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第40讲 数列的综合应用 · 分类练习（解析卷）
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 2
考法1：求解数学文化背景下的数列问题 2
考法2：构建实际生活情境中的数列模型 3
考点二：数列的特殊模型与性质探究 4
考法3：求解数列的公共项问题 4
考法4：求解数列的插项问题 4
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 5
考法6：探究数列中的整数与存在性问题 6
考点三：数列与函数、不等式的综合 7
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 7
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 9
考法9：结合取整函数求解数列问题 11
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 12
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 15
考点四：数列与几何、概率的综合 16
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 16
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 18
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 21
考点五：数列中的新定义问题 25
考法15：探究新定义数列的通项与求和 25
考法16：探究新定义数列的性质与证明 29
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 31
考法18：证明新定义背景下的不等式 35
答案速查表
1 2 3 4 5
ABD A （1） （2） C
6 7 8 9 10
见解析 ABD ABD D 见解析
11 12 13 14 15
见解析 C ABD ACD 见解析
16 17 18 19 20
见解析2 ABD 35 （1） （2）证明见解析 （3）或
21 22 23 24 25
（1）①不是，②是 （2）证明见解析 （3） ABD （1） （2） （3）；理由见解析 见解析 C
26 27 28 29 30
BCD （1）（i）5、7、11、13；（ii）证明见解析 （2）证明见解析 BCD 见解析 ABC
31 32 33 34
（1）①不是，②是 （2）证明见解析 （3） （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用
考法1：求解数学文化背景下的数列问题
1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”．我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长．把上述依次得到的弦长组成的数列记为．则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. ，使得：
D. ，都有
【答案】ABD
【解析】由题意知，，，，，，故A正确.
由规律可知，，，所以数列的奇数项构成公比为的等比数列，偶数项构成公比为的等比数列.
对于B选项，，即，故B正确.
对于C选项，因为奇数项成等比数列，所以成等比数列，若它们成等差数列，则，即，化简得，不成立，故C错误.
对于D选项，因为奇数项成等比数列，根据等比中项的性质，必有，故D正确.
【点拨】本题考查数学文化背景下的数列问题，关键是根据题意写出数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项分别构成等比数列的规律，再结合等比数列的性质进行判断.
考法2：构建实际生活情境中的数列模型
2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装 人工等费用24万元，从第二年起，包括人工 维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（　　）
A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元
【答案】A
【解析】设第年的总盈利为万元.
由题意可知，每年的年产值均为100万元，则年的总产值为万元.
每年的费用构成首项为24，公差为8的等差数列，
则前年的总费用为万元.
引进生产线的成本为196万元，
所以引进该生产线后第年的总盈利为.
当时，取得最大值204.
即引进该生产线后总盈利的最大值为204万元.
【点拨】本题考查等差数列在实际生活中的应用，根据题意列出总盈利关于年数的二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值是解题的关键.
考点二：数列的特殊模型与性质探究
考法3：求解数列的公共项问题
3.已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
【点拨】本题考查数列的公共项问题，通过分析两个数列的奇偶性特征，找出公共项的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
考法4：求解数列的插项问题
4.已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为①，
所以时，②，
①②得：，即，
又时，，所以也满足上式，
故的通项公式为.
（2）设数列满足．
记的前项和为，的前项和为，则．
由等比数列的求和公式得：，．
所以.
即新数列的前项和.
【点拨】本题考查利用退位相减法求数列的通项公式，以及数列插项后的求和问题，将新数列的求和转化为原数列与插入项构成的数列分别求和是解题关键.
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列
5.（多选）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（　　）（参考数据：，）
A. 是单调递增数列，是单调递减数列
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由，得，
，
令，即，
则，
，．
利用函数的图象（图略，可借助蛛网图分析）：
由图得：
①单调递增，单调递减，
，故A正确；
②，，
，
，因此B正确；
③，，因此C不正确；
④由不动点，得，可得：，，因此D正确．
故选：C．
【点拨】本题考查由递推关系探究数列的性质，通过换元转化为的形式，借助函数单调性或蛛网图分析子数列的单调性及有界性是解决本题的核心.
考法6：探究数列中的整数与存在性问题
6.（2025·江西三新协同·模拟）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列．
（1）若，写出一个数列；
（2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
（3）若数列是等差数列，求的最小正整数．
【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）
（2）证明见解析
（3）2
【解析】（1）若，则，
此时，
，，此时
故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）
（2）证明：为等比数列，且，则公比．
为偶数，为偶数，，且恒为奇数．
此时，而，故
，故为数列
（3）设数列的公差为，则，
当时，设此时前项和为，
，，
又，，的最小正整数为2，
当时，设此时的前项和为，易知
，
，，的最小正整数为2．
综上所述，的最小正整数为2
【点拨】本题考查新定义数列问题，关键是理解数列的定义，结合等差、等比数列的求和公式及裂项相消法进行放缩证明.
考点三：数列与函数、不等式的综合
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值
7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（　　）
A. 若，则
B. 一定不是等差数列
C. 若为等比数列，则公比为2
D. 若，则为等比数列
【答案】ABD
【解析】对于A，，当时，，故A正确；
对于B，假设是等差数列，设公差为，
则，，
由得，
即，
根据多项式相等可得，方程组无解，
所以一定不是等差数列，故B正确；
对于C，若为等比数列，由，两式相减得，
即，由得，解得，故C错误；
对于D，若，则，，
当时，，所以，
当时，，，
两式相减可得，即，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列，
偶数项是以为首项，4为公比的等比数列，又，，
所以数列为等比数列，故D正确.
故选：ABD.
【点拨】本题考查由递推关系探究数列的性质，通过赋值法、待定系数法以及作差法将前项和的递推关系转化为通项的递推关系是解题的关键.
8.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）已知各项均不为零的数列，其前项和是，，且．下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若为递增数列，则的取值范围是
C. 存在实数，使得为等比数列
D. ，使得当时，总有
【答案】ABD
【解析】由得，
相减可得，，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
对于A，，，故正确；
对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，，
若，，则需要，，则，故正确，
对于C，，，若为等比数列，则为常数，则，
此时，故，，进而可得数列的项为1,1,2,2,3,3,，显然这不是等比数列，故错误，
对于D，若，只要足够大，一定会有，
则，只要足够的大，趋近于0，
而，显然能满足，故，当时，总有，故正确，
故选：ABD.
【点拨】本题考查由递推关系求数列的通项，以及数列的单调性与极限思想的应用，利用作差法得出奇偶项分别成等差数列是解题的核心.
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式
9.（2026·江苏南京·二模）曲线在处的切线为，分别记在轴上的截距为，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得导数.
曲线在处的切线斜率为，切点坐标为.
所以切线的方程为.
令，解得，即；
令，解得，即.
所以.
故.
故选：D.
【点拨】本题考查导数的几何意义以及数列的裂项相消求和，先求出切线方程得到截距的表达式，再通过代数变形利用裂项相消法求和.
10.（2026·河北NT名校·检测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：．
（1）试判断数列的单调性，并给出证明；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）数列单调递减．
理由如下：由题意，，则，
因为函数的图象在处的切线平行于直线，直线的斜率为2，
所以，解得，所以．
则，又，所以，所以，
所以，
所以，
所以数列单调递增．
（2）证明：因为，所以，则，
．
因为时，．
所以．
【点拨】本题考查导数的几何意义、递推数列的单调性以及利用裂项相消法证明数列不等式，通过递推关系构造裂项形式是解题的关键.
11.（2026·广东湛江·检测）已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
（1）求的最大值；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）1
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）由，函数的定义域为R，，所以，．
在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值．
故的最大值为．
（2）设，则．
又因为，所以在上单调递减．且，
所以．
设，则，设，则，
在上单调递增，故，在上单调递增，故，
，即，所以．
所以，
所以，且在上单调递减，所以．
综上所述，故．
（3）由（2）知，所以，故，．
在处的切线方程为，即．
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得，，在上单调递增，
，即，．
由，，得，
解得．
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及利用导数证明不等式，通过构造函数并利用切线放缩是解决第三问的关键.
考法9：结合取整函数求解数列问题
12.（2026·江西萍乡·二模）已知数列满足，其中表示不超过的最大整数．若，则（　　）
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
【答案】C
【解析】对于任意实数，有，
所以.
因此.
又，
当时，.
当时，.
当时，.
归纳可得，.
由，即.
因为，所以.
若为奇数，设，则，解得，此时；
若为偶数，设，则，解得，此时.
结合选项，可知.
故选：C.
【点拨】本题考查取整函数的性质与递推数列的综合，利用恒等式化简递推关系，进而求出数列的通项是解题的关键.
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式
13.（2025·广东燕博园·检测）（多选）已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 函数为奇函数
C. 函数的图象关于直线对称
D.
【答案】ABD
【解析】令得，，解得，A正确；
由得，所以函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，B正确；
由得，
，所以函数的图象关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，C错误；
因为，所以，故，所以，，故，D正确.
故选：ABD.
【点拨】本题考查抽象函数的对称性与周期性，通过赋值法和代数代换推导出函数的性质，进而求解数列求和问题.
14.（2026·江西宜春十校·联考）（多选）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（　　）
A. 数据的平均数是
B. 数据的平均数是
C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数
D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设的前项和为，，
所以数据的平均数是，故A选项正确；
对于B选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故B选项错误；
对于C选项，的中位数是，的中位数是，
，故C选项正确；
对于D选项，当时，
由
，且等号当且仅当时成立，
故的前项和比的前项和大，平均值亦然，D选项正确.
故选：ACD.
【点拨】本题考查等差数列与等比数列的性质综合，利用基本不等式以及作差法比较等差数列与等比数列对应项的和是解题的关键.
15.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列的前项和为，，且对，．
（1）求；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，
当时，，
累乘得：，所以，
又符合上式，
所以.
由，解得，
所以.
（2）证明：由（1）得，
所以，
故，
因为，所以.得证.
【点拨】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，以及利用裂项相消法证明数列不等式，将通项变形为可裂项的形式是解题的核心.
16.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列．
（1）若，写出一个数列；
（2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
（3）若数列是等差数列，求的最小正整数．
【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）
（2）证明见解析
（3）2
【解析】（1）若，则，
此时，
，，此时
故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）
（2）证明：为等比数列，且，则公比．
为偶数，为偶数，，且恒为奇数．
此时，而，故
，故为数列
（3）设数列的公差为，则，
当时，设此时前项和为，
，，
又，，的最小正整数为2，
当时，设此时的前项和为，易知
，
，，的最小正整数为2．
综上所述，的最小正整数为2
【点拨】本题考查新定义数列问题，关键是理解数列的定义，结合等差、等比数列的求和公式及裂项相消法进行放缩证明.
