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2025-2026学年宁夏银川市第六中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”.下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.如果a＜b,那么下列不等式正确的是（　　）
A. a+c＞b+c B. a-2＜b-2 C. -＜- D. ＞
3.已知点P（-2，3），将点P向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点P′.若点P′的坐标为（m,1），则m的值为（　　）
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
4.下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A. 4xy（2x-3）=8x2y-12xy B. 12xy=4x 3y
C. x2-2xy+y2-1=（x-y）2-1 D. x2-y2=（x+y）（x-y）
5.如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）
A. 36米
B. 40米
C. 48米
D. 60米
6.下列说法中正确的是（　　）
A. 在△ABC中，是直角三角形
B. 三个角都相等的三角形是等边三角形
C. 若等腰三角形ABC的两边长a,b满足（a-3）2+|b-6|=0，则△ABC的周长为12
D. 用反证法证明命题：“求证：等腰三角形的底角必为锐角”，第一步应先假设“等腰三角形的底角为锐角”
7.如图是函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象，下列结论正确的是（　　）
A. 关于x的方程kx+b-mx-n=0的解为x=4
B. 关于x的方程组的解为
C. 关于x的不等式mx+n＜kx+b的解集为x＜3
D. 当x＜4时，y1＞y2
8.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F，连接BE.若AB=2，BC=4，∠ABC=60°.有下列说法：① ABCD周长等于△ABE的周长的2倍；②四边形ABFE的面积是 ABCD面积的一半：③AB2+AC2=BC2；④，其中，正确结论的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：2x3y-8xy= ．
10.请写出一个使在实数范围内有意义的x的值： .
11.用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为 .
12.如图，AD∥BE，AD=BC=5，BE=8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 .
13.若关于x的方程有增根，则m的值为 .
14.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转α°到△ADE的位置，点E恰好落在边BC上，则α的值 .
15.如图，在 ABCD中，AB=9，AD=6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF的长为 .
16.如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后沿OE恰好入眼（ON为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离，DA⊥OA.若BC∥OA，且∠CBO=120°，∠BON=90°，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为 m.
三、计算题：本大题共3小题，共20分。
17.解不等式组并将不等式组的解集表示在数轴上：.
18.下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
=…第一步
=…第二步
=…第三步
=…第四步
（1）任务一：以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______；
（2）任务二：请写出正确的化简过程，再从-1，0，1三个数中选一个恰当的数作为x的值代入求值；
（3）任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议：______，
19.某学校为打造“书香校园”，准备购买一批图书预算金额不超远2000元．甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所购图书的总价可打八折．乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书的总价可打七折
(1) 请直接写出甲、乙两家书店付款金额y（元）与购买金额x（元）之间的关系式
(2) 如果只能在甲、乙两种付款方式中选择一种，选择哪个书店更合算？
四、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1) 将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1
(2) 作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2
21.(本小题6分)
如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.
22.(本小题6分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若（1）所作的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，连接AD.若AD=3，CD=1，求△ABC的面积.
23.(本小题6分)
材料：如何将x2+（p+q）x+pq型的式子分解因式呢？
我们知道（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq,所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
例如：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，
∴x2+3x+2=（x+1）（x+2）．
上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：x2+3x+2=（x+1）（x+2）．
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为
(2) 若x2+px-15利用十字相乘法可分解为（x+a）（x+5）（a,p均为整数），求a和p的值
24.(本小题8分)
下面是小红学习了“分式方程的应用”做的课堂学习笔记：
课本原题：
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本.这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…
等量关系：所买的文学书数量-所买的科普书数量=1
解法二 设…
等量关系：科普书单价=文学书单价×
（1）请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义；
（2）若小明所在的学校图书室计划购进这两种书共200本，其中科普书的数量不少于文学书数量的，问所需资金最少是多少元？
25.(本小题10分)
在△ABC中，AC=4，
(1) 如图1，若∠ACB=120°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CE，求BE的值
(2) 如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，此时点B，C，E恰好共线，连接BD．
①求证：BE⊥DE；
②求△BDE的面积
26.(本小题10分)
知识回顾：
(1) 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1，点D，E分别为边AB，AC的中点，则线段DE称为△ABC的中位线，则DE与BC的位置关系是 ；DE与BC的数量关系是 ．
方法探究
(2) 请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形，若要求只有一条剪切线，请画出剪切线及剪拼成的平行四边形，并说明拼接方法；
问题解决：
(3) 如图3，有一块空地和水井E，李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地ABCD，其中点E为BC的中点，AD∥BC，为灌溉方便，李大爷想在水井E处修建一条水渠EF（EF为线段，且F在AD上），且水渠两边的菜地面积相等，请确定点F的位置，并证明你的结论．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】2xy（x+2）（x-2）
10.【答案】0（答案不唯一）
11.【答案】1+2a+a2=（1+a）2
12.【答案】20
13.【答案】1
14.【答案】50
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】；-1≤x＜1.5．
18.【答案】二，去括号时-1没有变号
，当x=0时，原式=-1
除法运算转化为乘法运算等（答案不唯一）
19.【答案】【小题1】甲书店y1=0.8x+20（0≤x≤2000），
乙书店y2=0.7x+200（0≤x≤2000）
【小题2】当所购图书原价小于1800元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于1800元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于1800元且不超过2000元时，选择乙书店购书更合算

20.【答案】【小题1】如图，△A1B1C1即为所求；
【小题2】如图，△A2B2C2即为所求

21.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形．
22.【答案】解：（1）如图，DE即为所求；
（2）在Rt△ACD中，∠C=90°，AD=3，CD=1，
∵AC2=AD2-CD2，
∴，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD=3，
∴BC=BD+CD=3+1=4，
∴△ABC的面积=．
23.【答案】【小题1】
（x+2）（x+3）
【小题2】
a=-3，p=2

24.【答案】解：（1）解法一：设文学书的价格为x元，则科普书的价格为1.5x元，
依题意得：，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴科普书的价格为：1.5×5=7.5（元），
答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元；
解法二: 设文学书买了x本, 则科普书买了(x-1) 本,
依题意得:=,
解得:x=3,
经检验,x=3是原方程的解,且符合题意,
=5（元）,5=（元）,
答: 这种科普书和这种文学书的单价各是元和5元;
（2）设购进科普书m本，则购买（200-m）本文学书，
根据题意得：，
解得：m≥80，
设所需资金为w，根据题意得：
w=7.5m+5（200-m）=2.5m+1000，
∵2.5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=80时，w的值最小，
w最小值为：2.5×80+1000=1200（元）．
答：所需资金最少是1200元．

25.【答案】【小题1】+4
【小题2】①如图2，设AD与BE相交于点F，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，BC=DE=，AC=AE=4，
∴CE==4，
∴BE=BC+CE=+4=5
∵∠AFB=∠DFE，
∴180°-∠ABC-∠AFB=180°-∠ADE-∠DFE，
∴∠BAF=∠DEF=90°，
∴BE⊥DE；②5

26.【答案】【小题1】
DE∥BC
DE=BC
【小题2】
取AB的中点D，AC的中点E，以DE为剪切线将三角形ABC裁剪，将△ADE绕点E顺时针旋转至点A与点C重合，则四边形BCFD为拼成的平行四边形
【小题3】
取AD的中点F，连接EF，证明：
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，
∴AM=DN，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF，
∴S梯形ABEF=（AF+BE） AM=（DF+CE） DN，
S梯形CDFE=（DF+CE） DN，
∴S梯形ABEF=S梯形CDFE，

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