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第1章 二次函数 单元测试·提高卷 试卷分析
一、单选题
1 0.76 y=a（x-h） +k的图象和性质；把y=ax +bx+c化成顶点式
2 0.65 二次函数的识别
3 0.65 判断反比例函数的增减性；判断一次函数的增减性；y=ax +k的图象和性质
4 0.65 不等式的性质；y=a（x-h） 的图象和性质
5 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；从函数的图象获取信息
6 0.65 一次函数、二次函数图象综合判断
7 0.62 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
8 0.65 两个二次函数图象综合判断
9 0.65 销售问题(实际问题与二次函数)
10 0.45 拱桥问题(实际问题与二次函数)
二、填空题
11 0.65 根据二次函数的定义求参数
12 0.65 y=a（x-h） 的图象和性质
13 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质
14 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；一次函数、二次函数图象综合判断；根据二次函数的图象判断式子符号
15 0.52 y=ax +bx+c的图象与性质；点坐标规律探索；二次函数图象的平移
16 0.65 待定系数法求二次函数解析式；喷水问题(实际问题与二次函数)
三、解答题
17 0.65 根据二次函数的定义求参数；y=ax 的图象和性质
18 0.65 一次函数、二次函数图象综合判断；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
19 0.54 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式
20 0.62 因式分解法解一元二次方程；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；根据交点确定不等式的解集
21 0.65 求抛物线与y轴的交点坐标；等腰三角形的定义；待定系数法求二次函数解析式；已知两点坐标求两点距离
22 0.51 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；把y=ax +bx+c化成顶点式
23 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)
24 0.4 y=ax +bx+c的最值；利用平行四边形的性质求解；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)保密★启用前
2026—2027学年九年级数学上学期单元测试卷
第1章二次函数单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知二次函数，那么它的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( )
A． B．
C． D．
3．当时，下列函数中，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为
6．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（）
A． B．
C． D．
7．如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有
C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有
10．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ）
A．图1解析式： B．图2解析式：
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若是关于的二次函数，则_______．
12．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________．
13．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接）
14．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______．
15．如图，抛物线与直线在第一象限交于点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，按照此规律依次平移得到交点，，…，，则点的纵坐标为________．
16．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知函数是关于的二次函数.
(1)求满足条件的值；
(2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小；
(3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大.
18．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
19．二次函数图象经过点，与轴相交于点．
(1)请用含的代数式表示的值；
(2)若二次函数在时，的最小值为，求出该函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若该抛物线与轴交点的横坐标是，求证：．
20．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点．
(1)求的值；
(2)结合图象，求出关于的不等式的解集．
21．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点，，n为正数．若点P在抛物线上且在直线l上方（不与点A，B重合），求m，n的值及点P纵坐标的取值范围．
23．苹果是大家喜爱的水果之一．一果园年的苹果销量为吨，年销量为吨，若每年销量增长率相等．
(1)求销量增长率；
(2)某电商从果园以元/箱进货，再以元/箱卖出，每周可以卖出箱．该电商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少3箱，设每周销售苹果获利元，写出（元）与售价（元/箱）之间的函数关系式，并求出当苹果的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
(3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C C C B D A C
1．B
根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
解：∵抛物线
∴，抛物线开口向上，顶点坐标是．
2．C
本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次．
解：选项A：，为一次函数，不是二次函数；
选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
选项C：，是整式，，一定为二次函数；
选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数；
故选C．
3．D
本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解此题的关键．
根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解．
选项A：为一次函数，，
当时，随增大而减小；