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题
17.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列满足，且，则（　　）
A. 存在唯一的实数，使得为常数列
B. 当时，为递减数列
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，，前项和为，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由条件可知，，
若，则，为常数列，
若，则，为常数列，故A错误；
对于B，因为，当时，，所以，
由可知，对所有，都有，
两边取以10为底的对数，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
即，，
因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确；
对于C，，，
因为恒成立，
所以，得，故C正确；
对于D，当时，，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
即，，
，
而数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以前项和为，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点拨】本题考查由递推关系求数列通项，通过配方转化为，再取对数转化为等比数列是解题的关键.
18.（2026·安徽皖江联盟·检测）已知数列满足是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为＿＿＿＿＿＿．
【答案】35
【解析】因为，所以，
又由知，，
从而，
依题意，考虑到是正整数，解得，
故正整数的所有可能取值是，共个．
【点拨】本题考查数列的递推关系与不等式综合，通过构造等比数列放缩求出通项的范围，进而估算前项和的范围是解题的关键.
考点四：数列与几何、概率的综合
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题
19.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点．
（1）若，求的坐标；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）已知，设及的面积分别为，若存在正整数，使得，求所有可能的值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）或
【解析】（1）因为，，，
所以，，
由得或
因此．
（2）因为，，，
所以，，
由得或
因此，，
因为，即，
所以，
因此，
又，所以，
因此，即数列为等比数列．
（3）由（2）得，即，
于是，
注意到，因此，
由，，
得，
因此，
因为，
所以，即，
设，，，
则，
因为，，
所以，
所以，即单调递增．
又，，
所以或2，
若，则，，
当时,，
因此或3，
当时，，解得，
当时，，解得．
若，则，，
当时，，
因此，
所以，解得（舍），
综上，的所有可能的值为3或．
【点拨】本题考查数列与解析几何的交汇，通过几何作图过程建立坐标递推关系，利用等比数列求出通项，最后转化为函数单调性问题求解参数.
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题
20.（2024·广东华南师大·三模）如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第个图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】图1：边长为2的正三角形，面积.阴影部分面积.
图2：将原三角形分成4个小正三角形，去掉中间的一个，剩下3个阴影小正三角形.每个小三角形面积是原来的.所以阴影面积.
图3：每个阴影小三角形再进行同样操作，阴影面积变为原来的.所以.
以此类推，第个图中阴影部分的面积.
【点拨】本题考查分形几何中的数列问题，通过观察图形变化规律，得出阴影部分面积构成等比数列是解题的关键.
21.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
【答案】（1）①不是，②是
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）①不是，因为数组中任何两个都是比例关系；
②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系．
（2）直线的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
若存在正整数和且，使，那么．
因为，则有比例性质，
于是，
，
故，则，矛盾！
故对任意正整数，不存在正数，使得，则2是有趣数，
所以2的一列有趣数组为．
（3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数；
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解，由，故是3的倍数，
若，为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！
同理，或，或也不成立．
若为3的倍数，则也为3的倍数，
设，则，即，故为3的倍数．
设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程没有正整数解，则3不是有趣数，
当时，由（1）知，则，
此时取，其中，
由比例性质同理可知对任意正整数，不存在正数，使得，则4是有趣数，
当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点，
则直线的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理可得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
由比例性质同理知：对任意正整数，不存在正数，使得，则5是有趣数．
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解．
由于，故是3的倍数，
由时分析可知和都是3的倍数，
设，则，即，
故：为3的倍数．
设，则有．
所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．
因此1，2，，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为．
【点拨】本题考查新定义背景下的不定方程与数论问题，通过直线与圆相交的几何模型构造勾股数组是解题的巧妙之处，同时结合整除性证明方程无解.
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题
22.（2026·湖北孝感·检测）（多选）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为，数列的前项积为，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】当时，，又，故．
，，
，
所以为偶数时，；为奇数时，．
的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为3，公差为2的等差数列．
故，选项A正确；
，选项B正确；
由于的奇数项都是偶数，偶数项都是奇数，
，故选项C错误；
，
又，所以，故选项D正确．
故选：ABD．
【点拨】本题考查递推数列的奇偶项特征以及概率的计算，通过作差法求出奇偶项的通项公式，再结合组合数公式求出概率是解题的关键.
23.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下：
①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立．
②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．
已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：．
（1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；
（2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；
（3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．
【答案】（1）
（2）
（3）；理由见解析
【解析】（1）设表示第一天结束时，被成功激活的用户人数，则，
由二项分布的期望公式得；
（2）由（1）可知，考虑二项展开：
，
，
两式相加，，
当为偶数时，；当为奇数时，．
则两式相加后，奇数项和为0，只剩偶数项两倍，
设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为，
所以，故；
（3）情形一：
甲被推送的概率是，两天后用户甲是激活用户有两种情形：
①第一天被成功激活，概率为；
②第一天未被成功激活，概率为，且第二天被成功激活，
若甲第二天被成功激活，则第一天另一位初始被推送者乙一定被成功激活，
乙作为激活用户尝试激活用户甲，
甲被成功激活的概率为，
故甲在第一天未被成功激活，第二天被成功激活的概率为，
因此，在甲是初始被推送的两人之一的条件下，
两天后用户甲是激活用户的概率为：；
情形二：若甲不是初始被推送的两人，其概率为，
两天后用户甲是激活用户有两种情形：
①第一天有1人被成功激活，再由此人成功激活甲，
概率为：；
②第一天有2人被成功激活，甲在第二天被成功激活，
概率为：，
因此，在甲不是初始被推送的两人的条件下，两天后用户甲是激活用户的概率为：
；
综上，两天后用户甲是激活用户的概率为：
．
爆发式流量暴涨的原因：随着被成功激活的人数增加，每天尝试对未激活用户进行推荐触达的人数增大，使得非激活用户被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，导致流量暴涨．
【点拨】本题考查二项分布的期望与概率计算，以及全概率公式在实际传播模型中的应用，通过二项式定理求偶数项概率和是解题的技巧.
24.（2026·安徽A10联盟·检测）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第次摸球后游戏结束的概率．
（1）求；
（2）求；
（3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量．证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1），
．
（2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1，2个红球的概率分别为，，．
若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1个红球的概率分别为，．
则摸球次，记第次和第次分别各摸到一个红球的概率为，
则，
摸球次，记第次摸到两个红球的概率为，则．
则
．
（3）设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
记，则
，
可能取值为1，2，且，，
，故．
【点拨】本题考查马尔可夫链模型背景下的概率计算，通过分类讨论摸到红球的次数和位置，利用等比数列求和公式求出概率，再结合期望公式进行不等式证明.
考点五：数列中的新定义问题
考法15：探究新定义数列的通项与求和
25.（2025·山东名校联盟·二模）对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】由，
则.
故选：C.
【点拨】本题考查新定义运算，本质是求一个十进制数转化为二进制数后，各位数字中1的个数，将63写成二进制形式即可求解.
26.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知为数列的前项和，且，规定，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】由，得，即，又也满足上式，所以，
当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，故，故A错误；
由，
，
所以，故B正确；
当时，，假设当时，成立，
当时，由，
可得，
则，
，，
，
，
将上式相加可得，
又，则，
故，
即当时也成立，故，
所以，故C正确；
当时，由，易得成立，
当时，由C选项知，
则，
，，
，
，
上式相加得，
又由上知，，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查新定义数列的通项与求和，利用递推关系求出数列通项，再结合组合数恒等式与数学归纳法证明结论是解题的难点.
27.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；；满几进一，就是几进制”．记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为．
（1）设正整数在三进制下的各位数字之和；
（i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明：；
（2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，证明：（其中表示不大于的最大整数）．
【答案】（1）（i）5、7、11、13；（ii）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）（i）5、7、11、13
（ii）设，其中
则，
因为，
所以，
同理，，
所以，所以．
（2）因为，所以，即，
由数列为正项数列，则，所以．
又因为，则，
所以，所以
则，两式作差得，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得．
方法一：
因为，设，
当时，；
当时，，
当时，，
所以，即；
当时，；
当时，，
当时，，
所以，
即，
同理可得
，
当时，，所以．
所以
．证毕
方法二：上接，
对任意实数，记，其中
当时，
当时，
当时，
故对任意实数，恒有，
则．
代入，得，
取正整数满足，则，记，
则，
当，，故，得证．
【点拨】本题考查新定义进位制以及数列的求和，通过构造等比数列求出通项公式，再利用取整函数的性质进行化简求和是解题的关键.
考法16：探究新定义数列的性质与证明
28.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　）
A. 存在公差不为0的等差数列具有性质
B. 以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C. 若数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D. 若数列和均具有性质，则数列也具有性质
【答案】BCD
【解析】对于A，若是等差数列，且公差，则，
当时，，所以不存在常数使得不等式成立，故A错误；
对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列，
则
，
所以存在常数，使得不等式成立，故B正确；
对于C，若具有性质，则存在常数，使得，即，
所以，
所以存在常数，使得不等式成立，故C正确；
对于D，若和均具有性质，则存在常数，
使得，，
因为，
同理，
所以
，
所以
，
所以存在常数，使得不等式成立，故D正确．
故选：BCD．
【点拨】本题考查新定义数列的性质，本质是考查有界变差数列，结合绝对值不等式进行放缩证明是解题的关键.
29.（2026·安徽临泉中学·二模）已知函数．
（1）当时，讨论的图象与直线的交点个数；
（2）对任意的，恒成立，求的值；
（3）证明：．
【答案】（1）当或时，交点个数为1；当时，交点个数为2；当时，交点个数为0
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）当时，，定义域为，
，
令，解得：．
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，；当时，；当时，；当时，．
的大致图象如图所示，
当时，的图象与直线的交点个数为0；
当或时，的图象与直线的交点个数为1；
当时，的图象与直线的交点个数为2．
（2），恒成立，
，即．
令，则不等式等价于，
，
当，则，在上单调递减，，
时不合题意；
当，令得；
令得，
的递增区间为，递减区间为，
若，
，则当时，，不合题意；
若，，符合题意；
若，，则当时，，不合题意；
综上，．
（3）由（2）得，当时，有，当且仅当时等号成立，
时，，
，即，
，
，
，
，，，，
，即，
．
【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及利用导数证明数列不等式，通过构造函数得到，再赋值裂项相加是证明不等式的关键.
