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2026年北京大学强基计划数学试题与简解
1题目
1.已知圆内接四边形ABCD满足AB=BC=CD=1,∠B=
120°，求AD的长.
2.若复数之满足|2=z-(2+2)川=3，求满足题意的所有复
数之的乘积.
3.求同余方程x2三1(m0d302026)的解的个数
4.已知实数x,y,之满足xy+yz+x=-4,求x+y+z的
最小值·
5.求单位圆上正2026边形的一个顶点到另外2025个顶点的距
离的乘积.
6.若实数，y满足x+y=√2c+1+V2y+1,求x+y的最
大值.
7.在三角形ABC中，已知
sin A+V3 cos A
7π
cos A-V3sin A
三tan12,求
sin2B+2cosC的取值范围.
8.若定义在实数域上的函数f(x)的图像绕原点旋转90°后不
变，求其不动点的个数.
9.实数x,y满足x2+y2+cy=1,求x-y的最大值。
10.已知椭圆子+2=1，点P(a,0)满足a>0.过点P作椭
圆的两条切线相互垂直，求α的值.
.已知实数Q,b,c的绝对值均不小于1，且f@)=x+
.若
f(a)+f(b)+f(c)=0,求a+b+c的最小值，
12.设正四面体的棱长为1，求其对棱中点的距离.
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13.已知正实数列{an}满足a1=1,当n≥2时，an+2=2Sn,
an
其中Sm为前n项和，求a2026的整数部分.
14.已知复数之满足z5=z,求满足该方程的复数之的个数.
15.已知集合M={1,2,·,2026},在M中选取四个数，求可
以组成公差不为0且长度为4的等差数列的个数，
16.已知p,9,r为质数，且p4+q+4-3为质数，求所有满足
条件的质数数组(p,q,r)·
17.已知p,q为非负实数，函数f(x)=x2+px+q存在零点.
若正整数a,b满足f(a)小值的整数部分·
18.已知方程x4+ax3+bx2+ax+1=0(a,b∈R)的四个根均
为正实数，不要求互异，求b的取值范围
18已知圆+
=1,F为椭圆右焦点，P为椭圆上动点，
求OP+PF的最大值.
20.已知数列{an}满足a0=0,a1=1.对任意整数n≥2，都
存在k(1≤k≤n),使得am为an-1,am-2,·,an-k这k项的算
术平均数，求a2026-a2025的最小值.
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