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第1章 有理数单元测试培·优卷 试卷分析
一、单选题
1 0.8 正负数的定义；有理数的定义；有理数的分类；带“非”字的有理数
2 0.8 相反意义的量；正负数的实际应用
3 0.75 多个有理数的乘法运算；绝对值的几何意义；有理数大小比较
4 0.75 利用数轴比较有理数的大小；有理数的减法运算
5 0.65 绝对值的其他应用
6 0.65 相反数的定义；求一个数的绝对值
7 0.65 数轴上整点覆盖问题
8 0.65 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离
9 0.65 正负数的定义
10 0.4 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离；有理数加法在生活中的应用
二、填空题
11 0.75 有理数大小比较
12 0.65 绝对值的几何意义；求一个数的绝对值
13 0.65 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离；相反数的定义
14 0.65 有理数的定义；有理数的分类
15 0.64 相反意义的量
16 0.4 数轴上两点之间的距离；数轴上的规律探究
三、解答题
17 0.75 化简多重符号
18 0.65 有理数的分类
19 0.65 正负数的实际应用
20 0.65 正负数的实际应用；绝对值的几何意义；有理数加法在生活中的应用
21 0.65 用数轴上的点表示有理数；相反数的定义；绝对值的几何意义
22 0.65 正负数的实际应用；有理数大小比较的实际应用；有理数加法在生活中的应用；有理数减法的实际应用
23 0.55 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离；数轴上找原点
24 0.4 已知字母的值 ，求代数式的值；有理数四则混合运算；绝对值的几何意义保密★启用前
2026—2027学年七年级数学上学期单元测试卷
第1章有理数单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．有理数a b在数轴上的位置如图所示，则的值在（）
A．与之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间
5．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（ ）；
A．1 B．3 C．5 D．7
6．2025的相反数的绝对值是（ ）
A． B． C．2025 D．
7．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（ ）
A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016
8．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A．0 B． C．9 D．
9．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（ ）
A．3 B．0 C． D．
10．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：）
售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述：
①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池；
②完成点售卖订单后，显示剩余续航；
③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池；
④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶．
正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是______．
12．当______时，的最小值是______．
13．在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________．
14．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有________个．
15．在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个．
16．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．化简下列各数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
18．把下列各数分别填入相应的集合里．
，，0，，，2026，，，．
（1）负有理数集合：{ ______…}；
（2）正分数集合：{ ______…}；
（3）非负整数集合：{ ______…}．
19．一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动．
(1)这里的含义是什么？
(2)请你算出该商品的最高价格和最低价格．
(3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？
20．一只蚂蚁从点A出发，在一根笔直的长棍上来回爬行，规定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数．蚂蚁爬行的各段路程（单位：厘米）依次为．
(1)爬行结束后蚂蚁是在点A的左边还是右边？与点A的距离是多少？
(2)爬行过程中，每爬行一厘米蚂蚁可以获得1粒芝麻，则从开始到结束，蚂蚁一共获得了多少粒芝麻？
21．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
(1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ；
(2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数．
22．2020年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人穿梭如织，其中闻名于世的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了5万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日
人数变化/万人
(1)10月3日的人数为______万人．
(2)这八天，游客人数最多的是10月______日，达到______万人；游客人数最少的是10月______日，为______万人．
(3)求10月1日至6日这六天的游客总人数是多少万人？
23．如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且．
(1)该数轴的原点是点____________；
(2)若，求线段的长．
24．老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；．
小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则：
(1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值；
②计算：的值；
(2)若，求的值．
(3)用字母a、b的绝对值表示．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D C C C D C D
1．B
根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可．
解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误；
②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误；
③非负数就是正数和0，原说法错误；
④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确．
综上，正确的结论共有1个．
2．D
正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果．
解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元，
∴亏损元应记作元．
3．D
本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵且，
∴，即a和c异号，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
4．D
本题考查了数轴有理数的减法，得到a、b的范围是解题的关键．
由图可知，，再根据有理数的减法法则进行判断．
解：由数轴得：，，
则，
即．
故选：D．
5．C
此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力．
依据题干给出的定义分情况列式计算即可；
解：根据题意，依次输入2，3，6，
则；
依次输入2，6，3，
则；
依次输入3，2，6，
则；
依次输入3，6，2，
则；
依次输入6，3，2，
则；
依次输入6，2，3，
则；
综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5．
故选：C．
6．C
本题考查了相反数和绝对值的定义，解题的关键是依次根据相反数、绝对值的定义进行计算．
先求出2025的相反数，再计算该相反数的绝对值，得到结果．
解∶2025的相反数为，
又，
故选C．
7．C
本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键．
分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．
解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点，
当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点．
故选C．
8．D