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合
30.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合，其中，且，定义的和集，则（　　）
A. 若是等差数列，则的元素个数为
B. 若是等比数列，则的元素个数为
C. 若的元素个数为，则是等差数列
D. 若的元素个数为，则是等比数列
【答案】ABC
【解析】对A，设等差数列的公差为，则，
，的取值范围为从0到，且能取遍所有整数，共个不同值，
因此，的元素个数为，A对；
对B，设等比数列公比，则，若，不妨设，两边除以：
，若，则最大幂指数：，代入得矛盾，，
同理，所以若，则，，
即的元素个数为，B对；
对C，，
已有项互不相同，，
，此时必为等差数列，C对；
对D，取，则，
元素个数为，但该数列不是等比数列，故D错．
故选：ABC．
【点拨】本题考查新定义集合的运算与数列性质的综合，通过分析等差数列和等比数列的求和特征，结合集合元素的互异性进行判断是解题的关键.
31.（2026·湖北鄂东南联盟·模拟）已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为，所以数列为递减数列，
则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素，
所以元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集），
因此，又，所以．
因为①，
所以②，
①②错位相减得，
化简得，所以，
易知当时，，则，所以，
所以，即实数的取值范围为．
【点拨】本题考查集合子集的最值求和问题，通过分析数列的单调性确定最小元素，再利用错位相减法求和并求极限是解题的关键.
32.（2025·山东名校联盟·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
【答案】（1）①不是，②是
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）①不是，因为数组中任何两个都是比例关系；
②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系．
（2）直线的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
若存在正整数和且，使，那么．
因为，则有比例性质，
于是，
，
故，则，矛盾！
故对任意正整数，不存在正数，使得，则2是有趣数，
所以2的一列有趣数组为．
（3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数；
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解，由，故是3的倍数，
若，为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！
同理，或，或也不成立．
若为3的倍数，则也为3的倍数，
设，则，即，故为3的倍数．
设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程没有正整数解，则3不是有趣数，
当时，由（1）知，则，
此时取，其中，
由比例性质同理可知对任意正整数，不存在正数，使得，则4是有趣数，
当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点，
则直线的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理可得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
由比例性质同理知：对任意正整数，不存在正数，使得，则5是有趣数．
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解．
由于，故是3的倍数，
由时分析可知和都是3的倍数，
设，则，即，
故：为3的倍数．
设，则有．
所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．
因此1，2，，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为．
【点拨】本题考查新定义背景下的不定方程与数论问题，通过直线与圆相交的几何模型构造勾股数组是解题的巧妙之处，同时结合整除性证明方程无解.
考法18：证明新定义背景下的不等式
33.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“-数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“-数”：
，其中，.利用“-数”可以进一步定义两个概念：“-阶乘”：
，且，“-组合数”
（1）计算和的值；
（2）证明：对任意，；
（3）证明：对任意，．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）由题意知，
．
（2）证明：因为
，
所以，即．
（3）证明：由（2）知，
所以
将上述个等式左右两边分别相加得
．
【点拨】本题考查新定义“-数”与组合数的综合，通过类比组合数性质的推导过程，利用代数变形和累加法证明等式是解题的关键.
34.（2025·广东深圳中学·一模）若数列满足．定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为，项为，且对任意项， 中的 的个数不少于 的个数．当 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 表示“广义规范数列”的个数．
（1）若 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 的通项公式；
（2）求 ；进一步证明：当 时，；
（3）当 且 时，记 表示 项数列中符合广义规范数列的概率，求证：．
（提示：）
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）规范数列要求，即数列中-1和1的数量相等，均为项，
等比数列的公比必须使得所有项，
因此公比只能是-1或1，
若公比，则所有项均为首项的值，
但若，则数列全为1，
此时-1的数量为0，与矛盾，
同理，若，则数列全为-1，
此时1的数量为0，亦矛盾，因此公比不满足条件，
若公比，则数列为交替数列，
由于规范数列要求-1和1的数量相等，总项数为，
故，即，
这与规范数列定义一致，接下来需验证前缀条件：对任意，前项中-1的个数不少于1的个数，
若首项，则数列为，
此时前1项中1的个数为1，的个数为0，
不满足前缀条件，因此首项必须为-1，
即，数列为，
当为奇数时，前项中有个-1和个1，
显然-1的个数多于1，当为偶数时，
前项中有个-1和个1，满足-1的个数不少于1的个数，
因此，唯一满足条件的等比数列为，
进一步验证总项数时和的数量均为，
符合规范数列定义；
（2）当时，若第一个位置为-1，
则剩余个-1和2个1，此时广义规范数列的数目为，
若第一个位置为1，则剩余个-1和1个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数，
这种情况等价于的广义规范数列，其数目为，
因此，递推关系为，
当时，数列中有个-1和1个1，
且每个前缀中-1的个数不少于1的个数，
此时1必须放在第2到第位中的任意一个位置，
共有种选择，因此，
初始条件为（规范数列情况），
因为，
所以，
若第一个位置为-1，则剩余个-1和个1，
对应数目为，若第一个位置为1，
则剩余个-1和个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数，
这种情况等价于的广义规范数列，
对应数目为，由于，
上述两种情况互斥且穷尽所有可能，故递推式成立，
综上，当时，广义规范数列的个数为，
且递推关系（当）得证；
（3）当时，广义规范数列的个数满足递推式，
，
其中，
，，
，，
，
因此概率为，
广义规范数列的数目可表示为，
，
，因为，
所以
此不等式恒不成立，说明随增大而递增，
因此，最大概率出现在最小时，
，
当时，，
当时，通过数值验证严格递减，
故命题成立.
【点拨】本题考查新定义数列的通项与概率计算，通过分类讨论首项的取值建立递推关系，再利用组合数公式求出概率并证明不等式是解题的关键.
第 2 页，共 17 页第40讲 数列的综合应用 · 分类练习
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 1
考法1：求解数学文化背景下的数列问题 1
考法2：构建实际生活情境中的数列模型 1
考点二：数列的特殊模型与性质探究 2
考法3：求解数列的公共项问题 2
考法4：求解数列的插项问题 2
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 2
考法6：探究数列中的整数与存在性问题 2
考点三：数列与函数、不等式的综合 3
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 3
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 3
考法9：结合取整函数求解数列问题 4
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 4
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 5
考点四：数列与几何、概率的综合 6
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 6
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 6
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 7
考点五：数列中的新定义问题 8
考法15：探究新定义数列的通项与求和 8
考法16：探究新定义数列的性质与证明 9
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 9
考法18：证明新定义背景下的不等式 10
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用
考法1：求解数学文化背景下的数列问题
1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”．我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长．把上述依次得到的弦长组成的数列记为．则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. ，使得：
D. ，都有
考法2：构建实际生活情境中的数列模型
2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装 人工等费用24万元，从第二年起，包括人工 维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（　　）
A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元
考点二：数列的特殊模型与性质探究
考法3：求解数列的公共项问题
3.已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则＿＿＿＿＿＿．
考法4：求解数列的插项问题
4.已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和．
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列
5.（多选）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（　　）（参考数据：，）
A. 是单调递增数列，是单调递减数列
B.
C.
D.
考法6：探究数列中的整数与存在性问题
6.（2025·江西三新协同·模拟）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列．
（1）若，写出一个数列；
（2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
（3）若数列是等差数列，求的最小正整数．
考点三：数列与函数、不等式的综合
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值
7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（　　）
A. 若，则
B. 一定不是等差数列
C. 若为等比数列，则公比为2
D. 若，则为等比数列
8.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）已知各项均不为零的数列，其前项和是，，且．下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若为递增数列，则的取值范围是
C. 存在实数，使得为等比数列
D. ，使得当时，总有
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式
9.（2026·江苏南京·二模）曲线在处的切线为，分别记在轴上的截距为，则（　　）
A. B. C. D.
10.（2026·河北NT名校·检测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：．
（1）试判断数列的单调性，并给出证明；
（2）当时，求证：．
11.（2026·广东湛江·检测）已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
（1）求的最大值；
（2）证明：；
（3）证明：．
考法9：结合取整函数求解数列问题
12.（2026·江西萍乡·二模）已知数列满足，其中表示不超过的最大整数．若，则（　　）
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式
13.（2025·广东燕博园·检测）（多选）已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 函数为奇函数
C. 函数的图象关于直线对称
D.
14.（2026·江西宜春十校·联考）（多选）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（　　）
A. 数据的平均数是
B. 数据的平均数是
C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数
D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数
15.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列的前项和为，，且对，．
（1）求；
（2）证明：．
16.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列．
（1）若，写出一个数列；
（2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
（3）若数列是等差数列，求的最小正整数．
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题
17.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列满足，且，则（　　）
A. 存在唯一的实数，使得为常数列
B. 当时，为递减数列
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，，前项和为，则
18.（2026·安徽皖江联盟·检测）已知数列满足是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为＿＿＿＿＿＿．
考点四：数列与几何、概率的综合
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题
19.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点．
（1）若，求的坐标；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）已知，设及的面积分别为，若存在正整数，使得，求所有可能的值．
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题
20.（2024·广东华南师大·三模）如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第个图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿．
21.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题
22.（2026·湖北孝感·检测）（多选）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为，数列的前项积为，则（　　）
A.
B.
C.
D.
23.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下：
①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立．
②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．
已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：．
（1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；
（2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；
（3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．
24.（2026·安徽A10联盟·检测）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第次摸球后游戏结束的概率．
（1）求；
（2）求；
（3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量．证明：．
考点五：数列中的新定义问题
考法15：探究新定义数列的通项与求和
25.（2025·山东名校联盟·二模）对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
26.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知为数列的前项和，且，规定，则（　　）
A.
B.
C.
D.
