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2025-2026学年山西省朔州市 怀仁市某校八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题
1.化简的结果为( )
A. B. C. D.
2.在公共场所，各类消防标识发挥着重要作用下列消防相关标志中属于中心对称图形的是( )
A. 灭火器 B. 地上消防栓
C. 灭火设备 D. 消防手动启动器
3.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在 中，，平分交于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量单位：的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
6.在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的( )
A. 三条中线的交点处
B. 三条高线的交点处
C. 三条角平分线的交点处
D. 三条边的垂直平分线的交点处
7.如图，在中，平分交于点，过点作，垂足为，交于点若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在 中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.在物理学中，物体的密度等于物体的质量与它的体积之比，即已知物体的密度是物体密度的倍，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大若根据题意列出方程则方程中表示的意义是( )
A. 物体的密度 B. 物体的密度 C. 物体的体积 D. 物体的体积
10.如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.不等式的负整数解为 ．
12.要使分式有意义，则的取值范围为 ．
13.将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是
14.如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为 ．
15.如图，在 中，，点是的中点，点在边上，连接，若，，，则的长为 ．
三、解答题
16.按要求解答
因式分解：；．
解不等式组，并把该不等式组的解集表示在数轴上．
17.先化简，再求值：，其中．
18.解分式方程．
；
．
19.如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，延长至点，使得，连接求证：．
20.如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，在网格中建立平面直角坐标系，已知中两个顶点的坐标分别为，．
请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标；
将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格中画出，点，，的对应点分别是，，；
在的条件下，请在图中画出，绕点顺时针旋转得到的，点，的对应点分别是，，并直接写出点的坐标．
21.阅读与思考
下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
垂中平行四边形
【定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，且这条垂线与平行四边形的一条边的交点恰好是该边的中点，那么这个平行四边形叫作“垂中平行四边形”，垂足叫作“垂中点”例如，如图，在 中，过点作，垂足为，交边于点，且满足即为的中点，所以 为“垂中平行四边形”，点为“垂中点”．
【性质探究】性质：如图，．
性质：如图，在垂中平行四边形中，点是“垂中点”，可得具体证明过程如下：
证明：如图，取的中点，连接，交于点，取的中点，连接．
四边形是平行四边形，，，，．
点，分别是，的中点，，．
又，即，
四边形是平行四边形．
，即．
点是垂中点，
，．
点，分别是，的中点，，依据．
四边形是平行四边形．
任务：
笔记中的“依据”指的是______．
请补全性质的证明过程．
如图，在中，于点，且，请画出以为边的垂中平行四边形，点是“垂中点”要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
22.某水果店依托山西特色产品资源，准备购进一批质量相等的隰县玉露香梨和运城红富士苹果，其中购进玉露香梨花费元，购进红富士苹果花费元已知每千克玉露香梨的进价比每千克红富士苹果的进价贵元．
分别求每千克玉露香梨和红富士苹果的进价．
若该水果店决定购进这两种水果共千克，且总费用不超过元，玉露香梨每千克售价元，红富士苹果每千克售价元，通过计算说明怎样进货能使利润最大，最大利润是多少．
23.综合与探究
问题情境：如图，在等腰三角形中，，，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，．
初步探究：
如图，与交于点，当经过的中点时，连接，判断的形状，并说明理由．
如图，在旋转过程中，与交于点，与交于点，试判断，与之间的数量关系，并说明理由．
拓展研究：
在旋转过程中，直线与直线交于点，连接若，当直线与垂直时，请直接写出的面积．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】；
，
17.【答案】，．
18.【答案】

19.【答案】在中，点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
20.【答案】平面直角坐标系，如图：
点的坐标为
，如图：
，如图：
点的坐标为
21.【答案】三角形中位线定理
如图，取的中点，连接，交于点，取的中点，连接．
四边形是平行四边形，
，，．
点，分别是，的中点，
，，
．
又，即，
四边形是平行四边形，
，即．
点是垂中点，
，
．
点，分别是，的中点，
，三角形中位线定理，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
以为边的垂中平行四边形，点是“垂中点”，如图即为所求．

22.【答案】每千克玉露香梨进价为元，每千克红富士苹果进价为元
购进玉露香梨千克，红富士苹果千克时利润最大，最大利润为元；计算：设购进玉露香梨千克，则购进红富士苹果千克，利润为元，
，
，
随的增大而增大，
总费用不超过元，
，
解得，
当时，取得最大值元．
答：购进玉露香梨千克，红富士苹果千克时利润最大，最大利润为元
23.【答案】是等腰三角形；理由如下：
如图，连接，
在等腰三角形中，，，是中点，
，．
由旋转得，
是等边三角形，
，
，
．
是等腰三角形
；理由如下：
如图，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，
由旋转得，，，
，，
≌，
，
的面积为或
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