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四川省成都市高新技术产业开发区成都东部新区第七中学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）已知点P（1﹣a，2）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．﹣1或3
2．（4分）在﹣1.414，，π，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（4分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．b2＝a2+c2 D．a：b：c＝1：1：2
4．（4分）适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60～80次/分、某班班主任随机测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示：
心率/（次/分） 60 68 70 73 80
人数/名 2 5 5 1 2
这15名学生的心率的中位数是（　　）
A．65次/分 B．67.5次/分 C．70次/分 D．72.5次/分
5．（4分）下列命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．若a2＝b2，则a＝b
C．直角都相等
D．等边三角形的三个内角都相等
6．（4分）若点P（a，b）在直线y＝2x+1上，则代数式4a﹣2b+1的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．2 D．0
7．（4分）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则剩下一棵树没乌鸦．”设树x棵，乌鸦y只．依题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．30°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）若a，b为实数，且满足，则ab＝　 　 ．
10．（4分）某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占60%，面试成绩占40%，应聘者张华的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是　 　 分．
11．（4分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2026的值为　 　 ．
12．（4分）如图，一圆柱体的底面圆周长为10cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是　 　 cm．
13．（4分）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为　 　 °．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）计算
（1）计算：；
（2）解方程组：．
15．（8分）为了让初中生更加直观的体验非遗手工技艺，感受非遗文化的独特魅力，培养他们对优秀传统文化的兴趣，积极参与到非物质文化遗产的保护和传承中来，某校举办了非遗知识进课堂活动，选定木偶戏、四面花鼓、说春、船工号子四类非遗项目，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的非遗项目，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查的学生人数为　 　 ，并将条形统计图补充完整；
（2）被调查学生最喜欢的非遗项目所对圆心角度数是　 　 °．
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校喜欢“木偶戏”的学生人数．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积．
17．（10分）某中学物理组的教师们，需要购置某种教学仪器．经物理组教师讨论，现有以下两种购置方案：
方案一：到商店直接购买成品，每件仪器单价为8元；
方案二：教师自己制作，需购买原材料，每件仪器所需原材料费用为4元，另需支付制作工具租金120元．
设现在教师需要教学仪器x件，方案一的总费用为y1元，方案二的总费用为y2元．
（1）写出y1，y2关于x的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围）
（2）当添置教学仪器多少件时，两种方案所需的总费用相同？
（3）若教师计划添置教学仪器60件，则采用哪种方案更便宜？
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，0），点B（3，0），点C（0，3）．直线l经过点C，并与x轴交于点D（6，0）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）点P是直线l上一动点且△ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）若点Q是直线AC上一动点，使得△ABQ是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知，则（x+y）（x﹣y）＝　 　 ．
20．（4分）小明解方程组，得出的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和□，则□＝ 　 　 ．
21．（4分）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝12，BE＝12.5，则AB的长是 　 　 ．