27.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；；满几进一，就是几进制”．记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为．
（1）设正整数在三进制下的各位数字之和；
（i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明：；
（2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，证明：（其中表示不大于的最大整数）．
考法16：探究新定义数列的性质与证明
28.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　）
A. 存在公差不为0的等差数列具有性质
B. 以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C. 若数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D. 若数列和均具有性质，则数列也具有性质
29.（2026·安徽临泉中学·二模）已知函数．
（1）当时，讨论的图象与直线的交点个数；
（2）对任意的，恒成立，求的值；
（3）证明：．
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合
30.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合，其中，且，定义的和集，则（　　）
A. 若是等差数列，则的元素个数为
B. 若是等比数列，则的元素个数为
C. 若的元素个数为，则是等差数列
D. 若的元素个数为，则是等比数列
31.（2026·湖北鄂东南联盟·模拟）已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
32.（2025·山东名校联盟·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
考法18：证明新定义背景下的不等式
33.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“-数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“-数”：
，其中，.利用“-数”可以进一步定义两个概念：“-阶乘”：
，且，“-组合数”
（1）计算和的值；
（2）证明：对任意，；
（3）证明：对任意，．
34.（2025·广东深圳中学·一模）若数列满足．定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为，项为，且对任意项， 中的 的个数不少于 的个数．当 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 表示“广义规范数列”的个数．
（1）若 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 的通项公式；
（2）求 ；进一步证明：当 时，；
（3）当 且 时，记 表示 项数列中符合广义规范数列的概率，求证：．
（提示：）
第 2 页，共 17 页第40讲 数列的综合应用 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 4
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 4
考点二：数列的特殊模型与性质探究 6
考点三：数列与函数、不等式的综合 9
考点四：数列与几何、概率的综合 15
考点五：数列中的新定义问题 21
四、高考真题 27
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第8题 单选题 第19题 解答题 5分 17分 间接 直接 抽象函数递推（类似斐波那契数列） 新定义数列的性质探究与证明
2025 第16题 解答题 15分 直接 递推数列求通项、数列求和与导数综合
2026 第7题 单选题 第14题 填空题 5分 5分 直接 直接 等差数列的分组求和与性质 等比数列与不等式放缩综合
近三年全国一卷对数列综合应用的考查频次极高，每年均有涉及，且分值占比较大.命题形式灵活多样，既有客观题中的性质探究与放缩，也有解答题中的新定义证明与跨模块综合，是高考的重难点板块.
2. 命题角度与特色
（1） 创新性强，常以新定义数列、数学文化或实际生活情境为背景，考查学生的现场学习能力、阅读理解能力和逻辑推理能力（如2024年第19题、2026年第7题）.
（2） 跨模块交汇特征明显，数列常与函数、导数、不等式等知识深度结合，综合性高，对代数变形和放缩技巧要求较高（如2025年第16题、2026年第14题）.
（3） 侧重考查数列的本质属性，如等差数列的对称性与分组求和、等比数列的单调性与有界性，以及递推关系的构造与转化.
3. 备考策略
（1） 扎实掌握等差、等比数列的基本公式与性质，熟练运用各种求和方法（如错位相减、裂项相消、分组求和等），做到基础题不失分.
（2） 提升阅读理解与转化能力，面对新定义数列问题时，要善于通过举例、赋值、归纳等方法探究其本质规律，将其转化为熟悉的数列模型.
（3） 加强跨模块综合训练，特别是数列与函数、不等式结合的题目，熟练掌握放缩法、构造法、退位相减法等高级解题技巧，提升综合分析与推理论证能力.
二、知识清单
1. 数列与函数的综合
（1） 数列的函数特征
① 等差数列的通项公式 是关于 的一次型函数（当 时）.
② 等差数列的前 项和公式 是关于 的常数项为0的二次型函数（当 时）.
③ 等比数列的通项公式 是关于 的指数型函数（当 时）.
④ 等比数列的前 项和公式 是形如 的函数（当 时）.
（2） 数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
① 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
② 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 项和公式、求和方法等对式子化简变形.
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
2. 数列与不等式的综合
（1） 常见放缩公式
【易错提醒】 在使用放缩法时，必须注意放缩的“度”，过大或过小都可能导致无法证明目标不等式.常见的基础放缩公式如下：
① 裂项放缩： ()； ().
② 根式放缩： ()；.
③ 指数放缩： () 等.
（2） 数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
① 恒成立 .
② 恒成立 .
（3） 放缩法的理论依据与操作
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：，；，.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
3. 数列在实际问题中的应用
（1） 常见实际应用模型
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决.
① 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.
② 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
③ 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第 项 与第 项 的递推关系还是前 项和 与前 项和 之间的递推关系.
（2） 常见的金融计算公式
① 单利公式：本利和 （其中 为本金， 为每期利率， 为期数）.
② 复利公式：本利和 （其中 为本金， 为每期利率， 为期数）.
③ 等额分期付款模型：若贷款总额为 ，每期利率为 ，分 期等额还清，每期还款额为 ，则 .
（3） 解决数列实际应用题的3个关键点
① 根据题意，正确确定数列模型.
② 利用数列知识准确求解模型.
③ 问题作答，不要忽视问题的实际意义.
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解.一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系.
4. 数列与数学文化及新定义问题
（1） 解决数列与数学文化相交汇问题的关键
步骤 关键点
读懂题意 会脱去数学文化的背景，读懂题意
构造模型 由题意，构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型
求解模型 利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前 项和的公式
（2） 新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.
三、典题精讲
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用
考法1：求解数学文化背景下的数列问题
例1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为.则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. ，使得：
D. ，都有
【答案】ABD
【思路】根据题意，写出前几项，观察奇数项和偶数项的规律，发现它们分别构成等比数列，进而利用等比数列的通项和性质对各选项进行判断.
【解析】由题意知，，，，，，故A正确.
由规律可知，，，所以数列的奇数项构成公比为的等比数列，偶数项构成公比为的等比数列.
对于B选项，，即，故B正确.
对于C选项，因为奇数项成等比数列，所以成等比数列，若它们成等差数列，则，即，化简得，不成立，故C错误.
对于D选项，因为奇数项成等比数列，根据等比中项的性质，必有，故D正确.
【规律】处理数学文化背景下的数列问题，核心是“翻译”规则.通过计算前几项，观察并归纳出数列的递推关系或奇偶项的特征，将其转化为熟悉的等差或等比数列模型进行求解.
考法2：构建实际生活情境中的数列模型
例2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装 人工等费用24万元，从第二年起，包括人工 维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（　　）
A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元
【答案】A
【思路】设第年的总盈利为万元，分别计算出年的总产值和总费用，利用总盈利等于总产值减去总费用和引进成本，构建关于的二次函数，利用二次函数的性质求最大值.
【解析】设第年的总盈利为万元.
由题意可知，每年的年产值均为100万元，则年的总产值为万元.
每年的费用构成首项为24，公差为8的等差数列，
则前年的总费用为万元.
引进生产线的成本为196万元，
所以引进该生产线后第年的总盈利为.
当时，取得最大值204.
即引进该生产线后总盈利的最大值为204万元.
【规律】数列在实际生活中的应用，常涉及利润、产量等问题.关键是理清各项费用的变化规律，判断其是否构成等差或等比数列，然后利用求和公式建立目标函数，最后借助函数最值求解.
【考点一 方法总结】
1. 处理数学文化背景下的数列问题，核心是“翻译”规则.通过计算前几项，观察并归纳出数列的递推关系或奇偶项的特征，将其转化为熟悉的等差或等比数列模型进行求解.
2. 数列在实际生活中的应用，常涉及利润、产量等问题.关键是理清各项费用的变化规律，判断其是否构成等差或等比数列，然后利用求和公式建立目标函数，最后借助函数最值求解.
考点二：数列的特殊模型与性质探究
考法3：求解数列的公共项问题
例3.已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】先分析两个数列的奇偶性特征，发现数列全为奇数，而数列的奇偶性随的奇偶性交替，从而找出公共项的通项公式，最后利用裂项相消法求和.
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数.
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
【规律】求两个数列的公共项，通常先写出前几项寻找规律，或者利用同余、奇偶性等数论性质筛选出符合条件的项.求和时若通项为二次多项式的倒数，优先考虑裂项相消法.
考法4：求解数列的插项问题
例4.已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【思路】第一问利用退位相减法，由前项和的递推式求出通项公式；第二问根据等差中项的定义求出插入项的通项，将新数列的前项和转化为原数列与插入项构成的数列分别求和.
【解析】（1）因为①，
所以时，②，
①②得：，即，
又时，，所以也满足上式，
故的通项公式为.
（2）设数列满足.
记的前项和为，的前项和为，则.
由等比数列的求和公式得：，.
所以.
即新数列的前项和.
【规律】对于数列的插项求和问题，核心是明确新数列的项数与原数列项数的关系，并分别求出原数列和插入项数列的求和公式，最后相加即可.
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列
例5.（多选）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（　　）（参考数据：，）
A. 是单调递增数列，是单调递减数列
B.
C.
D.
【答案】C
【思路】先通过换元将原递推关系转化为的形式，然后借助函数单调性或蛛网图分析奇偶子数列的单调性及有界性，进而判断各选项.
【解析】由，得，
所以，
令，即，
则，
，.
利用函数的图象（图略，可借助蛛网图分析）：
由图得：
①单调递增，单调递减，
，故A正确.
②因为，所以，
所以，
所以，因此B正确.
③因为，所以，因此C不正确.
④由不动点，得，可得：，所以，因此D正确.
故选：C.
【规律】处理形如的非线性递推数列时，常利用函数的单调性或蛛网图来直观分析数列的收敛性、单调性及界限.特别是当单调递减时，数列往往表现为奇偶项交替的震荡特征.
考法6：探究数列中的整数与存在性问题
例6.（2025·江西三新协同·模拟）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，.集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列.若，则称数列为数列.
（1）若，写出一个数列；
（2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
（3）若数列是等差数列，求的最小正整数.
【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）
（2）证明见解析
（3）2
【思路】第一问根据递推关系和新定义直接计算验证；第二问利用等比数列求和公式及放缩法证明不等式；第三问分公差和两种情况，结合裂项相消法进行放缩，求出的最小正整数.
【解析】（1）若，则，
此时，
因为，所以，此时.
故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）.
（2）证明：因为为等比数列，且，则公比.
因为为偶数，所以为偶数，，且恒为奇数.
此时，而，故.
所以.
所以，故为数列.
（3）设数列的公差为，则，
当时，设此时前项和为，
因为，所以，
所以.又因为，所以，所以的最小正整数为2.
当时，设此时的前项和为，易知.
所以，
因为，所以，所以的最小正整数为2.
综上所述，的最小正整数为2.
【规律】解答新定义数列问题，首先要准确“翻译”新定义，将其转化为常规的数列性质（如求和、不等式等）.在证明数列不等式时，常结合等差、等比求和公式以及裂项放缩技巧进行处理.
