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第二章 随机事件的概率 单元测试·基础卷 试卷分析
一、单选题
1 0.95 事件的分类
2 0.85 根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据方差判断稳定性；事件的分类；概率的意义理解
3 0.75 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
4 0.65 根据概率作判断
5 0.73 求某事件的频率；折线统计图
6 0.75 已知概率求数量；由频率估计概率
7 0.65 用频率估计概率的综合应用；分式方程的其它实际问题
8 0.65 根据概率公式计算概率；概率在比赛中的应用
9 0.65 列表法或树状图法求概率；概率的其他应用
10 0.65 游戏的公平性
二、填空题
11 0.95 事件的分类
12 0.65 判断事件发生的可能性的大小
13 0.65 判断几个事件概率的大小关系
14 0.65 已知概率求数量
15 0.65 已知概率求数量；由频率估计概率
16 0.65 游戏的公平性
三、解答题
17 0.65 根据概率公式计算概率；已知概率求数量
18 0.65 已知概率求数量；列表法或树状图法求概率；由频率估计概率
19 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率；事件的分类
20 0.65 事件的分类
21 0.62 列表法或树状图法求概率；由样本所占百分比估计总体的数量；求扇形统计图的某项数目
22 0.65 几何概率；列表法或树状图法求概率；由频率估计概率
23 0.65 已知概率求数量；列表法或树状图法求概率；由频率估计概率；用频率估计概率的综合应用；解分式方程（化为一元一次）
24 0.65 由频率估计概率；用频率估计概率的综合应用；概率在转盘抽奖中的应用；运用加权平均数做决策保密★启用前
2026—2027学年九年级数学上学期单元测试卷
第二章 随机事件的概率单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数
C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件．
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天一天有半天的时间下雨．
C．方程有两个不相等的实数根．
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定．
3．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展“阅兵精神进校园”系列活动，若九年级一、二班计划从“主题班会”、“观影分享”、“英雄故事分享”三种形式中选择一种来开展活动，则九年级一、二班选择不同形式开展活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上．
①如果，而，那么不能实现目标
②如果，而，那么最小等于
③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标
以上判断正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（ ）
A． B． C． D．
6．一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次，发现有25次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为（ ）
A．20 B．10 C．30 D．50
7．在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（ ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（ ）
A．这个游戏小刚获胜的可能性最大
B．这个游戏小刚获胜的可能性最小
C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大
D．这个游戏对三人是公平的
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”）
12．不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球．
13．从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是_____．
14．一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则蓝球的个数是___________．
15．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________．
16．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个，黄球数量是白球数量的2倍．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)向袋中放入若干个红球，使摸出红球的概率为，求放入红球的个数．
18．某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共个，这些球除颜色外无其他差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球试验．根据多次试验结果绘制出如下统计图：
(1)请你根据统计图数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为_______（精确到）；试估算盒子里有_______个白球．
(2)根据第（1）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率．
19．在一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球充分摇匀．
(1)从袋子中摸出白球是______事件（填“必然”“随机”“不可能”）；
(2)若从袋子中随机摸出1球，则摸到黄球的概率是______；
(3)若从袋中随机摸出2球，用画树状图法求摸出两球是同一颜色的概率．
20．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
(1)当n为何值时，这个事件不可能发生？
(2)当n为何值时，这个事件必然发生？
21．“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）：
血型统计表
血型
人数 a 10 5 b

(1)求a、b的值；
(2)若这次活动中该校有1200人义务献血，估计大约有多少人是型血？
(3)现有4个自愿献血者，2人为型，1人为型，1人为型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率．
22．（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率为_________；
（2）图②是可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率为_________；
（3）小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在12306网上购票时，若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图③），请用列表法或树状图，求小亮和爸爸分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率．

23．张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250
摸到黑球的频率
(1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________；
(2)估算袋中白球的个数；
(3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率．
