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第2章 有理数的运算 单元测试·培优卷
试卷分析
一、单选题
1 0.95 用科学记数法表示绝对值大于1的数
2 0.65 有理数乘除混合运算；有理数的乘方运算；乘方运算的符号规律；有理数四则混合运算
3 0.65 程序流程图与有理数计算
4 0.65 有理数乘除混合运算；有理数四则混合运算
5 0.65 有理数除法的应用；相反数的定义；求一个数的绝对值；有理数大小比较
6 0.65 有理数乘法运算律；已知字母的值 ，求代数式的值；绝对值的几何意义
7 0.65 多个有理数的乘法运算；等式的性质1；求一个数的绝对值
8 0.65 有理数的加减混合运算
9 0.65 正负数的实际应用；有理数加法在生活中的应用
10 0.65 有理数加法运算
二、填空题
11 0.65 用科学记数法表示绝对值大于1的数；求一个数的近似数
12 0.65 含乘方的有理数混合运算
13 0.65 有理数的除法运算；有理数的乘方运算；绝对值非负性
14 0.65 有理数四则混合运算
15 0.65 有理数乘法的实际应用
16 0.65 有理数的加减混合运算；求一个数的绝对值
三、解答题
17 0.57 有理数四则混合运算
18 0.75 正负数的实际应用；求一个数的绝对值；有理数加法在生活中的应用；有理数减法的实际应用
19 0.75 有理数乘法运算律；含乘方的有理数混合运算
20 0.69 有理数加减混合运算的应用；正负数的实际应用；求一个数的近似数；有理数加法在生活中的应用
21 0.67 有理数四则混合运算的实际应用
22 0.65 有理数的乘方运算
23 0.65 有理数的除法运算；有理数四则混合运算；有理数的减法运算
24 0.49 有理数的乘方运算；绝对值非负性保密★启用前
2026—2027学年七年级数学上学期单元测试卷
第2章 有理数单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2021年平潭接待游客人次、旅游收入60亿元，分别增长、18%；南部湾度假区获评省级旅游度假区，苏平旅游公路获评“第二届全国美丽乡村路”，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法：①与互为相反数；②不相等的两个数绝对值不相等；③若，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论是（ ）．
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
6．已知，，且，则的值等于（ ）
A．5或 B．1或 C．5或1 D．或
7．下列说法中，正确的有（ ）
①绝对值等于本身的数是正数；②几个有理数的积是正数，则负因数的个数一定是偶数；③3条直线相交，有3个交点；④将式子变形，得；⑤圆的面积公式，变量是S，r．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算：”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对
C．只有丙对 D．只有乙和丙对
9．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时标记线对准的数是3，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转4个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示的数是“5”．一组开锁密码为“，，”，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是（ ）
A．2 B． C．38 D．37
10．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，那么P的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球的距离约为363300千米，则可表示为___________千米（精确到千位，用科学记数法表示）．
12．生活中我们习惯用十进制来表示数，十进制用0~9这10个数来表示，满十进一，例如：，在一些特定情境也可用八进制来表示数，它是用0~7这八个数来表示，满八进一，例如，八进制数11对应的十进制数是，八进制125对应的十进制数是，根据这样的转换规律，八进制数261用十进制表示应是______．
13．若，为有理数，且，则______．
14．计算＝_______ ．
15．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________．
16．_____.
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
，，…
计算：
(1)
(2)
18．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）：
，，，，，．
(1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？
(2)小李距集合点最远为______千米．
(3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由．
19．（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
20．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数变化（万人）
(1)10月3日的人数为 万人；
(2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人；
(3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万）
21．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负：
周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日：
(1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元；
(2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元．
22．【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”．
(1)直接写出计算结果： ， ．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：
类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是： ．（直接写出结果）
(3)【结论应用】
已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：．
请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值．
23．在计算时，李明的解法如下：
解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步）
(1)李明的计算步骤中，第一步的依据是什么？
(2)李明的计算步骤中，第几步出现错误？这一步错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解答过程．
24．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；；
；；
；．
．
(1)______；
(2)已知：，其中，a为负数，求a的值；
(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B D B B D C B
1．A
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，解题只需正确确定和的值即可．
解：是7位整数，满足的为，，
．
2．C
本题有理数的运算，根据有理数的四则混合运算，乘除混合运算，有理数乘方对各选项进行计算即可作出判断．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序和运算律．
解：A．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．D
先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得．
解：当时，第一次输出的结果为，
第二次输出的结果为，
第三次输出的结果为，
第四次输出的结果为，
第五次输出的结果为，
第六次输出的结果为，
第七次输出的结果为，
第八次输出的结果为，
第九次输出的结果为，
第十次输出的结果为，……
由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：，