【考点二 方法总结】
1. 求两个数列的公共项，通常先写出前几项寻找规律，或者利用同余、奇偶性等数论性质筛选出符合条件的项.求和时若通项为二次多项式的倒数，优先考虑裂项相消法.
2. 对于数列的插项求和问题，核心是明确新数列的项数与原数列项数的关系，并分别求出原数列和插入项数列的求和公式，最后相加即可.
3. 处理形如的非线性递推数列时，常利用函数的单调性或蛛网图来直观分析数列的收敛性、单调性及界限.特别是当单调递减时，数列往往表现为奇偶项交替的震荡特征.
4. 解答新定义数列问题，首先要准确“翻译”新定义，将其转化为常规的数列性质（如求和、不等式等）.在证明数列不等式时，常结合等差、等比求和公式以及裂项放缩技巧进行处理.
考点三：数列与函数、不等式的综合
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值
例7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（　　）
A. 若，则
B. 一定不是等差数列
C. 若为等比数列，则公比为2
D. 若，则为等比数列
【答案】ABD
【思路】通过赋值法计算具体项判断A；利用待定系数法假设等差数列推导矛盾判断B；利用作差法将前项和的递推关系转化为通项的递推关系，结合奇偶项分析判断C和D.
【解析】对于A，，当时，，故A正确.
对于B，假设是等差数列，设公差为，
则，，
由得，
即，
根据多项式相等可得，方程组无解，
所以一定不是等差数列，故B正确.
对于C，若为等比数列，由，两式相减得，
即，由得，解得，故C错误.
对于D，若，则，，
当时，，所以，
当时，，，
两式相减可得，即，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列，
偶数项是以为首项，4为公比的等比数列，又，，
所以数列为等比数列，故D正确.
故选：ABD.
【规律】对于已知前项和的递推关系探究数列性质的问题，常用的方法是“退位相减法”或“隔项相减法”，将的关系转化为的关系.判断等差或等比时，可先计算前几项进行猜想或排除.
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式
例8.（2026·广东湛江·检测）已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
（1）求的最大值；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）1
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【思路】第一问直接求导求最值；第二问构造函数，利用零点存在性定理及导数证明不等式；第三问利用切线放缩法，结合函数的单调性证明差值不等式.
【解析】（1）由，函数的定义域为R，，所以，．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值．
故的最大值为．
（2）设，则．
又因为，所以在上单调递减．且，
所以．
设，则，设，则，
所以在上单调递增，故，所以在上单调递增，故，
所以，即，所以．
所以，
所以，且在上单调递减，所以．
综上所述，故．
（3）由（2）知，所以，故，所以．
在处的切线方程为，即．
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得，所以，所以在上单调递增，
所以，即，所以．
由，，得，
解得．
【规律】导数与数列交汇的证明题中，常将数列的项看作函数的自变量或函数值.利用函数的单调性、极值以及切线不等式（如，等）进行放缩，是证明此类不等式的核心技巧.
考法9：结合取整函数求解数列问题
例9.（2026·江西萍乡·二模）已知数列满足，其中表示不超过的最大整数．若，则（　　）
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
【答案】C
【思路】利用取整函数的恒等式化简递推关系，得到，然后通过计算前几项归纳出奇数项和偶数项的通项公式，最后解方程求出.
【解析】对于任意实数，有，
所以.
因此.
又，
当时，.
当时，.
当时，.
归纳可得，.
由，即.
因为，所以.
若为奇数，设，则，解得，此时.
若为偶数，设，则，解得，此时.
结合选项，可知.
故选：C.
【规律】处理含有取整函数的数列问题，关键是利用取整函数的性质（如或特定恒等式）将取整符号去掉，转化为常规的递推数列，再通过计算前几项寻找周期性或奇偶项规律.
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式
例10.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列的前项和为，，且对，．
（1）求；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【思路】第一问利用累乘法求出数列的通项公式，再结合求出首项；第二问先求出前项和，然后将待证不等式的通项变形为可裂项的形式，利用裂项相消法求和并放缩证明.
【解析】（1）由题意，
当时，，
累乘得：，所以，
又符合上式，
所以.
由，解得，
所以.
（2）证明：由（1）得，
所以，
故，
因为，所以.得证.
【规律】证明数列求和不等式时，若通项是由多项式或分式构成，优先考虑裂项相消法.将通项拆分为两项之差，求和后大部分项抵消，再对剩余项进行适当放缩即可得证.
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题
例11.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列满足，且，则（　　）
A. 存在唯一的实数，使得为常数列
B. 当时，为递减数列
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，，前项和为，则
【答案】ABD
【思路】通过配方将递推式转化为，两边取对数转化为等比数列模型，进而求出通项公式，再利用通项公式及指数、对数函数的性质对各选项进行判断.
【解析】对于A，由条件可知，，
若，则，为常数列，
若，则，为常数列，故A错误.
对于B，因为，当时，，所以，
由可知，对所有，都有，
两边取以10为底的对数，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
即，，
因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确.
对于C，，，
因为恒成立，
所以，得，故C正确.
对于D，当时，，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
即，，
，
而数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以前项和为，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【规律】遇到形如的非线性递推式，常通过两边同时加1配方成的形式，再通过取对数将其转化为等比数列进行求解.这种“配方+取对数”是处理幂次递推的经典手段.
【考点三 方法总结】
1. 对于已知前项和的递推关系探究数列性质的问题，常用的方法是“退位相减法”或“隔项相减法”，将的关系转化为的关系.判断等差或等比时，可先计算前几项进行猜想或排除.
2. 导数与数列交汇的证明题中，常将数列的项看作函数的自变量或函数值.利用函数的单调性、极值以及切线不等式（如，等）进行放缩，是证明此类不等式的核心技巧.
3. 处理含有取整函数的数列问题，关键是利用取整函数的性质（如或特定恒等式）将取整符号去掉，转化为常规的递推数列，再通过计算前几项寻找周期性或奇偶项规律.
4. 证明数列求和不等式时，若通项是由多项式或分式构成，优先考虑裂项相消法.将通项拆分为两项之差，求和后大部分项抵消，再对剩余项进行适当放缩即可得证.
5. 遇到形如的非线性递推式，常通过两边同时加1配方成的形式，再通过取对数将其转化为等比数列进行求解.这种“配方+取对数”是处理幂次递推的经典手段.
考点四：数列与几何、概率的综合
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题
例12.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点．
（1）若，求的坐标；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）已知，设及的面积分别为，若存在正整数，使得，求所有可能的值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）或
【思路】第一问直接代入坐标计算；第二问根据几何作图过程建立坐标的递推关系，利用代数变形证明等比数列；第三问利用等比数列求出通项，转化为面积比，最后通过构造函数并利用单调性求解参数.
【解析】（1）因为，，，
所以，，
由得或
因此．
（2）因为，，，
所以，，
由得或
因此，，
因为，即，
所以，
因此，
又，所以，
因此，即数列为等比数列．
（3）由（2）得，即，
于是，
注意到，因此，
由，，
得，
因此，
因为，
所以，即，
设，，，
则，
因为，，
所以，
所以，即单调递增．
又，，
所以或2，
若，则，，
当时,，
因此或3，
当时，，解得，
当时，，解得．
若，则，，
当时，，
因此，
所以，解得（舍），
综上，的所有可能的值为3或．
【规律】数列与解析几何交汇题，通常以点列的形式出现.解题关键是根据几何条件（如共线、垂直、交点等）列出坐标之间的递推关系式，然后运用数列的知识求通项或研究其性质.
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题
例13.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
【答案】（1）①不是，②是
（2）证明见解析
（3）
【思路】第一问根据新定义直接判断；第二问通过直线与圆相交的几何模型，利用韦达定理构造出满足条件的勾股数组，并利用比例性质反证其不满足比例关系；第三问结合整除性证明方程无解，最后计算概率.
【解析】（1）①不是，因为数组中任何两个都是比例关系；
②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系．
（2）直线的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
若存在正整数和且，使，那么．
因为，则有比例性质，
于是，
，
故，则，矛盾！
故对任意正整数，不存在正数，使得，则2是有趣数，
所以2的一列有趣数组为．
（3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数；
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解，由，故是3的倍数，
若，为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！
同理，或，或也不成立．
若为3的倍数，则也为3的倍数，
设，则，即，故为3的倍数．
设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程没有正整数解，则3不是有趣数，
当时，由（1）知，则，
此时取，其中，
由比例性质同理可知对任意正整数，不存在正数，使得，则4是有趣数，
当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点，
则直线的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理可得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
由比例性质同理知：对任意正整数，不存在正数，使得，则5是有趣数．
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解．
由于，故是3的倍数，
由时分析可知和都是3的倍数，
设，则，即，
故：为3的倍数．
设，则有．
所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．
因此1，2，，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为．
【规律】数列与平面几何、数论的交汇，常涉及勾股数组或不定方程.利用直线与圆锥曲线相交求交点坐标，是构造有理数解或整数解序列的有效几何方法.
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题
例14.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下：
①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立．
②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．
已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：．
（1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；
（2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；
（3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．
【答案】（1）
（2）
（3）；理由见解析
【思路】第一问识别出二项分布模型并利用期望公式求解；第二问利用二项式定理构造奇偶项求和公式求出偶数项概率；第三问利用全概率公式，分类讨论甲是否为初始推送用户以及第一天激活的人数，计算最终概率.
【解析】（1）设表示第一天结束时，被成功激活的用户人数，则，
由二项分布的期望公式得；
（2）由（1）可知，考虑二项展开：
，
，
两式相加，，
当为偶数时，；当为奇数时，．
则两式相加后，奇数项和为0，只剩偶数项两倍，
设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为，
所以，故；
（3）情形一：
甲被推送的概率是，两天后用户甲是激活用户有两种情形：
①第一天被成功激活，概率为；
②第一天未被成功激活，概率为，且第二天被成功激活，
若甲第二天被成功激活，则第一天另一位初始被推送者乙一定被成功激活，
乙作为激活用户尝试激活用户甲，
甲被成功激活的概率为，
故甲在第一天未被成功激活，第二天被成功激活的概率为，
因此，在甲是初始被推送的两人之一的条件下，
两天后用户甲是激活用户的概率为：；
情形二：若甲不是初始被推送的两人，其概率为，
两天后用户甲是激活用户有两种情形：
①第一天有1人被成功激活，再由此人成功激活甲，
概率为：；
②第一天有2人被成功激活，甲在第二天被成功激活，
概率为：，
因此，在甲不是初始被推送的两人的条件下，两天后用户甲是激活用户的概率为：
；
综上，两天后用户甲是激活用户的概率为：
．
爆发式流量暴涨的原因：随着被成功激活的人数增加，每天尝试对未激活用户进行推荐触达的人数增大，使得非激活用户被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，导致流量暴涨．
【规律】数列与概率的交汇题，常以马尔可夫链或逐级传播模型为背景.解题时需理清状态转移的过程，利用全概率公式建立概率的递推关系，或借助二项式定理处理奇偶项的概率求和.