24．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．
方式一：直接获得25元购物券；
方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．
下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位）
请根据上面的图表完成以下问题：
(1)________；
(2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；
(3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C C C C B A D
1．D
根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可．
解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意；
B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意；
C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意；
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意．
2．D
根据必然事件的定义，概率的意义，一元二次方程根的判别式，方差的意义，逐项判断即可得到答案．
A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此项说法错误；
B、“明天下雨概率为”，是指明天下雨的可能性有，此项说法错误；
C、∵，
∴，
∴方程没有实数根，原说法错误；
D、因为，所以甲的成绩更稳定，此项说法正确．
3．C
利用列表法或树状图法，得到所有等可能的选择结果总数，再找出两个班选择不同活动形式的结果数，根据概率公式计算得到结果．
解：记三种活动形式分别为A：“主题班会”，B：“观影分享”，C：“英雄故事分享”，
列表如下：
一班二班 A B C
A
B
C
∴所有等可能的结果总数为9种，其中两个班选择不同活动形式的结果数为6种，
∴所求概率．
4．C
根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解．
解：①如果，而，
则,
∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，
∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下，
∴不能实现目标；故①正确
②如果，而，
设正面朝上记为，反面朝上记为，
则有个和个，其和为奇数，
∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，
∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，
∴不能实现目标；
故②不正确；
③如果且（为正整数），若，
同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为，
则有个和个，其和为，是奇数，
∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上．
∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数，
∴不能实现目标；
故③正确，
故选：C．
本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键．
5．C
根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则石块的面积与正三角形的面积的比为0.35，即可求得不规则石块的面积．
解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35，
∴点落在不规则石块上的概率为0.35，
∴估计石块的面积约是，
故选：C．
6．C
利用频率估计概率得到摸到红球的概率，再根据概率公式建立关系，计算得到白球个数．
解：设口袋中原有白球个，则口袋中总球数为个，
∵重复试验100次，25次摸到红球，
∴摸到红球的频率为，用频率估计概率得摸到红球的概率为．
∵红球共10个，
∴，
解得：．
∴估计口袋中白球个数约为30．
7．C
本题考查利用频率估计概率，分式方程的应用，根据频率稳定在，可知摸到黑球的概率为，设黑球数为，利用概率公式列方程求解即可． 熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
解：设袋中黑球有个，则袋中球的总数为个，
∵摸到黑球的频率稳定在，即摸到黑球的概率为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴袋中黑球有个．
故选：C．
8．B
本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可．
解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式，
∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍，
∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为，
∵赢得总决赛概率为，
∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：．
故选：B．
9．A
本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比．
解：画树状图得：

∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况，
∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是，
球回到乙手中的概率是，
球回到丙手中的概率是，
球回到丁手中的概率是，
∵，
∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲．
故选：A．
10．D
本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，
其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种，
∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为．
∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大，
故选：D．
11．随机
根据事件的分类方法，进行判断即可．
解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件．
12．
本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键．
解：袋子中球的总个数为：（个），
则黑球的个数为（个），
要使摸到黑球的可能性变成，
则球的总个数为（个），
∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球，
也可以往口袋里再放入黑球（个），
故答案为：，，．
13．③抽到梅花．
根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案．
∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是；
Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是；
梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是；
∴概率最大的是抽到梅花；
故答案为③抽到梅花．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．6
本题考查了概率的应用，弄清题意，熟练掌握概率的求解方法是解题的关键．
设蓝球个数为x，根据摸出红球的概率公式建立方程