22．（4分）定义：如图1，在平面直角坐标系中任意两点P，Q满足，若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点互为轴距等点．已知，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b经过点D（﹣1，﹣4），且与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是平面内一点，且C，D两点互为轴距等点，连接AC，BC，当∠CBA＝90°时，则C点坐标为　 　 ．
23．（4分）如图，△ABC为等边三角形，D是AB边上一点，E是BC边上一点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，点B与点F对应，EF和DF分别交AC于点M，N，若DF⊥AB，AD＝1，EC＝2，则△NMF的面积为 　 　 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；3辆中级型汽车比2辆紧凑型汽车的进价多40万元．
（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能获得最大利润？求出最大利润是多少万元？
25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，D，E是AC边上两点，BD平分∠ABC，AE＝DE．
（1）求证：AD＝BD；
（2）若，求线段AC的长；
（3）点F是射线BE上一点，若∠DFE＝30°，求的值．
26．（12分）如图1，直线AB与x轴，y轴于A，B（0，1）两点，直线l：y＝﹣2x+6与直线AB交于点C（a，a），与x轴交于点D，点P（0，m）是y轴上一动点．
（1）求点C的坐标与直线AB的解析式；
（2）若∠OAB+∠OAP＝45°，求m的值；
（3）如图2，连接PA，PC，将△APC沿PC翻折，若当点A的对应点A刚好落在直线l上，求此时点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1． D．
2． C．
3． D．
4．C
5．B
6．B
7．B
8．C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．﹣12．
10．
93．
11．1
12． ：．
13． 40．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14． 解：（1）原式＝41+4﹣2
＝21+4﹣2
＝3；
（2），
由①得：y＝2x﹣4③，
把③代入②得：x+2＝2（2x﹣4﹣1），
解得x＝4，
把x＝4代入③得：
y＝2×4﹣4＝4，
∴方程组的解为．
15． 解：（1）40×20%＝200（人），
∴喜欢“说春”的人数为：200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全条形统计图：
故答案为：200；
（2）360°144°，
答：被调查学生最喜欢的非遗项目所对圆心角度数是144°．
故答案为：144；
（3）1200360（人），
答：估计全校最喜欢“木偶戏”的学生人数为360人．
16．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵AC，AB2，BC，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．并求出△A1B1C1的面积
△A1B1C1的面积＝2×32×21×1﹣11×3＝2．
17． 解：（1）y1＝8x，y2＝4x+120；
（2）依题意y1＝y2，
即8x＝4x+120，
∴x＝30，
∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；
（3）把x＝60分别代入y1＝8x，y2＝4x+120中，
得y1＝8×60＝480，y2＝4×60+120＝360，
∵y1＞y2，
∴当需要的仪器为60件时，选择方案二费用便宜．
18． 解：（1）设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx+3；
（2）设P（t，t+3），
∵A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∴|t+3|＝12，
解得t＝﹣2或t＝14，
∴P（﹣2，4）或（14，﹣4）；
（3）设直线AC的解析式为y＝k'x+3，
∴﹣3k'+3＝0，
解得k'＝1，
∴y＝x+3，
设Q（m，m+3），
当AB＝AQ时，3|m+3|，
解得m＝0（舍）或m＝﹣6，
∴Q（﹣6，﹣3）；
当AB＝BQ时，3|m|，
解得m＝3或m＝﹣3（舍），
∴Q（3，6）；
当AQ＝BQ时，|m+3||m|，
解得m，
∴Q（，）；
综上所述：Q点坐标为（﹣6，﹣3）或（，）或（3，6）．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19． 解：x，y，
则x+y＝（）+（）＝2，x﹣y＝（）﹣（）＝﹣2，
∴（x+y）（x﹣y）＝2（﹣2）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
20．解：把x＝3代入方程2x﹣y＝12，得2×3﹣y＝12，
解得：y＝﹣6，即□＝﹣6．
故答案为：﹣6．
21． 解：延长BE交AD于点F，
∵AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，
∴BC∥AD，∠A＝90°，
∴∠C＝∠D，
∵点E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BE＝FE＝12.5，BC＝AF＝5，
∴BF＝BE+FE＝25，
∵AD＝12，
∴AF＝AD﹣AF＝7，
∴AB24，
故答案为：24．
22． 解：由题意，∵直线y＝2x+b经过点D（﹣1，﹣4），
∴﹣2+b＝﹣4，则b＝﹣2．
∴直线为y＝2x﹣2．
∴A（1，0），B（0，﹣2）．
∵∠CBA＝90°，
∴直线BC与直线AB垂直，故可设直线BC为yx+m．
又过B（0，﹣2），
∴m＝﹣2．
∴直线BC为yx﹣2．