【考点四 方法总结】
1. 数列与解析几何交汇题，通常以点列的形式出现.解题关键是根据几何条件（如共线、垂直、交点等）列出坐标之间的递推关系式，然后运用数列的知识求通项或研究其性质.
2. 数列与平面几何、数论的交汇，常涉及勾股数组或不定方程.利用直线与圆锥曲线相交求交点坐标，是构造有理数解或整数解序列的有效几何方法.
3. 数列与概率的交汇题，常以马尔可夫链或逐级传播模型为背景.解题时需理清状态转移的过程，利用全概率公式建立概率的递推关系，或借助二项式定理处理奇偶项的概率求和.
考点五：数列中的新定义问题
考法15：探究新定义数列的通项与求和
例15.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；；满几进一，就是几进制”．记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为．
（1）设正整数在三进制下的各位数字之和；
（i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明：；
（2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，证明：（其中表示不大于的最大整数）．
【答案】（1）（i）5、7、11、13；（ii）证明见解析
（2）证明见解析
【思路】第一问根据三进制的定义列举并证明数字和的性质；第二问先由前项和的递推式求出等比数列的通项，再利用取整函数的性质（方法一分类讨论，方法二利用恒等式）进行化简求和.
【解析】（1）（i）5、7、11、13
（ii）设，其中
则，
因为，
所以，
同理，，
所以，所以．
（2）因为，所以，即，
由数列为正项数列，则，所以．
又因为，则，
所以，所以
则，两式作差得，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得．
方法一：
因为，设，
当时，；
当时，，
当时，，
所以，即；
当时，；
当时，，
当时，，
所以，
即，
同理可得
，
当时，，所以．
所以
．证毕
方法二：上接，
对任意实数，记，其中
当时，
当时，
当时，
故对任意实数，恒有，
则．
代入，得，
取正整数满足，则，记，
则，
当，，故，得证．
【规律】探究新定义数列的通项与求和，首先要剥去新定义的外衣，将其转化为熟悉的等差、等比或可裂项的数列模型.对于涉及进位制或取整函数的问题，灵活运用同余思想和取整恒等式是化简的关键.
考法16：探究新定义数列的性质与证明
例16.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　）
A. 存在公差不为0的等差数列具有性质
B. 以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C. 若数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D. 若数列和均具有性质，则数列也具有性质
【答案】BCD
【思路】理解性质的本质是有界变差数列.通过计算等差数列和等比数列的变差判断A和B；利用绝对值不等式进行放缩，证明前项和数列及两数列乘积的变差有界性，从而判断C和D.
【解析】对于A，若是等差数列，且公差，则，
当时，，所以不存在常数使得不等式成立，故A错误；
对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列，
则
，
所以存在常数，使得不等式成立，故B正确；
对于C，若具有性质，则存在常数，使得，即，
所以，
所以存在常数，使得不等式成立，故C正确；
对于D，若和均具有性质，则存在常数，
使得，，
因为，
同理，
所以
，
所以
，
所以存在常数，使得不等式成立，故D正确．
故选：BCD．
【规律】证明新定义数列的性质，核心是紧扣定义中的不等关系.常利用绝对值不等式（三角不等式）进行放缩，将复杂的差值转化为已知有界的差值之和，从而证明其满足新定义.
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合
例17.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合，其中，且，定义的和集，则（　　）
A. 若是等差数列，则的元素个数为
B. 若是等比数列，则的元素个数为
C. 若的元素个数为，则是等差数列
D. 若的元素个数为，则是等比数列
【答案】ABC
【思路】通过分析等差数列求和的对称性及项数特征判断A和C；利用等比数列求和的互异性计算和集元素个数判断B；通过举反例（如）说明和集元素个数满足条件时原数列未必是等比数列，判断D.
【解析】对A，设等差数列的公差为，则，
，的取值范围为从0到，且能取遍所有整数，共个不同值，
因此，的元素个数为，A对；
对B，设等比数列公比，则，若，不妨设，两边除以：
，若，则最大幂指数：，代入得矛盾，，
同理，所以若，则，，
即的元素个数为，B对；
对C，，
已有项互不相同，，
，此时必为等差数列，C对；
对D，取，则，
元素个数为，但该数列不是等比数列，故D错．
故选：ABC．
【规律】处理集合与数列的综合题，关键是把握集合元素的互异性.对于“和集”问题，等差数列由于其线性的结构特征，和集中会产生大量重复元素；而增长较快的数列（如等比数列）则较少产生重复.
考法18：证明新定义背景下的不等式
例18.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“-数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“-数”：
，其中，.利用“-数”可以进一步定义两个概念：“-阶乘”：
，且，“-组合数”
（1）计算和的值；
（2）证明：对任意，；
（3）证明：对任意，．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【思路】第一问直接代入新定义公式计算；第二问将“-组合数”展开为阶乘形式，提取公因式后进行代数化简证明等式；第三问利用第二问的结论，通过累加法（或裂项相加）证明等式.
【解析】（1）由题意知，
．
（2）证明：因为
，
所以，即．
（3）证明：由（2）知，
所以
将上述个等式左右两边分别相加得
．
【规律】证明新定义背景下的不等式或恒等式，常类比经典数学对象（如组合数性质）的推导过程.利用代数变形、提取公因式以及累加法是证明此类递推等式的通用策略.
【考点五 方法总结】
1. 探究新定义数列的通项与求和，首先要剥去新定义的外衣，将其转化为熟悉的等差、等比或可裂项的数列模型.对于涉及进位制或取整函数的问题，灵活运用同余思想和取整恒等式是化简的关键.
2. 证明新定义数列的性质，核心是紧扣定义中的不等关系.常利用绝对值不等式（三角不等式）进行放缩，将复杂的差值转化为已知有界的差值之和，从而证明其满足新定义.
3. 处理集合与数列的综合题，关键是把握集合元素的互异性.对于“和集”问题，等差数列由于其线性的结构特征，和集中会产生大量重复元素；而增长较快的数列（如等比数列）则较少产生重复.
4. 证明新定义背景下的不等式或恒等式，常类比经典数学对象（如组合数性质）的推导过程.利用代数变形、提取公因式以及累加法是证明此类递推等式的通用策略.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为 ()，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 ()的等差数列，则（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】由已知，，，，，∴数列的前12项的和为.设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前12项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故.若，则，矛盾.若，则，矛盾.若，则，矛盾.若，则，此时可取，，，，，，满足要求.
2.（2026·全国一卷·第14题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，…，是公比为的等比数列．则的最大值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记.由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论.若 ()，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若 ()，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，∴.若 ()，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，∴.综上，∴，即的最大值为.
3.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意证明如下，，在数列中，，，∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1，∴，即，在中，，.∴，当且时，∴，∴.∴.
4.（2024·全国一卷·第19题）设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和 ()后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是()-可分数列．
（1）写出所有的()，，使数列是()-可分数列；
（2）当时，证明：数列是()-可分数列；
（3）从中一次任取两个数和 ()，记数列是()-可分数列的概率为，证明：．
【答案】（1）()，()，()；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）直接根据()-可分数列的定义即可，所有可能的()就是()，()，().
（2）由于从数列中取出2和13后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：①，，，共3组；②，，…，，共组.（如果，则忽略②）故数列是()-可分数列.
（3）定义集合，.下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，则数列一定是()-可分数列：命题1：或；命题2：.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果，且.此时设，， ().则由可知，即，故.此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：①，，…，，共组；②，，…，，共组；③，，…，，共组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列是()-可分数列.第二种情况：如果，且.此时设，， ().则由可知，即，故.由于，故，从而，这就意味着.此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：①，，…，，共组；②，，共2组；③全体，其中，共组；④，，…，，共组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：，，，.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是()-可分数列.至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是()-可分数列.然后我们来考虑这样的()的个数.首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的()总共有个；而如果，假设，则可设，，代入得.但这导致，矛盾，所以.设，， ()，则，即.所以可能的()恰好就是(), (), ……, ()，对应的()分别是(), (), ……, ()，总共个.所以这个满足命题1的()中，不满足命题2的恰好有个.这就得到同时满足命题1和命题2的()的个数为.当我们从中一次任取两个数和 ()时，总的选取方式的个数等于.而根据之前的结论，使得数列是()-可分数列的()至少有个.所以数列是()-可分数列的概率一定满足.这就证明了结论.
5.（2024·全国一卷·第8题）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵当时，∴，又∵，则，，，，，，，，，，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.
第 2 页，共 17 页第40讲 数列的综合应用 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 4
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 4
考点二：数列的特殊模型与性质探究 5
考点三：数列与函数、不等式的综合 6
考点四：数列与几何、概率的综合 8
考点五：数列中的新定义问题 9
四、高考真题 11
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第8题 单选题 第19题 解答题 5分 17分 间接 直接 抽象函数递推（类似斐波那契数列） 新定义数列的性质探究与证明
2025 第16题 解答题 15分 直接 递推数列求通项、数列求和与导数综合
2026 第7题 单选题 第14题 填空题 5分 5分 直接 直接 等差数列的分组求和与性质 等比数列与不等式放缩综合
近三年全国一卷对数列综合应用的考查频次极高，每年均有涉及，且分值占比较大.命题形式灵活多样，既有客观题中的性质探究与放缩，也有解答题中的新定义证明与跨模块综合，是高考的重难点板块.
2. 命题角度与特色
（1） 创新性强，常以新定义数列、数学文化或实际生活情境为背景，考查学生的现场学习能力、阅读理解能力和逻辑推理能力（如2024年第19题、2026年第7题）.
（2） 跨模块交汇特征明显，数列常与函数、导数、不等式等知识深度结合，综合性高，对代数变形和放缩技巧要求较高（如2025年第16题、2026年第14题）.
（3） 侧重考查数列的本质属性，如等差数列的对称性与分组求和、等比数列的单调性与有界性，以及递推关系的构造与转化.