解：设蓝球个数为x，则总球数为，
由概率公式得，
即，
，
，
解得：．
故答案为：6．
15．20
本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量．
根据频率估计概率，摸到黑球的概率稳定在，求出总数，即可求出红球的个数．
解：∵摸到黑球的频率稳定在左右，
∴摸到黑球的概率稳定在左右，
则盒子中球的总个数为（个），
所以盒子中红球的个数为（个）．
故答案为：20．
16．不公平
本题考查了游戏公平性．
通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平．
解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种，
数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数，
数字中奇数为1和3，偶数为2，
两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种，
故数字之和为偶数的情况共5种，概率为，
数字之和为奇数的概率为，
两者概率不相等，因此游戏不公平．
故答案为：不公平．
17．(1)
(2)
此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
（1）设白球个，则黄球个，根据三种颜色的球共个求得黄球的数量，进而利用概率公式计算即可；
（2）设放入个红球，根据题意列出比例方程，即可求解．
（1）解：设白球个，则黄球个，依题意得，
解得：，
则黄球有个，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率p=
（2）解：设放入个红球，则，
解得．
18．(1)；；
(2)．
本题考查了利用频率估计概率、概率的计算（列表法 / 树状图法），掌握用频率估计概率的思想及古典概型的计算方法是解题关键．
（1）利用 “大量重复试验中，频率稳定值近似为概率” 的思想，结合概率与球数的关系确定白球数量；
（2）通过列表法列出所有摸球的等可能结果，再根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率．
（1）解：根据统计图，随着摸球次数增加，白球频率稳定在 附近，
因此摸出白球的概率约为；
白球数量总球数白球概率，
故盒子里有个白球；
（2）解：先将三个白球记为、、，黑球记为，随机摸出两球列表如下：
第1球第2球
共有种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”有种：，
所以（摸到两个颜色相同小球）．
19．(1)不可能
(2)
(3)
本题考查了树状图法、随机事件与必然事件、不可能事件等知识，正确画出树状图是解题的关键．
（1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论；
（2）共有3种等可能的结果，摸到黄球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，摸出两球是同一颜色的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：∵袋子里面没有白球，
∴从袋子中摸出白球是不可能事件．
故答案为：不可能．
（2）∵袋子中装有1个红球和2个黄球，
∴共有3种等可能的结果，摸到黄球的结果有2种．
∴摸到黄球的概率是．
故答案为：．
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，摸出两球是同一颜色的结果有2种，
∴摸出两球是同一颜色的概率为：．
20．(1)或
(2)或或
本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键．
（1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解；
（2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解．
（1）解：由题意得
当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个，
故这个事件不可能发生；
（2）解：由题意得
当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个，
故这个事件必然发生．
21．(1)，
(2)估计这1200人中大约有288人是型血；
(3)
（1）先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
（2）用样本中型的人数除以50得到血型是型的概率，然后用1200乘以此概率可估计这1200人中是型血的人数；
（3）画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
（1）解：抽取的人数为（人），
型献血的人数为（人），
型献血的人数为（人），
综上，，；
（2）解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是型的概率，
，
估计这1200人中大约有288人是型血；
（3）解：画树状图如图所示，

所以．
22．（1）0.4；
（2）；
（3）
本题综合考查频率估计概率，几何概型求概率，列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的不同方法是解题关键．
（1）根据频率估计概率的方法，通过图象直接写出即可；
（2）根据几何概型求概率的方法，通过丁区域占总体的比例，求概率即可；
（3）列表或画树状图，求概率即可．
（1）解：由图象可知，随投掷次数增加，钉尖朝上的频率逐渐稳定在0.4，
故估计钉尖朝上的概率为0.4；
（2）解：由图象可知，丁区域的圆心角为，
故丁区域占圆的比例为，
故指针落在丁区域的概率为；
（3）解：由题意，列表如下：
小亮爸爸 A B C D E
A B，A C，A D，A E，A
B A，B C，B D，B E，B
C A，C B，C D，C E，C
D A，D B，D C，D E，D
E A，E B，E C，E D，E
由表可知，共有20种等可能的结果，其中小亮和爸爸分配的座位挨在一起的有8种，
故小亮和爸爸分配的座位挨在一起的概率为．
23．(1)
(2)袋中白球有3个
(3)
本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式及列表法求概率是解题的关键．（1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计黑球概率；（2）设白球个数，利用黑球概率公式列方程求解；（3）按“第一列是第一次、第一行是第二次”的格式列表，统计所有结果及符合“一黑一白”的结果数，计算概率．
（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是，
故答案为：；
（2）设袋中白球有x个，则球的总个数为个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴袋中白球有3个；
（3）袋中球为1个黑球（记为B）、3个白球（记为、、），小强同学无放回地连续两次摸球，列表如下：
第一次\第二次 B
B —
—
—
—
总结果数为12种，其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、），
故摸出一个黑球一个白球的概率：．
24．(1)
(2)
(3)方式二，
理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键．
（1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值．
（2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率．
（3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算．
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
（3）略
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