选项B：为二次函数，，对称轴，
当时，随增大而减小；
选项C：为反比例函数，，
当时，随增大而减小；
选项D：为二次函数，，对称轴，
当时，随增大而增大．
故选：D．
4．C
将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案．
解：依题意，，，
∴
若，
∵，∴，
∵，，∴，即，
∴，即，C正确，D错误．
若，，，，得，，A错误．
若，，无法确定的正负，无法得到，B错误．
5．C
根据二次函数的图象与性质逐项判断即可．
解：解方程，可得：，，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
该函数没有最大值，
故A选项错误；
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故B选项错误；
，
故C选项正确；
当时，，
由翻折可知，图象与轴的交点坐标为，
故D选项错误．
6．C
根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置．
解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点，
观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误；
对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误；
对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误；
对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线，
∵，
∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征．
7．B
根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可；
解：抛物线经过点，
，
，
故正确；
设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间，
，
，
，
，
抛物线开口向下，
，
，
，，，
，，
故②正确；③错误；
，抛物线开口向下，
时，其函数值大于0，
，
抛物线的顶点在x轴的上方，
，
，
故④错误；
故正确的结论有2个．
8．D
本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，
∴，对称轴为直线，
∴，，
∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，
即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，
故的图象可能是
，
故选：D．
9．A
先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可．
解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）．
当时，
，
，
判断选项A：令，即，
，
，
，
，存在满足条件的（如），使得
所以A正确，B错误，
当时，
，
，
判断选项C：解不等式，
解得：，这与相矛盾
则不存在使得，
所以C错误，D错误．
10．C
运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解．
解：由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确，
由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
，故B正确，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，故C错误
把代入得：，
解得：，
∴
∴，故D正确
11．1
本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键．
根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零．
解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零．
令，得方程，
因式分解，得 ，
解得，或，
当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义；
当时，二次项系数 ，符合要求．
故答案为：1．
12．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键．
根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可．
解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大，
∵关于直线的对称点为，，，，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论．
解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线．
对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大，
计算各点到对称轴的水平距离：
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵，
∴．
14．②③④
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键．
从抛物线开口向下得，对称轴得，与轴正半轴交点得，故，①错误；由对称轴，得，代入后，结合，故②正确；当时，二次函数最大值为，即对任意实数，，两边减得，即，故③正确；联立抛物线与直线方程，得的横坐标为；结合对称轴得，再由 “横坐标小于” 和，推导得，故④正确．
解：①：∵抛物线开口向下，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∵二次函数与轴正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故②正确；
③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为，
∴当取全体实数时，，
∴，即，故③正确；
④：联立，
化简得，
∴或，
即点的横坐标为，
∵，
∴，
∵点在轴下方且横坐标小于，
∴，
∵，
∴，即，
解得，故④正确；
综上，正确的有：②③④．
故答案为：②③④．
15．
联立与的方程，求解第一象限交点得到的坐标．设为向右平移a个单位得到的抛物线，写出的解析式，因为在上，所以代入坐标求出，再联立与的方程，求解第一象限的另一个交点得到的坐标．同理得到的坐标．观察的纵坐标规律，归纳推导的纵坐标表达式．
解：联立抛物线和直线，得方程，
解得或，
第一象限交点坐标为，纵坐标为．
设抛物线向右平移个单位，解析式为，
过，代入得，
因为平移后，得，即．
联立得，解得和，
第一象限新交点坐标为，纵坐标为．
同理可得坐标为，纵坐标为，
归纳可得： 交点在直线上，横坐标和纵坐标相等，规律为，
因此点的纵坐标为．
16．16
本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出．
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化，
当喷头高时，可设，
将代入解析式得出，
整理得①；
喷头高时，可设；
将代入解析式得②，
联立①②可求出，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，
解得，
∴喷头高应调整为。
故答案为：．
17．(1)或
