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2025-2026学年天津市第六十一中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞-2 B. x＜-2 C. x≠-2 D. x≥-2
2.下列二次根式，不能与合并的是（　　）
A. B. - C. D.
3.估计2的值应在（　　）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
4.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AO=4，则AB的长是（　　）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
5.将一次函数y=-x+2的图象向上平移2个单位得到的新的函数的表达式（　　）
A. y=-x B. y=-x+2 C. y=-x+4 D. y=-x-2
6.如图，一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点P（1，2），则关于x的不等式mx＜kx+b的解集为（　　）
A. x＜1
B. x＞1
C. x＜2
D. x＞2
7.下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 92 95 95 92
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.对于一次函数y=-2x+6，下列说法正确的是（　　）
A. y的值随x值的增大而增大 B. 其图象经过第二、三、四象限
C. 其图象与x轴的交点为（0，6） D. 其图象必经过点（2，2）
9.某市出租车的收费标准如下表：
里程数 收费/元
3km以下（含3km） 8
3km以上每增加1km 1.8
设行驶里程数为x km,收费为y元，则y与x（x≥3）之间的关系式为（　　）
A. y=8x B. y=1.8x C. y=1.8x+2.6 D. y=1.8x+8
10.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，CA=5.BD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：
①以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BD于点Q；
②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③连接CP并延长交AB边于点E，连接DE.则△DAE的周长为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
11.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A. B. C. D.
12.如图，矩形纸片OACB，OA=8，OB=4，点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接AD.则下列结论：①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为8；③当OD⊥AD时，BP=8-4；④当点P运动到与C重合时，△OAD的面积为.其中结论正确的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算：= .
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB= .
15.如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形是 .
16.嘉嘉和淇淇分别进行了12次1min跳绳测试，教练将他们两人的成绩（单位：个）整理后绘制成了箱线图（如图所示），则下列说法错误的是 .（填序号）
①嘉嘉成绩的第一四分位数为174；
②淇淇成绩的第三四分位数为173；
③嘉嘉成绩的最大值和最小值均高于淇淇；
④淇淇的成绩波动较小.
17.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为 ．
18.如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）则线段AB= ；
（2）在图2中找一格点M，画直线CM，使得CM⊥AB；在直线CM上取一点N，使得△ABN与△ABC关于AB对称.请写出作法（无需证明）： .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
某学校为了了解学生课外阅读的情况，随机抽取了a名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.

请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填空：a的值为______，图①中m的值为______；
（Ⅱ）求统计的这组学生一周的课外阅读时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）若该校共有学生1200人，估计该校学生一周的课外阅读时间大于6h的人数.
21.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，AD=5，CD=3.
（Ⅰ）求∠BCD的大小；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积.
22.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度．
23.(本小题10分)
已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.8km,自习室离宿舍2km.小明从宿舍出发，先匀速步行10min到文具店，在文具店购买文具停留了5min,之后匀速骑行5min到达自习室，在自习室停留50min后，匀速骑行了10min返回宿舍.下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）①填表：

小明离开宿舍的时间/min 5 10 40 75
小明离宿舍的距离/km ______ 0.8 ______ ______
②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为 ______ km/min；
③当0≤x≤20时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当小明离开宿舍5min时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚5min到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
24.(本小题10分)
如图，正方形ABCD，点E、H分别在AB、BC上.
（1）如图1，当∠GOD=90°时.
①求证：DE=AH；
②平移图1中线段AH，使A点与D重合，H点在BC延长线上，连接EH，取EH中点P，连接PC，如图2，求证：；
（2）如图3，若点G在AD上，GH和DE相交于点O.当∠GOD=45°，边长AB=3，HG=，求DE的长.
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA=1，OB=2OA，直线OC：y=x交直线AB于点C.
（I）求直线AB的解析式及C点的坐标；
（Ⅱ）如图2，将图1中的△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，设点E（m,m），问：直线AB上是否存在H点，使得以点F、E、H为顶点，以线段EF为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请求出H点坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如图3，在（I）的条件下，P为直线OC上一动点，且点P在点C的上方，M、N为x轴上动点，N在M右侧且MN=1，
①当时，求出P点坐标______；
②在①的条件下，连接AM和PN，此时AM+MN+PN最小值为______.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】11
14.【答案】6
15.【答案】正方形
16.【答案】②③
17.【答案】6
18.【答案】
取格点M，作直线CM，取格点J，K，连接JK交CM于点N，连接AN，BN即可

