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广西桂林市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列图案是国内某四所大学的校徽，其中内部图案可以看成由一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列调查方式中，较为合适的是（ ）
A．用抽样调查审校一本字典中的错别字
B．用抽样调查了解学校排球队队员的身高情况
C．用普查的方式了解一批手机的使用寿命
D．用普查的方式检查“神舟二十三号”飞船各零部件情况
3．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
4．已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．观察桂林2026年3月第一周气温统计图，下列说法正确的是（ ）
A．这一周最高气温是
B．从周四开始，最低温度一直呈下降的趋势
C．这一周最高气温高于的有5天
D．温差最小的一天是星期二
6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知x（x﹣2）＝3，则代数式2x2﹣4x﹣7的值为（　　）
A．6 B．﹣4 C．13 D．﹣1
10．已知，，且与之间的距离为5，与之间的距离为3，那么与之间的距离为（ ）
A．8 B．2或5 C．2或8 D．5或8
11．某校举办了防溺水安全知识竞答活动，试题共10题，评分规则是每答对一题得10分，答错或不答扣2分．已知某同学得分不低于80分，若设该同学答对了道题，则下列关于的不等式中，符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，点是直线外的一点，现有直线上可任意移动的线段（在的右侧）和（在的右侧），连接，，，，已知，，当的最小值为8时，的面积是（ ）
A．20 B．16 C．8 D．4
二、填空题
13．如图是一把剪刀的示意图，可以把它抽象成两条直线相交的几何模型，若，则__________．
14．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．
15．已知关于的不等式的解集是，则实数应满足的条件是__________．
16．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
19．4月17日日，“潮动三月三·桂林首届米粉超级联赛”（简称“粉超”）在甲天下会展中心举办，为市民和游客献上一场集美食竞技、非遗展示、文旅体验于一体的春日盛宴．为了解市民和游客最喜爱的“粉超”活动项目，某校数学学习小组随机选取部分参与活动的市民和游客开展了单项选择问卷调查（A．中国米粉非遗博览馆；B．米粉文创潮玩集市；C．米粉制作体验；D．非遗剧目展演），并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的相关信息，解答下列问题．
(1)请列式求共调查了多少名市民和游客？
(2)求扇形统计图中，活动B对应的圆心角度数．
(3)请将条形统计图补充完整．
(4)请结合调查数据，为明年“粉超”活动提出一条具体可行的建议，例如增设特色体验区域、优化热门项目规模等，并说明理由．
20．完成下面的证明．
如图，在中，点，，分别在，，上，若，．
求证：．
证明：因为，
所以__________（__________________），
因为，
所以（等量代换），
所以__________（__________________），
所以（__________________）．
21．某景区为提升游客体验，计划采购一批智能导览机和实景导航设备．已知购进1台智能导览机和2台实景导航设备需要3.5万元；购进2台智能导览机和1台实景导航设备需要2.5万元．
(1)求每台智能导览机和实景导航设备各多少万元．
(2)根据景区实际需求，需购进智能导览机和实景导航设备共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，问有哪几种符合要求的购买方案？
22．综合与实践：探究日历中的数学规律：我们利用的方框在日历上框出一些数，选取位于方框中四个角处的4个数，设这4个数分别为，，，（），（图①②③分别为，，方框示意图），下面我们探索日历中运算结果的规律．
【特例探究】如图④是2026年1月份的日历，我们用方框在该日历上框出一些数，计算和猜想的结果：
若框住的数为1，2，8，9，则____A____；
若框住的数为2，3，9，10，则____A____；
若框住的数为4，5，11，12，则____A_____；…
由此，可猜想：____A_____．
(1)直接写出的值；
【推理演绎】
(2)通过特例分析，我们猜想所有日历中，在方框内的结果都不变，请你将证明过程补充完整；
证明：设，则，，．…
【类比应用】
(3)用的方框框住任意日历上的9个数，证明的值为固定值；
(4)用的方框框住任意日历上的16个数，直接写出的值与（1）中值的比值．（直接写出结论，不用证明）
23．如图①，是一个同一平面内的线段转动器，其中线段是固定轴，线段和分别与相交于点，，，，．在初始状态时，，，线段转动器是轴对称图形．设绕着点旋转得到，点，的对应点分别为，；绕着点旋转得到，点，的对应点分别为，．规定以下线段的转动均指从初始状态开始的逆时针旋转．
(1)如图②，若绕着点每秒旋转，绕着点每秒旋转．
①当绕着点旋转1秒时，求的度数．
