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2025-2026学年河南省郑州市第四中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“一窗一景致，一窗一姿容，一窗一风韵，一窗一境界”，窗棂是中国传统建筑文化的审美中心之一.下列的古建窗户图案中，属于中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列结论不正确的是（　　）
A. 若a-5＜b-5，则a＜b B. 若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C. 若2a＞-2b，则a＞-b D. 若x2＞1，则x＞
3.如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（　　）
A. 内角和不变，外角和增加180° B. 外角和不变，内角和增加180°
C. 内角和不变，外角和增加360° D. 外角和不变，内角和增加360°
4.反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子.若我们用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于90°”，则应先假设（　　）
A. 四边形中每个内角都小于90° B. 四边形中有一个内角小于90°
C. 四边形中有一个内角大于90° D. 四边形中每个内角都大于90°
5.如图是一次函数y=kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是（　　）
A. x＜3
B. x≥3
C. x≤2
D. x≥2
6.如果分式中的x、y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的4倍
7.下列说法中正确的是（　　）
A. 两个全等的三角形一定关于某直线对称
B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形
C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是三个内角平分线的交点
8.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B=35°，∠C=2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　）
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
9.已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A. m≤2 B. m≤3 C. m≤3且m≠-1 D. m≤2且m≠-1
10.如图1，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC=15cm,点P从点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图2是点P运动时，线段OP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则△ABC的周长为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：-a3+36a= .
12.若分式有意义，则x的取值范围是 .
13.如图，△ABC绕某点旋转得到△DEF，则其旋转中心的坐标是 .
14.如图，在 ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB=4，AC=6，则EF的长为 .
15.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，P为AD上一动点，以PB为一边作等边△PBE（P，E不在BC的同侧），点F在AB边上，AB=8，AF=2，分别连接DE，PF.求DE的最小值为 ，PF+PD的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.
(1) 解不等式组：
(2) 先化简：，并在-1，0，1中选一个合适的数代入求值
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，△OAB的各顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），O（0，0）.
（1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图：
步骤一：以点O为对称中心，画出与△OAB成中心对称的△OA1B1；
步骤二：以点O为旋转中心，画出将△OA1B1按顺时针方向旋转90°后的△OA2B2；
（2）在嘉嘉设计的图案中，若点M（a,b）为△OAB边上的任意一点，则该点在△OA2B2上对应点的坐标为______.
18.(本小题8分)
随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同.
（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元.
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
19.(本小题7分)
综合与实践.
【主题】利用因式分解生成密码.
【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
【操作】
步骤一：分解因式x2y2-9y2=y2（x2-9）=y2（x+3）（x-3）；
步骤二：取x=8，y=4，则有y=4，y=4，x+3=11，x-3=5，其中04，04，11，05分别为因式码；
步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511.
【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推；
【理解】
（1）①已知多项式x2-y2，当取x=26，y=20时，则生成的密码是______；
②已知多项式x（x2-6x+9），当x=12时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是______；
【拓展】
（2）①已知多项式x4-y4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为______；
②若多项式x3-x2y-xy2+y3，用上述方法生成密码时，已知当取x,y某一组值时，生成的密码是040408，请写出满足条件的x和y,并说明理由.
20.(本小题9分)
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N，
（1）请求出∠AFC的度数.
（2）求证：FE=FD.
（3）若BC=4，请直接写出BE+BD的长为______.
21.(本小题9分)
阅读与思考
下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
垂等四边形【定义理解】对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．
例如，如图1，在正方形ABCD中，AC=BD且AC⊥BD，∴正方形ABCD是垂等四边形．
【问题解决】
问题1：如图2，若四边形ABCD是垂等四边形，AC=6，则四边形ABCD的面积为______．
问题2：如图3，AD=CE，∠DAC=∠DBC=∠ACB=45°，求证：四边形ABCD是垂等四边形．
证明：∵∠DAC=∠ACB=45°，
∴AD∥BE，即AD∥CE，
∵AD=CE，
∴四边形ADEC是平行四边形（依据），
∴AC=DE，AC∥DE，
∴∠E=∠ACB=45°，
…
任务：
(1) 问题1中的四边形ABCD的面积为 ；问题2中的依据是
(2) 补全问题2的求证过程
(3) 如图4，已知线段AC，请在图4中作垂等四边形ABCD，其中四边形ABCD的对角线相交于点O，．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一种即可）
22.(本小题9分)
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF.
观察猜想：
（1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为______；
探究发现：
（2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若△ABC中，，在△DEF旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】-a（a+6）（a-6）
12.【答案】
13.【答案】（1，-1）
14.【答案】
15.【答案】2
2

16.【答案】【小题1】-3＜x＜1
【小题2】，当x=0时，原式=0

17.【答案】如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求； （-b,a）
18.【答案】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，
，
x=2500，
经检验，x=2500是原方程的根．
此时x+300=2800，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）甲型健身器材买了a台，a≤3（20-a）即a≤15，且a为正整数，
w=2800（20-a）+2500a=-300a+56000，
由k=-300＜0，得w随a的增大而减小，
故当a=15时，w取得最小值，且最小值为w=-300×15+56000=51500（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元.．
19.【答案】0646;090912 ①37；②满足条件的x=6，y=2，理由：多项式分解为（x-y）2（x+y），密码040408对应x-y=4，x+y=8，解得x=6，y=2
20.【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠BAD=∠BAC=15°，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，
∴∠AFC=180°-∠DAC-∠ACE=180°-15°-45°=120°；
（2）证明：如图，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=NF，∠EMF=∠DNF=90°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠BAD=∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠EFA=∠ACE+∠DAC=60°，∠BAD=15°，
∴∠MEF=75°=∠CDA=∠NDF，
在△DNF和△EMF中，
，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴EF=DF；
（3）12-4
21.【答案】【小题1】
18
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【小题2】
∵∠DAC=∠ACB=45°，
∴AD∥BE，即AD∥CE，
∵AD=CE，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，AC∥DE，
∴∠E=∠ACB=45°，
在△BDE中，∠E=45°，∠DBC=45°，
∴∠E=∠DBC，
∴DB=DE，∠BDE=180°-45°-45°=90°，
∴BD⊥DE．
∵AC∥DE，
∴BD⊥AC．
∵AC=DE，
∴BD=AC，
即BD=AC且BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形
【小题3】
垂等四边形ABCD，如图即为所求．

22.【答案】（1）AE=CF；
（2）证明：如图2所示，连接AD，
由（1）可知，△AED≌△CFD（SAS），
∴∠EAD=∠FCD，AE=CF，
∴CE=CF+EF=AE+EF，
∴CE-AE=CE-CF=EF，
∵△DEF是等腰直角三角形，即DE=DF，
∴EF2=DE2+DF2=2DE2，
∴EF=DE=DF，
∴CE-AE=DE；
（3）或．
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