3. 备考策略
（1） 扎实掌握等差、等比数列的基本公式与性质，熟练运用各种求和方法（如错位相减、裂项相消、分组求和等），做到基础题不失分.
（2） 提升阅读理解与转化能力，面对新定义数列问题时，要善于通过举例、赋值、归纳等方法探究其本质规律，将其转化为熟悉的数列模型.
（3） 加强跨模块综合训练，特别是数列与函数、不等式结合的题目，熟练掌握放缩法、构造法、退位相减法等高级解题技巧，提升综合分析与推理论证能力.
二、知识清单
1. 数列与函数的综合
（1） 数列的函数特征
① 等差数列的通项公式 是关于 的一次型函数（当 时）.
② 等差数列的前 项和公式 是关于 的常数项为0的二次型函数（当 时）.
③ 等比数列的通项公式 是关于 的指数型函数（当 时）.
④ 等比数列的前 项和公式 是形如 的函数（当 时）.
（2） 数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
① 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
② 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 项和公式、求和方法等对式子化简变形.
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
2. 数列与不等式的综合
（1） 常见放缩公式
【易错提醒】 在使用放缩法时，必须注意放缩的“度”，过大或过小都可能导致无法证明目标不等式.常见的基础放缩公式如下：
① 裂项放缩： ()； ().
② 根式放缩： ()；.
③ 指数放缩： () 等.
（2） 数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
① 恒成立 .
② 恒成立 .
（3） 放缩法的理论依据与操作
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：，；，.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
3. 数列在实际问题中的应用
（1） 常见实际应用模型
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决.
① 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.
② 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
③ 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第 项 与第 项 的递推关系还是前 项和 与前 项和 之间的递推关系.
（2） 常见的金融计算公式
① 单利公式：本利和 （其中 为本金， 为每期利率， 为期数）.
② 复利公式：本利和 （其中 为本金， 为每期利率， 为期数）.
③ 等额分期付款模型：若贷款总额为 ，每期利率为 ，分 期等额还清，每期还款额为 ，则 .
（3） 解决数列实际应用题的3个关键点
① 根据题意，正确确定数列模型.
② 利用数列知识准确求解模型.
③ 问题作答，不要忽视问题的实际意义.
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解.一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系.
4. 数列与数学文化及新定义问题
（1） 解决数列与数学文化相交汇问题的关键
步骤 关键点
读懂题意 会脱去数学文化的背景，读懂题意
构造模型 由题意，构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型
求解模型 利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前 项和的公式
（2） 新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.
三、典题精练
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用
考法1：求解数学文化背景下的数列问题
例1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为.则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. ，使得：
D. ，都有
考法2：构建实际生活情境中的数列模型
例2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装 人工等费用24万元，从第二年起，包括人工 维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（　　）
A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元
【考点一 方法总结】
1. 处理数学文化背景下的数列问题，核心是“翻译”规则.通过计算前几项，观察并归纳出数列的递推关系或奇偶项的特征，将其转化为熟悉的等差或等比数列模型进行求解.
2. 数列在实际生活中的应用，常涉及利润、产量等问题.关键是理清各项费用的变化规律，判断其是否构成等差或等比数列，然后利用求和公式建立目标函数，最后借助函数最值求解.
考点二：数列的特殊模型与性质探究
考法3：求解数列的公共项问题
例3.已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则＿＿＿＿＿＿.
考法4：求解数列的插项问题
例4.已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和.
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列
例5.（多选）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（　　）（参考数据：，）
A. 是单调递增数列，是单调递减数列
B.
C.
D.
考法6：探究数列中的整数与存在性问题
例6.（2025·江西三新协同·模拟）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，.集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列.若，则称数列为数列.
（1）若，写出一个数列；
（2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
（3）若数列是等差数列，求的最小正整数.
【考点二 方法总结】
1. 求两个数列的公共项，通常先写出前几项寻找规律，或者利用同余、奇偶性等数论性质筛选出符合条件的项.求和时若通项为二次多项式的倒数，优先考虑裂项相消法.
2. 对于数列的插项求和问题，核心是明确新数列的项数与原数列项数的关系，并分别求出原数列和插入项数列的求和公式，最后相加即可.
3. 处理形如的非线性递推数列时，常利用函数的单调性或蛛网图来直观分析数列的收敛性、单调性及界限.特别是当单调递减时，数列往往表现为奇偶项交替的震荡特征.
4. 解答新定义数列问题，首先要准确“翻译”新定义，将其转化为常规的数列性质（如求和、不等式等）.在证明数列不等式时，常结合等差、等比求和公式以及裂项放缩技巧进行处理.
考点三：数列与函数、不等式的综合
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值
例7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（　　）
A. 若，则
B. 一定不是等差数列
C. 若为等比数列，则公比为2
D. 若，则为等比数列
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式
例8.（2026·广东湛江·检测）已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
（1）求的最大值；
（2）证明：；
（3）证明：．
考法9：结合取整函数求解数列问题
例9.（2026·江西萍乡·二模）已知数列满足，其中表示不超过的最大整数．若，则（　　）
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式
例10.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列的前项和为，，且对，．
（1）求；
（2）证明：．
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题
例11.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列满足，且，则（　　）
A. 存在唯一的实数，使得为常数列
B. 当时，为递减数列
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，，前项和为，则
【考点三 方法总结】
1. 对于已知前项和的递推关系探究数列性质的问题，常用的方法是“退位相减法”或“隔项相减法”，将的关系转化为的关系.判断等差或等比时，可先计算前几项进行猜想或排除.
2. 导数与数列交汇的证明题中，常将数列的项看作函数的自变量或函数值.利用函数的单调性、极值以及切线不等式（如，等）进行放缩，是证明此类不等式的核心技巧.
3. 处理含有取整函数的数列问题，关键是利用取整函数的性质（如或特定恒等式）将取整符号去掉，转化为常规的递推数列，再通过计算前几项寻找周期性或奇偶项规律.
4. 证明数列求和不等式时，若通项是由多项式或分式构成，优先考虑裂项相消法.将通项拆分为两项之差，求和后大部分项抵消，再对剩余项进行适当放缩即可得证.
5. 遇到形如的非线性递推式，常通过两边同时加1配方成的形式，再通过取对数将其转化为等比数列进行求解.这种“配方+取对数”是处理幂次递推的经典手段.
考点四：数列与几何、概率的综合
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题
例12.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点．
（1）若，求的坐标；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）已知，设及的面积分别为，若存在正整数，使得，求所有可能的值．
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题
例13.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题
例14.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下：
①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立．
②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．
已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：．
（1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；
（2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；
（3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．
【考点四 方法总结】
1. 数列与解析几何交汇题，通常以点列的形式出现.解题关键是根据几何条件（如共线、垂直、交点等）列出坐标之间的递推关系式，然后运用数列的知识求通项或研究其性质.
2. 数列与平面几何、数论的交汇，常涉及勾股数组或不定方程.利用直线与圆锥曲线相交求交点坐标，是构造有理数解或整数解序列的有效几何方法.
3. 数列与概率的交汇题，常以马尔可夫链或逐级传播模型为背景.解题时需理清状态转移的过程，利用全概率公式建立概率的递推关系，或借助二项式定理处理奇偶项的概率求和.
考点五：数列中的新定义问题
考法15：探究新定义数列的通项与求和
例15.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；；满几进一，就是几进制”．记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为．
（1）设正整数在三进制下的各位数字之和；
（i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明：；
（2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，证明：（其中表示不大于的最大整数）．
考法16：探究新定义数列的性质与证明
例16.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　）
A. 存在公差不为0的等差数列具有性质
B. 以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C. 若数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D. 若数列和均具有性质，则数列也具有性质
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合
例17.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合，其中，且，定义的和集，则（　　）
A. 若是等差数列，则的元素个数为
B. 若是等比数列，则的元素个数为
C. 若的元素个数为，则是等差数列
D. 若的元素个数为，则是等比数列
考法18：证明新定义背景下的不等式
例18.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“-数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“-数”：
，其中，.利用“-数”可以进一步定义两个概念：“-阶乘”：
，且，“-组合数”
（1）计算和的值；
（2）证明：对任意，；
（3）证明：对任意，．
【考点五 方法总结】
1. 探究新定义数列的通项与求和，首先要剥去新定义的外衣，将其转化为熟悉的等差、等比或可裂项的数列模型.对于涉及进位制或取整函数的问题，灵活运用同余思想和取整恒等式是化简的关键.
2. 证明新定义数列的性质，核心是紧扣定义中的不等关系.常利用绝对值不等式（三角不等式）进行放缩，将复杂的差值转化为已知有界的差值之和，从而证明其满足新定义.
3. 处理集合与数列的综合题，关键是把握集合元素的互异性.对于“和集”问题，等差数列由于其线性的结构特征，和集中会产生大量重复元素；而增长较快的数列（如等比数列）则较少产生重复.
4. 证明新定义背景下的不等式或恒等式，常类比经典数学对象（如组合数性质）的推导过程.利用代数变形、提取公因式以及累加法是证明此类递推等式的通用策略.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为 ()，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 ()的等差数列，则（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.（2026·全国一卷·第14题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，…，是公比为的等比数列．则的最大值为＿＿＿＿＿＿．
3.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求．
4.（2024·全国一卷·第19题）设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和 ()后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是()-可分数列．
（1）写出所有的()，，使数列是()-可分数列；
（2）当时，证明：数列是()-可分数列；
（3）从中一次任取两个数和 ()，记数列是()-可分数列的概率为，证明：．
5.（2024·全国一卷·第8题）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（　　）
A. B.
C. D.
第 2 页，共 17 页第40讲 数列的综合应用 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A B C D C
6 7 8 9 10
C B C BCD ACD
11 12 13 14 15
BCD ； （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）见解析 （3）见解析 （1） （2） （1） （2）见解析 （3）见解析 （1） （2） （3）见解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·浙江北斗星盟·联考）AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设定整数，其中，.记.则（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 26
【答案】A
【解析】由题意可知，将转换为二进制形式，即.所以，，，，.则.故选：A.
【点拨】本题考查了数列求和以及进位制的转换，理解题意将十进制数转化为二进制数是解题的关键.
2.（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“等差数列”.已知为“等差数列”，且，则（　　）
A. 91 B. 111 C. 121 D. 133
【答案】B
【解析】设，因为为“等差数列”，且，所以是公差为的等差数列，且，则，通过累加法可得：当时，，，，，所以累加可得，化简得：，当时，，符合通项公式，所以，则.故选：B.
