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2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试
测试时间2022年3月13日9：00一11：00满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(,0),B粒，0)两点，交y轴于点C(0,3),
若x+:=4,且△ABC的面积为3，则a+b()
A.3
B.-5
C.3
D.5
2已灰实数y满足务=1且广，
的值为()
x2-
A3
B.4
c.
D.2
2
3.将形如3m和2”(m,n为正整数)的正整数从小到大排列，并依次记为a,a2,4…若第k个数a=2022,
则k的值为()
A.682
B.683
C.684
D.685
D
M
4.如图，在矩形ABCD冲，AB=2BC,点M是CD边的中点，点E,F分别
是边ABBC上的点，且AF⊥E,G为垂足。若EB=2,BF=1,则
四边形BFGE的面积为()
4财
46
C61
D8
(第4题图)
52
52
26
13
5.已知正整数a,b,c,d满足：a则这样的4元数组(a,b,c,d)共有()
A.251组
B.252组
C.502组
D.504组
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6.若正数，bc满足o1a+分36+17，则c+合
7.如图，ABCD为圆的内接四边形，且AC⊥BD,若AB=10,CD=8,
则圆的面积为一。
(第7题图)
8.若素数p,使得4p2+p+81是一个完全平方数，则p=
(若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。)
9.如果对任意的n个不大于1的非负实数x,为，x,…x总有
S。=(-广+(：2-)+…+(x1-x)+(x。-x)≤6成立，则正整数n的最大值为一
10.同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个正有理数a,b,c,使得a2+b2=c2,
320
且b=n,称n为同余数，如吴正整数n为同余效，则称为整同余数。由于5是三边长分别为2·号
6
的直角三角形的面积，6是三边长分别为3,4,5的直角三角形的面积，7是三边长分别为
175
288
6060
37的直角三角形的面积，所以5,6,7都是同余效，且是整同余数。如何判断一个正整数是否为洞同余数至今
60
尚未完全解决。关于同余数的第一个重要结论是费马(Fermat)在17世纪证明的1不是同余数。在
d+=c2,)
)ab三n中，令x=ma+C】。y=2m（a+C】,得y产=2-x·因此，若正整效n是
b
b2
同余数，则二元三次不定方程y2=x3-nx有有理数解；若正整数n使得二元三次不定方程y2=x-nx有有
理数解，则是同余数。这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线y2=x-n2x的有理点（横、纵坐标均为
有理数的点)之间建立了联系。阅读上述材料，请你写出椭圆曲线y2=x3一202x上的一个有
理点坐标，y=一·
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11.己知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与直线：y=ax+c,y=Cx+a中的每一条都至多有一个公共点。
(1)求二的最大值：(2)当二取最大值时，设直线y=3。
a交抛物线y=ax2+bx+c于A,B两点，C为
4
抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值。
12.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与A和A的延长线分别交
于点E和F,过点B作AC的垂线，垂足为H。
求证：E,H,F三点共线。
D
B
(第12题图)

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