先跑出活动区者获胜．为使游戏公平，出发点最适当的位置应设置在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
4．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，线段分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（ ）
A．点D到和的距离相等 B．
C． D．
8．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．如图，在中，，，若，则的长为________．
10．已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____．
11．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）．
12．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________．
13．如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________．
14．如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则_____．
15．如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______．
16．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等．
三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。
17．如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数．
18．已知，，是的三边长．
(1)若，试判断的形状．
(2)化简：．
19．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)若，，，求的周长．
20．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
21．如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由．
22．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接．
(1)连接，，若，求的周长；
(2)若，求证：平分．
23．如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足．
(1)_____．
(2)求证：；
(3)求证：是等腰直角三角形；
(4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等）
24．解决以下问题
感知：如图①，平分，，，易知：．
探究：
(1)如图②，平分，，，求证：．
应用：
(2)如图③，四边形中，，，，求的值（用含a的代数式表示）
25．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________；
(3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________．
26．【模型构建】
如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系．
(1)求证：
【深入探究】
(2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明；
【拓展应用】
(3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值．
27．综合探究
【初步探索】
(1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________．
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
(3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．C
解：设另一根木棒的长度为，
∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
已知两边长分别为和，
∴，
化简得，
观察选项，只有满足．
2．C
解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意；
B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意；
C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意；
D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意．
3．A
解：∵游戏公平要求三名同学从出发点到活动区边界（即三边）的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离都相等，
∴最适当的位置是三条角平分线的交点．
4．B
解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
5．C
解：由作图可得，垂直平分，
∴，
∴的周长为．
6．B
解：连接，，
∵是等边三角形的角平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长．
又∵是中点，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴．
7．D
解：∵线段分别是的角平分线、中线和高线，
∴点D到和的距离相等，，，，
∴错误的是选项D.
8．C
解：，，，
，，
把折叠，使落在上，点与上的点重合，
，
，，，
在和 CBO中，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
图中共有4对全等三角形，故①正确；
，
，
，
，
将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，，
，
，故③正确；
连接，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
二、填空题
9．6
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
10．
解：∵三角形的三边长分别为1，，4，
∴，即，
∴，
∴．
11．①
解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形；
②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形．
12．3
解：∵是中线，，
∴，
∵的面积为8，
∴，
过点作于点，过点作于点，如图，
∵是角平分线，
∴，
∵，，，
∴，
则，
∵，
∴，
则．
13．
解：是的角平分线，
，
，
，
，
∴ BAE≌ FAE（ASA），
，
，
．
14．
解：由折叠的性质得：，，，，
∵，
∴，即，
∵四边形的面积是，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴．
15．
解：如图：连接
，
∵等边，
∴，，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．2或4
解：∵，，
∴；
∴当与全等时，只存在和这两种情况，
当时，则，
∴运动时间为；
当时，则，
∴运动时间为；
综上所述，当运动或时，与全等．
三、解答题。
17．解：∵，
∴，
∴，即
由图可知，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
18．（1）解：∵，
，且，
，
为等边三角形．
（2）解：∵，，是的三边长，
∴，，，
∴：．
19．(1)，理由如下：
，
∴ ，
，
∴，
平分 ，
∴，
，
∴；
（2）解：，
∴，
，
∴，
，
∴的周长为．
20．(1)证明：，点是的中点，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：由（1）得是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∵点是的中点，
．
21．(1)证明：是的角平分线，
，，
，
，，
，
在和中，
，
∴，
．
(2)，
理由：，D是中点，
是的垂直平分线，
，
由（1）得，，
，
．
22．（1）解：如图，连接，
∵垂直平分，
，
同理：，
的周长．
(2)证明：，垂直平分，垂直平分，
，，
，
平分．
23．（1）解：∵点在的延长线上，
∴．
(2)证明：∵，，
∴，
在和中，，
∴．
(3)证明：由（2）可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（4）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为．
24．(1)证明：如图②中，作于，交的延长线于，
∵平分，，，则
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：如图③，连接、作于，交的延长线于，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴
∴，
∴．
25．（1）解：如图，过点A作，
则 ，
，
∴；
（2）解：∵ BEC和 是等高三角形，
∴ ，
∴；
∵和 BEC是等高三角形，
∴ ，
∴；
（3）解：∵ BEC和 是等高三角形，
∴ ，
∴；
∵和 BEC是等高三角形，
∴ ，
∴．
26．(1)证明：，
，
即，
在与中，
，
，
(2)．
证明：和为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
∴，
（3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，
点M到的距离为1，的面积为3.6，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
点M为的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
∴，
．
27．（1）解：延长到点，使．再连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)仍然成立，理由如下：
延长到点，使得，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴，
∴．

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