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小专题15 线段和角度运算中的数学思想方法
类型 1 方程思想
1.如图,P 是线段MN上一点,MP: PN=3:2,Q是线段 PN 的中点.若 MN=15,求 MQ的长.
2.如图,OD 是∠BOC 的平分线,OE 是∠AOC 的平分线,∠AOB:∠BOC=3: 2.若∠BOE=13°,求∠DOE 的度数.
类型 2 数形结合思想
3. 已知线段AB=2cm，延长AB到点C,使BC=2AB,D为AB 的中点,求 DC的长.
4.已知OD是∠AOC的平分线,OE 是∠BOC 的平分线.若∠DOE=30°,求∠AOB 的度数.
类型3 分类讨论思想
5.已知线段AB=12，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB,Q为PB 的中点,求线段AQ的长.
6.如图,C为线段AB 上的一点,D 为BC 的中点，点 C 把线段AD 分成两部分，其中 AC：CD=4:1,且AB=12.
(1)求 AC的长.
(2)若点 E 在线段 AB 所在的直线上，且AE=3,求 DE的长.
7.已知∠AOB,过点 O引两条射线OC,OM,且OM平分∠AOC.
(1)如图,若∠AOB=120°,∠BOC=30°,且点C在∠AOB 的内部,求∠MOB 的度数.以下是求∠MOB 的度数的解题过程，请补充完整：
解:∵∠AOC=∠AOB-∠BOC,
∠AOB=120°,∠BOC=30°,
∴∠AOC=90°.
∵OM平分∠AOC,
∵∠MOB=∠MOC+ ,
∴∠MOB= °.
(2)若∠AOB=α,∠BOC=β(其中α<β<90°)，画出图形，并求∠BOM的度数(用含α，β的代数式表示).
类型4 整体思想
8.如图,C,D 是线段 AB 上的两点,AB=a,CD=b,M,N,P 分别为AC,CD,DB的中点,(1)求 AM+CN+DP 的长.
(2)求 AM+PB 的长.
(3)求 PM的长.
9.如图,∠AOC=100°,∠BOD=40°,射线 OM在∠AOB 内部,射线 ON 在∠COD 内部,∠AOB=4∠AOM,∠COD=4∠CON,求∠MON 的度数.
类型5 从特殊到一般思想
10.已知O是直线AB 上的一点,∠COD=90°,OE 是∠BOD 的平分线.
(1)如图 1,当点 C,D,E 在直线AB 的同侧时.
①若∠COE=35°,求∠AOD 的度数.
②若∠COE=α,则∠AOD= .(用含α的式子表示)
(2)如图2,当点 C 与点 D,E在直线AB 的两侧时，(1)中②的结论是否仍然成立 请给出结论并说明理由.
小专题15 线段和角度运算中的数学思想方法
1.解:∵MP:PN=3:2,∴设MP=3x,PN=2x.∵MN=15,∴3x+2x=15,解得x=3.∴MP=9,PN=6.∵Q是线段PN的中点,∴PQ=QN=6÷2=3.∴MQ=MP+PQ=9+3=12.
2.解:设∠AOB=3x,∠BOC=2x,则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x.∵OE 是∠AOC 的平分线,∴∠AOI10··BOE= 解得x=26°.∵OD是∠BOC 的平分线,. ∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=26°+13°=39°.
3.解：如图所示：
∵D为AB的中点,BC=2AB, BC=4 cm.∴DC=DB+BC=5cm.
4.解:如图所示.∵OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠BOC 的平分线,∴∠AOC=2∠COD,∠BOC=2∠COE.∴∠AOC+∠BOC=2(∠COD+∠COE).∴∠AOB=2∠DOE=2×30°=60°.
5.解:①如图1,当点 P在线段AB 上时,
×12=8.∵Q为PB 的中点, AP+PQ=8+2=10;②如图2,当点 P 在线段AB 的延长线上时,
∵AP=2PB,AB=12,∴AB=PB=12.∵Q为PB 的中点,∴BQ=8.综上所述，AQ的长为10 或18.
6.解:(1)∵D为BC的中点,∴BC=2CD=2BD.∵AC:CD=4:1,∴AC=4CD.∴AB=AC+BC=4CD+2CD=12,解得CD=2.∴AC=4CD=4×2=8.(2)①如图1,当点E在线段AB 上时,
DE=AB-AE-DB=12-3-2=7;②如图2,当点 E在线段BA 的延长线上，
DE=AB+AE-BD=12+3-2=13.综上所述,DE 的长为7或13.
7.解:(1)∠AOC 45 ∠BOC 75(2)分两种情况讨论：①当射线OC、射线OA 在射线OB 的同侧时,如图1所示.∵∠AOB=a,∠BOC=β,∴∠AUL=BOC-∠AOB=β=a.∵OM 平分./C,∴∠AOM=
②当射线OC、射线OA 在射线OB 的异侧时,如图2所示.∵∠AOB=α,∠BOC=β,∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=α+β.∵OM 平分∠AOC,∴ 综上所述，∠BOM的度数为 或
8.解:(1)∵M,N,P分别为AC,CD,DB的中点, ,CN= ∵AB=a,∴AM+CN+DP=- a.(2)∵M,P 分别为AC,DB的中点, CD+DB-CD)= AB- CD.∵AB=a,CD=b,. (3)根据图形可知,PM=AB-(AM+PB).∵AB=a,AM+PB
9.解:设∠AOM=α,∠CON=β.∵∠AOB=4∠AOM,∠COD=4∠CON,∴∠AOB=4a,∠COD=4β.∴∠MOB=∠AOB-∠AOM=3α.又∵∠BOD=40°,∴∠BON=∠COD-∠BOD-∠CON=4β-40°-β=3β-40°.∴∠MON=∠MOB-∠BON=3α-(3β-40°)=3α-3β+40°.又∵∠AOC=100°,∴∠MOC=110°-α.∴∠MON=∠MOC+∠CON=100°-α+β.∴3α-3β+40°=100°-α+β.∴α-β=15°.∴3α-3β=45°.∴∠MON=45°+40°=85°.
10.解:(1)①∵∠COD=90°,∠COE=35°,∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-35°=55°.∵OE 平分∠BOD,∴∠BOD=2∠DOE=2×55°=110°.∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-110°=70°.②2α (2)成立.理由如下:当点 C 与点 D,E 在直线AB 的两侧时,∠AOD=180°-∠BOD=180°-2∠DOE=180°-2(90°-∠COE)=180°-180°+2∠COE=2a.

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