(2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小
(3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大
（1）解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得：或，
∴满足条件的值为．
（2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小．
（3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大．
18．(1)
(2)
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数和二次函数交点问题，解题的关键是求出二次函数解析式．
（1）根据顶点横坐标为得到，求出，即可得到抛物线的表达式；
（2）首先求出，，然后求出直线的解析式为，然后和抛物线联立利用判别式求解即可．
（1）解：∵抛物线顶点横坐标为，
∴，
，
∴抛物线表达式为；
（2）解：∵抛物线表达式为，
当时，，即，
解得或（舍去），故．
当时，，故．
设直线的解析式为，
将点与点代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
向上平移个单位后，直线表达式为，
与抛物线联立得：，
整理得：．
∴抛物线与直线有交点时，，
解得，
又，
的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)见解析．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求得抛物线经过点，再利用待定系数法求解即可；
（3）根据题意求得或，再整体代入，化简即可证明结论成立
（1）解：∵二次函数图象经过点，
，
；
（2）解：该二次函数对称轴为直线，
，
，
，
，，
∴函数值随的增大而减小，
当时，，即抛物线经过点，
把，代入得
，解得，
∴二次函数解析式为；
（3）证明：∵二次函数与轴交点横坐标为，
是方程的解，
，即或，
，
，
．
20．(1)
(2)或
（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案；
（2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可．
（1）解：直线与 轴交于点，
，则直线，
当时，，解得，即，
抛物线与直线交于点，
，解得；
（2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围，
联立，消去得，
，解得或，
或，
、，
当或时，抛物线在直线的下方，
关于的不等式的解集是或．
21．(1)，
(2)存在，或
本题考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，两点间距离公式，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）将代入，求出c的值，可得的解析式；令求出y的值，可得点的坐标；
（2）当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况：当点P在y轴上，点P在x轴上，根据，利用两点间距离公式列方程，分别求解．
（1）解：将代入，得
解得，
∴二次函数的解析式为
∵点是二次函数与轴的交点
∴点的横坐标为0
将代入解析式中，求得，
∴点的坐标为；
（2）解：存在．当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况：
①当点P在y轴上时，，
设
∵，，
∴，
解得，
此时；
②当点P在x轴上时，，
设，
∵，，
∴，
解得，
此时，
综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形．
22．(1)抛物线的函数表达式为；顶点坐标为
(2)；；
（1）先利用待定系数法将抛物线的表达式求出，再将抛物线的一般式化为顶点式后即可得到顶点坐标；
（2）先根据题意将点A和点B的坐标代入抛物线解析式即可求得m和n的值，其中n的值根据题目要求进行判断，随即求出点P的横坐标范围，最后利用二次函数的最值即可求出纵坐标的取值范围．
（1）解：由题意知，把和分别代入得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴抛物线顶点式为，
∴顶点坐标为．
（2）解：当时，，
当时，，解得，，
∵n为正数，
∴，
∴，，
∴，
由知：当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，是点P的纵坐标最大值，
∴．
23．(1)
(2)函数关系式为，当苹果的每箱售价为元时，这周的利润最大，最大利润是元
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，设销量增长率为m，进而建立方程计算可以得解；
（2）依据题意，建立关于每周销售苹果获利W元与售价x之间的函数关系式，再进行计算可以得解．
（1）解：由题意，设销量增长率为m，
∴．
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为．
故答案为：．
（2）解：由题意，每周销售苹果获利W元，
∴，且满足，
∴，
∴当时有W最大，最大为，
∴当每箱售价为元时，这周利润最大为元．
24．(1)．
(2)的最大值为．
(3)点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形．
（1）根据待定系数法，求出，，即可得到函数解析式；
（2）过点作于点，作于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质，求出，根据抛物线求出对称轴，求出点的坐标，根据两点间的距离公式求出，
要使的值最大，则需取到最大值，即可；设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点，点的坐标，求出，根据勾股定理求出，即可得到三角形的面积；
（3）设点，，分类讨论：①当为边时，四边形是平行四边形，②当为对角线时，四边形是平行四边形，求出的坐标，即可．
（1）解：∵的图象与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：过点作于点，作于点，交于点，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
抛物线的对称轴为：，
∴，
∴点，
∵点，
∴，
∵，
∴要使的值最大，则需取到最大值，即可；
设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即取到
最大值；
∴，
整理得：，
由得，，
求得：；
∴，
解得：，
∴当，，即点；
当，，即点；
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
∵点在对称轴上，
∴设点；
∵点在二次函数图象上，
∴设，
①当为边时，四边形是平行四边形，
∴，
∵点，点，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
②当为对角线时，四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
∴，
∴点；
综上所述，点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形．
本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
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