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辽宁省大连市瓦房店市2025-2026学年九年级上学期学情调研数学试卷
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上
D．直径所对圆周角是直角
5．如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，、是的弦，连结，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．不解方程，判断方程的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．以上说法都不正确
9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（ ）
A．13寸 B．26寸 C．12寸 D．24寸
10．如图，抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__．
12．二次函数图象与轴的交点坐标为__________．
13．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350
盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0.473 0.472 0.471 0.470
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01）
14．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留）
15．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为________（用含的式子表示）．
三、解答题
16．解方程：
(1)．
(2)．
17．已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位）
(1)在网格中画出，使与关于原点对称，写出点坐标；
(2)判断四边形的形状，并求出其面积．
18．元旦节期间电影院热映了3部电影、、，李华和王明两央分别从热映的3部电影中任意选择1部观看，李华和王明选择以上3部电影的可能性相同．
(1)求李华选择电影的概率；
(2)请通过画树状图的方法，求李华和王明选择同一部电影的概率．
19．如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H．
(1)求证：；
(2)当E为弧中点时，求的度数．
20．图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙．
21．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D．连接，与相交于点E．

(1)如图1，连接，求，的度数；
(2)如图2，若点D为的中点，且，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的顶点坐标及点A，B的坐标；
(2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G．当点M在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值；
(3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求n的取值范围．
23．如图，在平行四边形中，，点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点落在的延长线上．
(1)如图，若，，求证：；
(2)如图，当点在边上时，（）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图，当点在延长线上时，连接，若，，，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D C D D C A C
1．D
解：A、不是中心对称图形，故该选项错误；
B、不是中心对称图形，故该选项错误；
C、不是中心对称图形，故该选项错误；
D、是中心对称图形，故该选项正确，
故选：D．
2．D
解：∵的半径为．点P在内，
∴，
∴的长可以是．
故选：D．
3．A
解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为，
故选：A
4．D
解：A、太阳从西边升起是不可能事件，故该选项错误；
B、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，到三边的距离不一定相等，故该选项错误；
C、抛掷1枚硬币，硬币落地时可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项错误；
D、直径所对的圆周角是直角（圆周角定理），该事件一定发生，属于必然事件，故该选项正确，
故选：D．
5．C
解：∵四边形为正方形，
∴，
根据旋转的性质得，旋转角为，即，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选：C．
6．D
解：∵、是的弦，，
∴，
故选：D．
7．D
解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
．
故选：D
8．C
解：∵ 方程 中，, , ,
∴ 判别式 ,
∵ ,
∴ 方程有两个不相等的实数根；
故选：C
9．A
解：如图，连接，
， 寸，
寸，
设圆O的半径的长为x，则，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
解得，
半径的长度是13寸，
故选：A．
10．C
解：①由图中可知函数与y轴的交点在负半轴，
，故①错误；
②抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线，
抛物与x轴的另一个交点坐标为，
当时，，即，
故②正确；
③点，都在该抛物线上，且，
点，关于直线对称，
，
故③正确，
综上，②③正确，共有2个，
故选：C．
11．
解：点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
12．
解：把代入得，，
所以二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
13．
解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近，
故答案为：．
14．
解：由题意得，部分扫过的图形面积=，
故答案为：．
15．
解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
（1）解： ，
，
，
，
，；
（2）解：，，，
，
，
，．
17．(1)
如图所示，即为所求，出点坐标为；
(2)四边形是平行四边形，四边形的面积为
（1）（1）略
（2）（2），，
，，
四边形是平行四边形．
四边形的面积．
18．(1)；
(2)．
（1）李华选择电影有三种结果，且选择可能性相同．
∴；
（2）根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中恰好选择同一部电影的结果有：，共3种，
恰好选择同一部电影的概率为．
19．(1)
证明： ，
，，
在菱形中，平分，
，
，
，
；
(2)
（1）略；
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，
，
为弧中点，
，
，设，
∴，，
，
．
20．(1)
(2)石块能飞越防御墙
（1）解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
点的坐标为，
，
解得：
抛物线的表达式为
（2）当 时，，即石块能飞越防御墙
21．(1)，
(2)的长为
（1）解：，O是的中点
∴，
∵四边形是圆O的内接四边形，
∴，
；
（2）解：连接，
，为中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
的长为：．
22．(1)顶点坐标为，A点，B点
(2)的值为
(3)n<或n=或n=
（1）解：抛物线解析式为，
令，得：，
解得：或，
∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为；
（2）解：由题意得：抛物线对称轴为直线，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵点M在x轴上方，
∴，
当时，如图1，
此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值，
，
解得：或（不合题意，舍去）；
当时，如图2，
点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值，
，
解得：（不合题意，舍去），
综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为；
（3）解：如图3，当点D在E点上方时，
，
∴，
只有F在抛物线上满足要求，
∴，
，
把F点代入抛物线解析式得：
，
得，（舍），
当点E在点D上方时，
，
∴，
如图4，当点G在抛物线上时，满足要求，
此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等，
∴，
如图5，当B在上时，有两个交点，
∴，
∴当时，正方形与抛物线只有一个交点，
综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点．
23．(1)
证明：∵
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：（）中的结论是否成立，证明如下：
如图，作，交于，则，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴在四边形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(3)
（1）略
（2）略
（3）解：如图，在上取点，使，连接，过点作于，
∵为平行四边形
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴在中，．

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