②若与同时开始旋转，当旋转时间为4秒时，求证：．
(2)如图③，若与同时开始旋转，绕着点每秒旋转，绕着点每秒旋转，设旋转时间为（）秒．在两条线段旋转过程中，当为何值时，线段转动器恰是轴对称图形？（不需计算和说理，请直接写出的值）
参考答案
1．C
【详解】解：A、B、D选项中的图通过平移无法得到，不符合题意；
C选项中的图是通过平移得到，符合题意．
2．D
【详解】解：A．审校字典错别字需要确保结果准确，应当采用普查， A选项不符合题意；
B．学校排球队队员人数较少，需要准确的身高数据，应当采用普查，B选项不符合题意；
C．测试手机使用寿命具有破坏性，无法进行普查，应当采用抽样调查，C选项不符合题意；
D．“神舟二十三号”飞船各零部件的检查对安全性要求极高，必须逐一检查确认，因此采用普查方式合适，D选项符合题意．
3．B
【详解】解：∵ ，
∴ 的立方根是．
4．B
【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙．
5．A
【详解】解：A选项：这一周最高气温是（出现在周四），说法正确；
B选项：周四最低温，周五最低温，比周四升高，不是一直下降，说法错误；
C选项：最高温高于的只有周四、周六，共2天，不是5天，说法错误；
D选项：周一温差为，周二温差为，温差最小的一天不是星期二，说法错误．
6．B
【详解】解：∵，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式两边同时除以，得，
∴原不等式的解集为．
7．C
【详解】解：A．表示的算术平方根，结果为非负数，，∴A错误；
B．对任意实数，都有，，∴B错误；
C．，C计算正确；
D．表示的平方根，，∴D错误．
8．B
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
．
9．D
【详解】当x（x﹣2）=3时，原式=2x（x﹣2）﹣7=2×3﹣7=6﹣7=﹣1．
故选D．
10．C
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
分两种情况讨论：
如图①：当和在直线的两侧时，与的距离为 ；
如图②：当和在直线的同侧时，与的距离为 ；
∴与之间的距离为或．
11．A
【详解】解：设答对道题，总题数为道， 则答错或不答的题数为道．
∵答对的总得分为，答错或不答的总扣分为，
∴总得分为．
∵得分不低于分，即总得分大于等于分，
∴列出不等式得．
12．D
【详解】解：设点到直线的距离为，垂足为，
、都在直线上，
，
，
当且仅当 、、重合时取等号，如图所示，
的最小值为8，
，解得，
即点 到直线的距离为4，
，且在右侧，在右侧，
，
此时的底边，高为，
，
选 D．
13．
【详解】解：根据对顶角相等可知．
14．(答案不唯一)．
【详解】解：因为，故而9和16都是完全平方数，
都是无理数.
故答案为： （答案不唯一）.
15．
【详解】解：∵关于的不等式的解集是，
∴，
即．
16．
【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个；
白色六边形：第1个有个，
第2个有个，
第3个有个，
可得第个图案中白色六边形数量为个；
∴白色六边形比黑色六边形多：个．
17．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．；
【详解】解：解得：，
解得：，
∴，
数轴略．
19．(1)200人；
(2)；
(3)
(4)如：我建议增设非遗剧目展演的特色区域，因为四个活动中这个活动最受欢迎．
【详解】（1）解：名，
即共调查了200名市民和游客；
（2）解：；
（3）解：人，
图略；
（4）略．
20．；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【详解】略．
21．(1)每台智能导览机0.5万元，每台实景导航设备1.5万元；
(2)共有三种方案：当时，购进智能导览机15台，购进实景导航设备15台；当时，购进智能导览机16台，购进实景导航设备14台；当时，购进智能导览机17台，购进实景导航设备13台．
【详解】（1）解：设每台智能导览机万元，每台实景导航设备万元，
根据题意，列二元一次方程组：，
解得，
答：每台智能导览机0.5万元，每台实景导航设备1.5万元；
（2）解：设购进智能导览机台，实景导航设备台，
根据题意，列一元一次不等式组：，
解得：，
共有三种方案：当时，购进智能导览机15台，购进实景导航设备15台；
当时，购进智能导览机16台，购进实景导航设备14台；
当时，购进智能导览机17台，购进实景导航设备13台．
22．(1)；
(2)，
，
，
；
(3)在的方框中，设，则，，，
，
，
，
；
(4)9．
【详解】（1）解：若框住的数为1，2，8，9，则，
；
若框住的数为2，3，9，10，则，
；
若框住的数为4，5，11，12，则，
；
由此，可猜想：；
（2）略
（3）略
（4）在的方框中，设，则，，，
，
，
，
；
．
23．(1)①
②证明：与从初始状态开始同时逆时针旋转4秒，
，
，
，，
，
，
，
，
；
(2)，，，
【详解】（1）解：①解：旋转1秒转过的角度：，
初始状态下，
∴，
旋转后，可得：
，
∴；
②解：略；
（2）解：有四种情况：，，，，
情况1：当时，，；
情况2：当时，，；
情况3：当时，，；
情况4：当时，，．

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