本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解．
解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，
∴数轴上1个单位长度表示，
∴原点对应的刻度，
∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是，
故选：D．
9．C
本题主要考查负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据负数的定义即可得到答案．
解：负数即带有负号的数，故是负数的是，
故选：C．
10．D
本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性．
解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为．
计算每段行驶距离：，，，，，，，．
①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足，因此必须返回换电站(返回距离)，故①正确；
②完成点订单后已返回换电，换电后满电出发前往点，行驶，剩余续航，并非，故②错误．
③分析“售卖过程中，售卖车需要至少换次电池”：
第一次换电：完成点后返回(行驶)；
第二次换电：完成点后返回(行驶)；
第三次行程：(无需换电)．
仅需换电次即可完成所有订单，故③错误；
④分析“售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶”：
总行驶距离为：第一次行程，
第二次行程，
第三次行程，
合计，故④正确．
综上，正确的描述为①④，故选：D．
11．1
本题考查了有理数大小比较，通过替换非零数字后比较数值大小，确定最小数对应的被替换数字即可．
解：在中，非零数字为1和，
当替换时，得，
替换时，得，
，
替换后所得数最小，
故答案为：1．
12．
表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果．
根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，
因此表示点到，，三点的距离之和，
将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小，
将代入原式．
13．或
本题考查数轴上两点间的距离和相反数的定义，掌握分类讨论思想是解题关键．
先由点与点的距离为，求出点表示的数，再根据点与点互为相反数，求出点表示的数．
解：点表示的数是，点与点之间的距离为，
，解得或，
点和点表示的数互为相反数，
当时，；
当时，．
故答案为：或．
14．3
本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键；
有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可．
解：：是正分数，属于正有理数；
：是负整数，小于，不是正有理数；
：既不是正数也不是负数，不是正有理数；
：是负数，不是正有理数；
，是正整数，属于正有理数；
：是无限不循环小数，不是正有理数；
：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数；
（每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数；
综上，正有理数有，和，共3个．
故答案为：3．
15．
此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量．
解：∵甲队进3个球，记作个，
∴甲队失2个球，记作个，
故答案为：．
16．
本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案．
解：由题意可得，
点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为，
…，
点表示的数为，
∴点表示的数为．
∴点与点O的距离是：．
故答案为：．
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正．
（1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题；
（2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题；
（3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题；
（4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题；
（5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：．
18．（1），，，；（2），；（3）0，2026，
本题主要考查了有理数、相反数、绝对值，熟知有理数的相关概念是解题的关键．
（1）根据负数的定义进行判断即可；
（2）根据正分数的定义进行判断即可；
（3）根据非负整数的定义进行判断即可．
解：，，，
（1）负有理数集合：{，，，…}；
故答案为：，，，；
（2）正分数集合：{，，…}；
故答案为：，；
（3）非负整数集合：{0，2026，…}；
故答案为：0，2026，．
19．(1)见解析
(2)元，元
(3)元
本题考查了正数和负数的知识．
（1）“”表示加价，“”表示降价；
（2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格；
（3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围．
（1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%．
（2）最高价格是（元），
最低价格是（元）．
（3）因为（元），
所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元．
20．(1)爬行结束后蚂蚁是在点A的左边，与点A的距离是2厘米
(2)蚂蚁一共获得了34粒芝麻
本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值．
（1）将蚂蚁爬行的各段路程相加，根据计算结果的正负作答即可；
（2）蚂蚁一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数．
（1）解：
（厘米），
答：爬行结束后蚂蚁是在点A的左边，与点A的距离是2厘米．
（2）解：
（厘米），
（粒），
答：蚂蚁一共获得了34粒芝麻．
21．(1)；
(2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为．
本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置．
（1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可；
（2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解．
（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数，
∴原点为线段的中点，
∵点C在原点左边一格位置，
∴点C表示的数是，
故答案为：；
（2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数，
∴原点为线段中点，即为点C，
点D距离点C5个单位，
∴点D表示的数的绝对值为5；
此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为．
故答案为：5．
22．(1)5.8
(2)4，5.9；8，3.2
(3)32.9万人
本题考查的是正数和负数的意义及有理数的运算，关键是正确理解表中数据的含义，正确计算出每天的人数．
（1）根据题意10月1日的人数加上得10月2日的人数，10月2日的人数再加上即可得到答案；
（2）分别计算出每天的人数，即可作出判断；
（3）根据（1）（2）把6天的人数相加即可．
（1）解：10月2日的人数为：（万人），
10月3日的人数为：（万人）．
故答案为：；
（2）解：10月4日的人数为：（万人），
10月5日的人数为：（万人），
10月6日的人数为：（万人），
10月7日的人数为：（万人），
10月8日的人数为：（万人），
∴这八天，游客人数最多的是10月4日，为万人．游客人数最少的是10月8日，为万人．
故答案为：4，5.9；8，3.2；
（3）解：（万人），
∴这6天参观故宫的总人数为万人．
23．(1)点
(2)
本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键．
（1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置．
（2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可．
（1）解：，
两个数之间的距离小于3，
，
原点不在两个数之间，也不在两个数的左边，
即该数轴的原点是点；
故答案为：；
（2）解：，
，
解得：，
．
24．(1)①正，负，相加；②
(2)或1
(3)当同号时，；
当异号时，；
当时，或当时，．
本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是通过已知算式归纳运算规则，并结合规则进行计算．
（1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值；
（2）根据※运算结果为0的条件，求解的值并计算；
（3）用绝对值表示※运算的一般形式．
（1）解：①，同号得正，绝对值相加
※，同号得正，绝对值相加
，异号得负，绝对值相加
，异号得负，绝对值相加
故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加
故答案为：正；负；相加
②
；
（2）解：因为，
根据题意归纳的运算法则可知，当且仅当参与运算的两个数都为0时，运算结果为0，
所以且，
解得．
当时，，
当时，，
故的值为或1；
（3）解：分情况讨论：
当同号时，；
当异号时，；
当时，或当时，．
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