19.【答案】【小题1】
【小题2】

20.【答案】（1）40，25；
（Ⅱ）观察条形统计图，
x=4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8，
∴这组数据的平均数是5.8，
∵在这组数据中，5出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为5，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是6，有，
∴这组数据的中位数为6；
（Ⅲ）∵在统计的这组学生一周的课外阅读时间数据中，大于6h的人数占30%，
∴估计该校1200名学生中，一周的课外阅读时间大于6h的学生人数占30%，有1200×30%=360．
∴该校1200名学生中，一周的课外阅读时间大于6h的人数约为360．
21.【答案】120°；
．
22.【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴∠ADF=∠BCE，
在△ADF和△BCE中，
∵
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，∠AFD=∠BEC，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=90°，
∴四边形ABEF是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=6，
∵DE=2，
∴DF=CE=4，
∴CF=4+4+2=10，
Rt△ADF中，∠ADF=45°，
∴AF=DF=4，
由勾股定理得：AC===2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴OF=AC=．

23.【答案】（Ⅰ）①0.4；2；1.
②0.2．
③当0≤x＜10时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=k1x（k1≠0，k1为常数），
将（10，0.8）代入，
得10k1=0.8，
解得k1=0.08，
∴y=0.08x,
当10≤x＜15时，由图象可知，小明离宿舍的距离始终为0.8，
∴y=0.8，
当15≤x≤20时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：
y=k2x+b（k2≠0，k2、b均为常数），
将（15，0.8）和（20，2）代入，
，
解得：，
∴y=0.24x-2.8，
综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=．
（Ⅱ）设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：y=k3x+b1（k3≠0，k3、b1均为常数），
将（5，0.8）和（25，2）代入，
得，
解得：，
∴y=0.06x+0.5，
∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明，
∴0.24x-2.8=0.06x+0.5，
解得x=，
此时离宿舍的距离为0.06×+0.5=1.6（km），
答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是1.6km.

24.【答案】（1）证明：①过点D作DF∥GH，交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD∥BC，
∵DF∥GH，
∴四边形DGHF是平行四边形，
∴GD=FH，HG=DF，
∴∠GOD=∠FDE=90°，
∴∠FDC+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠FDC=∠ADE，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF，
∵HG=DF，
∴DE=HG；
②在BC上截取BN=BE，如图2，
则△BEN是等腰直角三角形，EN=BE，
由（1）知，△ADE≌△CDH，
∴AE=CH，
∵BA=BC，BE=BN，
∴CN=AE=CH，
∵PE=PH，
∴PC=EN，
∴PC=BE，
即BE=PC；
（2）解：如图3，过点D作DN∥GH交BC于点N，
则四边形GHND是平行四边形，
∴DN=HG，GD=HN，
∵∠C=90°，HG=DN=，DC=AB=3，
∴CN===1，
∴BN=BC-CN=3-1=2，
作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴AM=NC，DM=DN，
∵∠DOG=45°，
∴∠NDE=45°，
∴∠ADE+∠CDN=45°，
∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，
在△NDE和△MDE中，
，
∴△NDE≌△MDE（SAS），
∴EM=EN，
∴AE+CN=EN，
设AE=x,则BE=3-x,
在Rt△BEN中，BN2+BE2=EN2，
∴22+（3-x）2=（x+1）2，
解得：x=，
∴DE===．
25.【答案】（3，3） 2+1
第1页，共1页

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