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第五章 一元一次方程单元复习
知识结构图
重难点突破
重难点1 一元一次方程的相关概念
【例1】 若关于x的方程2x-kx+1=5x-2的解为x=-1,则k的值为 .
变式训练
1.已知方程3x=-9的解也是方程x=1+a的解，则代数式 的值为 .
重难点2 等式的性质
【例2】如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是 ( )
A.①②③ B.①③
C.①② D.②③
变式训练
2.若a=b,则下列式子:①a-3=b-3;②3a=2b;③-4a=-3b;④3a-1=3b-1.其中正确的有 (填序号).
重难点3 一元一次方程的解法
【例3】解方程：
【解答】
方法指导
解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的次序(不一定每个步骤都要用到)，这样往往可使计算简便.在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时常出现的错误.
变式训练
3.下面是小颖解方程 的过程：解: ,得4(2x-1)=3(x+2)-12.(第一步)
去括号,得8x-4=3x+6-12.(第二步)
移项,得8x-3x=6-12-4.(第三步)
合并同类项,得5x=-10.(第四步)
系数化为1,得x=-2.(第五步)
请认真阅读上面的过程，解答下列问题：
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是 ，这一步的依据是
(2)以上求解步骤中，从第 步开始出现错误.
(3)请写出正确的解方程过程.
重难点4 一元一次方程的应用
【例4】某水果店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140 千克，这两种水果的进价、售价如下表所示：
水果类型 进价/(元·千克 ) 售价/(元·千克 )
甲 5 8
乙 9 13
(1)这两种水果各购进多少千克
(2)若该水果店按售价售完这批水果，则获得的利润是多少元
(3)如果这批水果是在一天之内按照售价销售完的，除了进货成本，水果店每天的其他销售费用是0.1元/千克，那么水果店销售完这批水果获得的利润是多少
【解答】
变式训练
4.某商店将彩电按成本价提高50%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电的成本价是 元.
5.有48支球队共520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，则篮球队、排球队各有多少支
6.课外活动时，李老师到教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个报告而离开教室.
(1)聪明的刘同学说：“让我试一试.”于是，他上去添加了“两人合作需要几天完成 ”请解答刘同学所添加的问题.
(2)张同学说：“我也来试试.”他添加了“现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配 ”请解答张同学所添加的问题.
(3)请你也提出一个可解答的问题：
复习自测
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.已知下列方程：① x=2;② =3;③x 2x-1;④2x =1;⑤x=2;⑥2x+y=1.其中一元一次方程的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.运用等式的性质进行变形，下列选项正确的是 ( )
A.若a=b,则
B.若2-3a=a,则2=a-3a
C.若 则a=b
D.若 则3a=4b
3.当x=3时,代数式 的值为7，则a= ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
4.解方程 时，去分母后，正确的结果是 ( )
A.15x+3-2x-1=1
B.15x+3-2x+1=1
C.15x+3-2x+1=6
D.15x+3-2x-1=6
5.某校七(1)班班主任和55名同学一起去公园划船.已知每只大船最多坐8人，租金为12元，每只小船最多坐4人，租金为8元，共租了10只船，刚好每只船都坐满了人，求大、小船各租了几只.设大船租了x只，则以下方程正确的是 ( )
A.8x+4(10-x)=56
B.8x+4(10-x)=55
C.12x+8(10-x)=56
D.12x+8(10-x)=55
6.定义一种新运算:a b=2a+b,a※b=a b,则方程(x+1) 2=(3※x)-2的解是( )
B. x=-1
D. x=2
7.为配合“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价 20元，凭卡购书可享受八折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡，再凭卡付款，结果节省了 10元.若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款 ( )
A.140元 B.150元
C.160元 D.200元
8.《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何 ”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布 ( )
A.45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.如图所示，此时天平保持平衡状态.若将天平左盘中两个等重的物品取下一个，则同时从右盘中取下 个砝码后，天平仍然保持平衡状态.
10.若代数式2x-7的值与x+3的值互为相反数，则x的值是
11.已知 是关于x的方程 的解,则m= .
12.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于 2，则关于x 的方程 的解为 .
13.王经理到外地出差，带回若干袋土特产，并分给朋友们品尝.如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋.则王经理带回土特产 袋.
14.幻方，中国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”.如图所示的幻方中，每一行、每一列及两条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 .