∵，
∴第次计算输出的结果是，
故选：D．
4．B
解：依题意可得：
= ．
5．D
本题考查了相反数，绝对值的意义，有理数的大小比较，以及有理数的除法，结合各选项，逐项分析判断，即可求解．
解：①与互为相反数，故①正确；
②不相等的两个数绝对值有可能相等，例如，，故②错误；
③若，则，故③正确；
④若，则、互为相反数，故④正确．
其中正确的结论是①③④，
故选：D．
6．B
由，可得；结合，可知与异号，分两种情况计算即可；
本题主要考查了绝对值的性质、有理数的乘法运算、代数式求值等知识，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
解：∵，
∴或 ；
∵，
∴或 ；
又∵，
∴与异号，
当时，，
；
当时，，
∴的值为 1 或 ．
故选：B．
7．B
本题考查了绝对值、多个有理数的乘法运算、直线的位置关系、变量与常量和等式的性质，理解题意是解决本题的关键．
逐一判断每个说法的正确性：①绝对值等于本身的数包括0和正数，但0不是正数，故错误；②有理数的积为正时，负因数个数必为偶数，正确；③三条直线相交不一定为3个交点，故错误；④变形后应为，而非，故错误；⑤S和r均为变量，正确．
解：当时，，包括0，但0不是正数，故①错误；
几个有理数的积为正，则负因数个数为偶数，故②正确；
三条直线可能交于一点，交点个数不一定为3，故③错误；
，故④错误；
中，S和r是变量，故⑤正确．
综上所述，正确说法有②和⑤，共2个．
故选B．
8．D
本题考查了有理数的加减，新定义运算，由题意可得，，再结合运算法则得出，从而即可得出结果，理解新定义是解此题的关键．
解：由题意可得，，
∵计算：”该题的答案是2，
∴，
∴，
∴被污染的数是大于等于，小于的有理数，
∴只有乙和丙对，
故选：D．
9．C
本题主要考查了正负数的应用及有理数加法运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算，根据结果的符号及绝对值即可判断锁打开时标记线对准的刻度线表示的数．
解：题意得，，
由结果知，锁打开时标记线对准的刻度线在“0”刻度线左侧2格，表示的数是38，
故选：C．
10．B
本题考查有理数的加法，解答的关键是判断出把六个数中较大的数填在三个顶点处．根据三角形的每条边上的三个数的和P都相等，且P最大，只需把六个数中较大的三个数填在三个顶点处即可求解．
解：到这6个连续整数分别为，，，，，，
∵要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，且和P最大，
∴只需把三个较大的数，，填入三角形的三个顶点处，如图，
∴，
故选：B．
11．
先将363300精确到千位，百位数字是3，小于5，故舍去，得363000．然后用科学记数法表示．
本题考查了科学记数法和近似数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
解：用科学记数法表示为．
故答案为．
12．
本题考查了有理数的混合运算．将八进制数转换为十进制数，需要将每一位乘以8的相应次幂，然后求和，即可求解．
解：八进制数261对应的十进制数为：
故答案为：．
13．
本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，，且，
∴且，
解得，，
则，
∴，
故答案为：．
14．
本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算．
解：
．
故答案为：.
15．121天
七进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满七进一”的算式．
本题考查有理数的混合运算，理解题目意思是解题关键．
解：满十进一：．
∴图片中“满七进一”的数表示为：，
∴孩子已经出生的天数为121天．
故答案为：天．
16．
本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可．
解：原式，
，
故答案为： ．
17．(1)
(2)
（1）通过观察可得，原式，再计算即可；
（2）通过观察可得，原式，再计算即可．
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
18．(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米
(2)
(3)能，理由见解析
（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案；
（2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可；
（3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案．
（1）解：
（千米），
答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米；
（2）第一次距离集合点（千米），
第二次距离集合点（千米），
第三次距离集合点（千米），
第四次距离集合点（千米），
第五次距离集合点（千米），
第六次距离集合点（千米），
因为，
所以小李距集合点最远为2千米，
故答案为：2；
（3）能，理由：
（千米）千米，
所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程．
19．（1）从第一步开始出现错误，正确过程见解析；
（2）
本题考查有理数的混合运算，涉及乘法分配律的应用及有理数混合运算的顺序，关键是准确把握运算符号和运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，能简便计算的优先使用简便方法．
（1）该题错误出现在第一步，应用乘法分配律时符号处理错误，正确运用乘法分配律将与括号内每一项相乘，注意符号变化后再计算；
（2）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方和绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可．
（1）解：错误出现在第一步；
正确解答过程：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)，；，
(3)约万人
（1）由题中数据加减计算即可；
（2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可；
（3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解．
（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）；
（2）解：在9月30日的游客人数为万人，
10月1日比9月30日多万人，为（万人）；
10月2日比10月1日多万人，为（万人）；
10月3日比10月2日少万人，为（万人）；
10月4日比10月3日少万人，为（万人）；
10月5日比10月4日少万人，为（万人）；
10月6日比10月5日少万人，为（万人）；
10月7日比10月6日少万人，为（万人）；
综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人；
（3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）．
21．(1)元
(2)元
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可．
（1）解：
（元），
答：该便利店这一周平均每天营业额为元；
（2）解：
（元），
答：这周总盈利元．
22．(1)，
(2)
(3)
本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）根据题干所给计算方法计算即可得解；
（2）根据题干所给计算方法计算即可得解；
（3）根据将进行变形，再计算即可得解．
（1）解：，；
（2）解：；
（3）解：
．
23．(1)除以一个数等于乘这个数的倒数
(2)第三步出现错误，这一步错误的原因是有理数的减法法则运用错误
(3)见详解
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
（1）根据有理数的除法运算法则回答即可．
（2）根据有理数加减法中的去括号回答即可．
（3）按照有理数的混合运算法则计算即可．
（1）解：第一步的依据是除以一个数等于乘这个数的倒数．
（2）解：第三步出现错误，这一步错误的原因是有理数的减法法则运用错误．
（3）原式
．
24．(1)29
(2)
(3)存在，
（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵a为负数，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
，
∵，，
∴，，
解得，，．
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