∴可设C（c，c﹣2）．
∵C，D两点互为轴距等点，且D（﹣1，﹣4），
∴|c|+|c﹣2|＝1+4＝5．
∴c＝2或．
∴C（2，﹣3）或（，）．
故答案为：（2，﹣3）或（，）．
23． 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADN＝90°，
在Rt△ADN中，AD＝1，∠AND＝90°﹣∠A＝30°，
∴AN＝2AD＝2，
由勾股定理得：DN，
由折叠性质得：BD＝FD，BE＝FE，∠F＝∠B＝60°，
在△FMN中，∠FNM＝∠AND＝30°，
∴∠FMN＝180°﹣（∠FNM+∠F）＝180°﹣（30°+60°）＝90°，
∴∠EMC＝∠FMN＝90°，
∴△FMN和△ECM都是直角三角形，
在Rt△FMN中，设FM＝a，
∵∠FNM＝30°，
∴FN＝2FM＝2a，
由勾股定理得：MN，
∴FD＝DN+FN，
∴BD＝FD，
∴AB＝AD+BD，
在Rt△ECM中，EC＝2，∠CEM＝90°﹣∠C＝30°，
∴CM＝1/2EC＝1，
由勾股定理得：EM，
∴FE＝EM+FM，
∴BE＝FE，
∴CB＝BE+EC，
∵AB＝CB，
∴，
解得：a＝1，
∴FM＝a＝1，MN，
∴△NMF的面积为：MN FM．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24． 解：（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元；
（2）设购进中级型汽车a辆，销售利润为万元，
由题意得：25≤a≤100，
∴w＝（26﹣24）a+（20﹣16）（100﹣a）＝﹣2a+400，
∵﹣2＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝25，w取最大值，最大值为﹣2×25+400＝350，
∴100﹣25＝75（辆），
答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能能获得最大利润，最大利润是350万元．
25． （1）证明：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD；
（2）解：在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，
设CD＝x，则BD＝2CD＝2x，
∴BCx，
∵AD＝BD＝2x，AE＝DE，
∴AE＝DE＝x，
∴CE＝CD+DE＝2x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，
即3x2+4x2＝7，
解得x＝1（负值舍去），
∴AC＝CD+AD＝3x＝3；
（3）解：设AE＝DE＝1，
由（2）知CD＝1，BD＝2，BC，BE，
∴AB＝2BC＝2，
当点F在线段BE上时，
如图，过D作DH⊥EF于点H，
设DHm则EH＝2m，
在Rt△DEH中，DH2+EH2＝DE2，
即3m2+4m2＝1，
解得m，
∴，DH，
∵∠DFE＝30°，
∴FHDH，
∴EF＝EH+FH，BF＝BE﹣EF，
∴；
当点F在射线BE上时，如图，
此时同第一种情况：FH，
∴EF＝FH﹣EH，BF＝BE+EF，
∴；
综上，的值为或8．
26． 解：（1）∵y＝﹣2x+6与直线AB交于点C（a，a），
∴a＝﹣2a+6，
∴a＝2，
∴C（2，2）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为yx+1；
（2）①当点P在y轴的负半轴时，m＜0，过点B作BE⊥AP于点E，如图，
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵B（0，1），
∴OB＝1，
∴AB．
∵点P（0，m），
∴OP＝﹣m，
∴AP，BP＝OB+OP＝1﹣m．
∵∠OAB+∠OAP＝45°，
∴∠BAP＝45°，
∵BE⊥AP，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴BEAB．
∵，
∴（1﹣m）×2，
∴m或m＝6，
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
∴m；
②当点P在y轴的负半轴时，m＞0，作出点B关于x轴的对称点B′，过点P作PE⊥AB′于点E，如图，
则B′（0，﹣1），∠BAO＝∠B′AO，
∴OB′＝1，
∴AB′．
∵点P（0，m），
∴OP＝m，
∴AP，BP＝OB+OP＝1+m．
∵∠OAB+∠OAP＝45°，
∴∠B′AP＝45°，
∵PE⊥AB′，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PEAP．
∵，
∴（1+m）×2，
∴m或m＝﹣6，
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
∴m．
综上，若∠OAB+∠OAP＝45°，m的值为±；
（3）过点C作CE⊥OD于点E，CH⊥y轴于点H，过点A作AF⊥PC于点F，如图，
∵C（2，2），
∴CH＝CE＝2，
令y＝0，则﹣2x+6＝0，
∴x＝3，
∴D（3，0），
∴OD＝3，
∴AD＝OA+OD＝5，DE＝1，AE＝4，
∴AC，CD，
∴AC2+CD2＝20+5＝25＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∵将△APC沿PC翻折，若当点A的对应点A刚好落在直线l上，
∴∠ACP＝∠DCPACD＝45°，
∵AF⊥PC，
∴△AFC为等腰直角三角形，
∴AF＝FCAC，
∵点P（0，m），
∴OP＝|m|，
∴PH＝|m|+2，
∵AP，
∴PF，
∴PC＝PF+CF，
∵PC，
∴，
∴|m|＝4或|m|，
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
∴|m|＝4，
∴m＝±4，
∴点P的坐标为（0，﹣4）或（0，4）．

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