三、解答题(共44分)
15.(10分)解方程:
16.(10 分)根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入1个小球，水面升高 cm，放入1个大球，水面升高 cm.
(2)如果要使水面上升到 50cm，那么应放入大球、小球各多少个
17.(12分)阅读下列材料，并完成相应的任务.
定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.
例如:方程4x=8的解为x=2,方程y+1=0的解为y=-1,而2+(-1)=1,所以方程4x=8与方程y+1=0为“美好方程”.
(1)请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否为“美好方程”，并说明理由.
(2)若关于x 的方程2x+m=0 与方程 是“美好方程”，求m的值.
18.(12分)为参加演出,七(1)班和七(2)班准备购买演出服.下面是某商家给出的演出服价格表：
数量/套 1~35 36~60 61 及 61 以上
单价/元 70 60 50
已知两班学生共有 67人[其中七(1)班人数多于七(2)班人数，且两班学生人数都不超过60人]，如果两班单独购买演出服，每人只买一套，那么一共应付4 320元.
(1)若两班联合购买演出服，共可以节省多少钱
(2)七(1)班和七(2)班学生各有多少人
(3)若七(1)班有 10名同学被抽调去参加书法绘画比赛，因此不能参加演出，请为两个班设计一种最省钱的购买服装方案.
【例1】 -6
【例2】B
【例3】 解:去分母,得2(2x+1)-(10x+1)=6.去括号,得4x+2-10x-1=6.移项,得4x-10x=6-2+1.合并同类项,得-6x=5.系数化为1,得
【例4】解：(1)设甲种水果购进了x千克，则乙种水果购进了(140-x)千克.根据题意,得5x+9(140-x)=1000,解得x=65.∴140-x=75.答:购进甲种水果65千克,乙种水果75千克.(2)(8-5)×65+(13-9)×75=495(元).答:获得的利润是495元.(3)495-0.1×140=481(元).答:水果店销售完这批水果获得的利润是481元.
变式训练
1.25 2.①④
3.解：(1)去分母 等式两边乘同一个数，所得结果仍是等式 (2)三(3)去分母,得4(2x-1)=3(x+2)-12.去括号,得8x-4=3x+6-12.移项,得8x-3x=6-12+4.合并同类项,得5x=-2.系数化为1,得x
4.1350
5.解:设篮球队有x支,则排球队有(48-x)支.根据题意,得10x+12(48-x)=520,解得x=28.∴48-x=20.答:篮球队有28支,排球队有20支.
6.解：(1)设两人合作需要x天完成.根据题意，得 解得x=2.答：两人合作需要2天完成.(2)设两人再合作y天完成.根据题意，得 解得 ∴师傅完成的工作量占比为 (元),540-300=240(元).答:师傅分得报酬300元，徒弟分得报酬240元.(3)现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成 (答案不唯一)
复习自测
1. B 2. D 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 8. C 9.3 10. 12. x=2 13. 33 14.3
15.解: (2)3(x-3)+2(2x-1)=6x-6,3x-9+4x-2=6x-6,3x+4x-6x=-6+9+2,x=5.
16.解:(1)2 3 (2)设放入x个大球,则放入(10-x)个小球.根据题意,得3x+2(10-x)=50-26,解得x=4.∴10-x=6.答:应放入4个大球、6个小球.
17.解:(1)是“美好方程”.理由如下:解方程4x-(x+5)=1,得x=2,解方程-2y-y=3,得y=-1.∵x+y=2-1=1,∴方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是“美好方程”.(2)解方程2x+m=0,得 解方程 得：y=4.∵关于x的方程2x+m=0与方程 是“美好方程”， ∴m=6.
18.解:(1)4320-67×50=970(元).答:两班联合购买演出服,共可以节省970元.(2)∵67×70=4690(元),4690>4 320,∴有一个班的人数超过35人.∵七(1)班的人数多于七(2)班的人数，∴七(1)班的人数超过35人.设七(1)班学生有x人，则七(2)班学生有(67-x)人.根据题意，得60x+70(67-x)=4320,解得x=37.∴67-x=30.答:七(1)班学生有37人，七(2)班学生有 30人.(3)两班单独购买演出服的费用为(37-10)×70+30×70=3990(元),两班联合购买演出服的费用为(67-10)×60=3420(元),两班联合购买61套演出服的费用为61×50=3050(元).∵3050<3420<3990,∴最省钱的购买方案是两班联合购买61套演出服.

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