【点拨】本题考查了新定义数列的理解与应用，以及利用累加法求数列的通项公式，属于中档题.
3.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则使得成立的的最小值是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】由题意，且，累加可得，所以，，得，即．故选：C．
【点拨】本题考查了数列在数学文化与实际问题中的应用，利用累加法求通项公式是解题的关键.
4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层个，则第三十六层球的个数为（　　）
A. 561 B. 595 C. 630 D. 666
【答案】D
【解析】由题意，第一层个球，第二层个，第三层个，第四层个，据此规律，第三十六层有小球个.故选：D.
【点拨】本题考查了归纳推理在数列中的应用，找出每一层球的个数规律是解题的关键.
5.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为，则图3中曲线的长度为（　　）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为.故选：C.
【点拨】本题考查了等比数列在分形几何中的应用，理解操作前后曲线长度的变化规律是解题的关键.
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为一阶等差数列)，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列，，，， 是一阶等比数列，则该数列的第项是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，数列，，，，， 为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，则，所以第项为．故选：C.
【点拨】本题考查了新定义数列的理解与应用，以及累乘法求数列通项公式，属于中档题.
7.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： 函数是奇函数且满足，有，则，即，为周期为的函数， 数列是等差数列，若，，，，，，，，，，，故选：B．
【点拨】本题考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，以及等差数列的通项公式，求出函数的周期是解题的关键.
8.数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则递减
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】解：(法一) 对于选项 A，令，，则，令，易知在上单调递减，在上单调递增，此时，又，若，则有，故选项 A 正确；对于选项 B，结合选项 A 中的过程，作出递推函数与的交点，可得函数的不动点为和，且，故函数在单调递增，且，故为吸引不动点，为排斥不动点，故当时，数列向吸引不动点靠近，单调递减，故选项 B 正确；对于选项 C，，由选项 A，B 的过程可知，当时，数列单调递减且，故，而显然，故成立，故选项 C 正确；对于选项 D，当时，结合选项 A，B 的过程及蛛网图，易知数列单调递增，又，故当时，，即，故，，故，故选项 D 错误．(法二) 作出与的图象，由蛛网图可知，选项 A，B 正确；若，由蛛网图可知，，时，，则，故，选项 C 正确；若，则，比较与的大小，，则，选项 D 错误．故选：D．
【点拨】本题考查了数列与函数的综合应用，利用构造函数法研究数列的单调性与有界性是解题的关键，属于难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽滁州·一模）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（　　）
A. B. C. 集合可能是 D.
【答案】BCD
【解析】由题意知
所以，
对于 A，因为，且，所以，A 选项错误；
对于 B，由于，所以，B 选项正确；
对于 C，已知，这意味着既属于又属于，
若，当时，，
此时满足所有已知条件，故 C 选项正确；
对于 D，因为，又，所以，D 选项正确；
故选：BCD.
【点拨】本题考查了集合的交、并、补混合运算，以及摩根定律的应用，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键.
10.（2026·山东枣庄·模拟）已知数列满足，是的前项和，则（　　）
A. 是等差数列
B. 是等比数列
C. 当为偶数时，
D. 若，则满足的的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，两式相减得，所以是公差为的等差数列，A正确；对于B，因为，所以，即，若，即时，不是等比数列，B错误；对于C，当为偶数时，，C正确；对于D，若，则，，，所以，当为偶数时，，解得，所以的最小值为，当为奇数时，，解得，所以的最小值为，综上所述，的最小值为，D正确.故选：ACD.
【点拨】本题考查了数列递推关系的应用，以及分组求和法求数列的前项和，属于中档题.
11.（2026·广东茂名·一模）数列的前项和记为，，则下列结论可能正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意可知，易知 BCD 正确.
【点拨】本题考查了数列递推不等式的应用，通过逐项递推放缩是解题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·河北石家庄·一模）已知数列满足，当时，，若数列中存在连续项构成等差数列，则的最小值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】已知，当时，.
若数列中存在连续项构成等差数列，设公差为.
则（）.
由于随增大而减小，故.
我们需要找到使得存在满足对成立（若，则）.
当时，需满足，，，，.
由成等差数列，有，即.
由成等差数列，有，即.
由且，两式相加得，即.
由且，得，即.
又.
.
.
所以.
又.
所以.
但，而，矛盾.
所以不可能.
当时，需满足，，，，.
设，则 ().
由且，得.
由且，得.
取，此时要求且，所以只能取.
此时.
.
.
.
.
所有条件均满足.
所以的最小值为.
【点拨】本题考查了数列与不等式的综合应用，通过设未知数建立不等式组并寻找矛盾是解题的关键，属于难题.
13.（2026·安徽合肥·检测）已知随机取或，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列，操作过程为；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有种情况：初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；所以所求操作次数的和为.
【点拨】本题考查了新定义数列的操作规则，通过枚举法列出所有可能情况并计算操作次数是解题的关键.
14.（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿.
【答案】；
【解析】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，所以经第次扩充后增加的项数为，因此，所以，因为，所以可得数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即；设第次扩充后数列的各项为，则．因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故，综上，，.
【点拨】本题考查了数列递推关系的应用，以及等比数列的通项公式，通过分析扩充前后的项数与各项和的变化规律是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·广东肇庆·二模）设数列满足且.
（1） 证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（2） 若，求正整数的值.
【答案】（1） 证明见解析，
（2）
【解析】【小问 1 详解】
因为，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以. 7 分
【小问 2 详解】
由解得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，即，解得. 15 分
【点拨】本题考查了数列递推关系的应用，以及同角三角函数基本关系式的运用，利用累乘法求积是解题的关键.
16.（2025·江西·联考）已知数列满足.
（1） 若，求的值.
（2） 若，证明：.
（3） 若，设，证明：.
【答案】（1）
（2） 证明见解析
（3） 证明见解析
【解析】（1） 解：由题可知， 3 分
则. 4 分
（2） 证明：因为，所以， 6 分
则， 8 分
则. 10 分
（3） 证明：由，可得， 11 分
则，则. 12 分
因为，所以 13 分
. 15 分
【点拨】本题考查了数列求和以及数列递推关系的综合应用，掌握裂项相消法求和是解题的关键.
17.（2026·湖北云学联盟·模拟）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 由题意，因为，，
3 分
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列
通项公式为. 6 分
（2） 由（1）得则①两边同乘得
② 9 分
①-②得
等比数列求和 12 分
代入得两边同除以，化简得
. 15 分
【点拨】本题考查了复数的概念与运算，以及利用错位相减法求数列的前项和，属于中档题.
18.（2026·江苏南京·一模）设，，为数列的前项和，令，，.
（1） 若，求数列的前项和；
（2） 求证：对，方程在上有且仅有一个根；
（3） 求证：对，由（2）中构成的数列满足.
【答案】（1）
（2） 证明见解析
（3） 证明见解析
【解析】【小问 1 详解】
若，，则， 1 分
则，
， 2 分
， 4 分
； 5 分
【小问 2 详解】
，， 6 分
故函数在上是增函数．由于，当时,，即． 7 分
又，， 9 分
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足． 10 分
【小问 3 详解】
对于任意，由（2）中构成数列，当时，
，
． 11 分
由在上单调递增，可得，即，
故数列为减数列，即对任意的、，． 13 分
由于，①，
，②， 14 分
用①减去②并移项，利用，可得
． 16 分
综上可得，对于任意，由（2）中构成数列满足． 17 分
【点拨】本题考查了错位相减法求和，以及利用导数研究函数的零点问题，通过不等式放缩证明数列不等式是解题的关键，属于难题.
19.（2026·江苏苏锡常镇·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题：已知数列满足，记为的前项和.
（1） 若，求的值；
（2） 若，求满足不等式的所有正整数；
（3） 若，证明：当时，.
【答案】（1）
（2）
（3） 证明见解析
【解析】解：（1） 因为，所以，
由和，得. 2 分
因为，所以，
所以. 3 分
（2） 因为，所以，
即，
因为，所以，即，
所以，因为，所以， 5 分
所以. 6 分
因为，所以，化简得，解得，
所以满足不等式的所有正整数为. 8 分
（3） 因为，
所以，
即，
因为，所以，
所以，即， 10 分
又因为，
所以，
又因为，所以. 11 分
令.
因为，所以，又因为，所以，
所以. 14 分
因为
，所以.
综上所述，. 17 分
【点拨】本题考查了数列递推关系的构造与应用，以及三角恒等变换与数列放缩的综合，具有较强的技巧性，属于难题.
第 2 页，共 17 页第40讲 数列的综合应用 · 综合测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·浙江北斗星盟·联考）AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设定整数，其中，.记.则（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 26
2.（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“等差数列”.已知为“等差数列”，且，则（　　）
A. 91 B. 111 C. 121 D. 133
3.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则使得成立的的最小值是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层个，则第三十六层球的个数为（　　）
A. 561 B. 595 C. 630 D. 666
5.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为，则图3中曲线的长度为（　　）
A. 2 B. C. D. 3
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为一阶等差数列)，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列，，，， 是一阶等比数列，则该数列的第项是（　　）
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（　　）
A. B. C. D.
8.数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则递减
C. 若，则
D. 若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·安徽滁州·一模）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（　　）
A. B. C. 集合可能是 D.
10.（2026·山东枣庄·模拟）已知数列满足，是的前项和，则（　　）
A. 是等差数列
B. 是等比数列
C. 当为偶数时，
D. 若，则满足的的最小值为
11.（2026·广东茂名·一模）数列的前项和记为，，则下列结论可能正确的是（　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·河北石家庄·一模）已知数列满足，当时，，若数列中存在连续项构成等差数列，则的最小值是＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·安徽合肥·检测）已知随机取或，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列，操作过程为；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·广东肇庆·二模）设数列满足且.
（1） 证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（2） 若，求正整数的值.
16.（2025·江西·联考）已知数列满足.
（1） 若，求的值.
（2） 若，证明：.
（3） 若，设，证明：.
17.（2026·湖北云学联盟·模拟）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和.
18.（2026·江苏南京·一模）设，，为数列的前项和，令，，.
（1） 若，求数列的前项和；
（2） 求证：对，方程在上有且仅有一个根；
（3） 求证：对，由（2）中构成的数列满足.
19.（2026·江苏苏锡常镇·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题：已知数列满足，记为的前项和.
（1） 若，求的值；
（2） 若，求满足不等式的所有正整数；
（3） 若，证明：当时，.
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