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第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
分类练习（解析卷）
考点一：平面的基本性质 2
考法1：平面的基本性质及其推论 2
考法2：证明点共线、线共点与点共面 2
考法3：空间几何体的截面问题 3
考点二：空间线线关系 6
考法4：异面直线的判定 6
考法5：异面直线所成角的计算 7
考法6：等角定理的应用 9
考点三：空间平行关系 9
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析 9
考法8：证明线面平行 9
考法9：证明面面平行 11
考法10：平行性质定理的应用 12
考点四：空间垂直关系 12
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析 12
考法12：证明线线垂直 13
考法13：证明线面垂直 14
考法14：证明面面垂直 17
考点五：空间线面关系的综合应用 18
考法15：正方体中线面关系的综合判定 18
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题 19
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题 21
答案速查表
1 2 3 4 5
D 见解析 ABD 见解析 C
6 7 8 9 10
BCD C ACD 或 B
11 12 13 14 15
见解析 见解析 见解析 见解析 D
16 17 18 19 20
ABD ABC 见解析 见解析 见解析
21 22 23 24 25
见解析 见解析 见解析 见解析 ABD
26 27 28 29 30
见解析 见解析 ACD BCD
考点一：平面的基本性质
考法1：平面的基本性质及其推论
1.（2025·福建福州·检测）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设为的中点，则即为所在直线，故平面，所以，故选D.
【点拨】本题考查平面的基本性质，通过寻找平面的交线，结合正方体的几何性质判断线线垂直关系.
考法2：证明点共线、线共点与点共面
2.如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）设，证明：，，三点共线.
【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图，连接，，.
在正方体中，，，所以，
又，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
∴，所以，，，四点共面；
（2）证明：由，∴，又平面，∴平面，
同理平面，又平面平面，
∴，即，，三点共线.
【点拨】本题考查点共面与点共线的证明，利用平行线的传递性证明四点共面，利用公理3（两个相交平面的公共点必在交线上）证明三点共线.
考法3：空间几何体的截面问题
3.（2026·湖南八中·一模）（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 平面
C. 直线与是异面直线
D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形
【答案】ABD
【解析】对于A，如图所示，取的中点，连接，，因为，，，所以四边形为平行四边形，所以，故或其补角即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，，，，所以，即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确；
对于B，由选项A可知，，平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，如图所示，连接，因为，，所以，所以，，，四点共面，所以直线与直线共面，故C错误；
对于D，如图所示，取的中点，连接，，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形，又，所以四边形为菱形，故D正确，故选：ABD.
【点拨】本题考查正方体中的线面关系及截面问题，通过构造平行线和辅助面，结合几何体的性质逐一判断选项.
4.如图，在长方体中，，，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（3）求过，，三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
【答案】见解析
【解析】（1）在长方体中，，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
∵平面，平面，∴，
又，，面，∴面，
又平面，∴平面平面；
（2）延长与的延长线相交于，连接，
则即为平面与平面的交线，理由如下：
，∴平面，，∴平面，
∴平面与平面的交线为；
（3）令与的交点为，
则三棱台的体积为，
∵为棱的中点，∴为的中点，
∴是的中点，是的中点，
∴，，
∴，，
∴三棱台的体积为，
∴过，，三点的平面将四棱柱分成的上部分的体积为.
∴过，，三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为.
【点拨】本题考查面面垂直的证明、截面交线的画法以及几何体体积的计算，利用长方体的性质和锥体体积公式进行求解.
考点二：空间线线关系
考法4：异面直线的判定
5.（2026·浙江湖州·检测）已知正方体，为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（　　）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】C
【解析】对于直线，在底面内，不与共面，也不相交，所以是异面直线.
对于直线，与不在同一平面，无交点，不平行，所以是异面直线.
对于直线，与相交于中心点，是相交直线，所以不是异面直线.
对于直线，两者无交点，不平行，不在同一平面内，所以是异面直线.
【点拨】本题考查异面直线的判定，利用正方体的结构特征逐一分析各直线与的位置关系即可.
6.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A. 与平行
B. 与为异面直线
C. 与成角
D. 与垂直
【答案】BCD
【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体，如图所示，，，三点是同一点，因此有：
对于A，，分别是，的中点，则，而与异面，故与不平行，故A错误；
对于B，易知与为异面直线，故B正确；
对于C，依题意知，，，故与成角，故C正确；
对于D，连接，则点在平面上的投影在上，所以平面，所以，而，所以与垂直，故D正确.
【点拨】本题考查正四面体的展开与折叠，通过将平面展开图还原为空间几何体，利用中位线定理和正四面体的性质判断线线位置关系.
考法5：异面直线所成角的计算
7.（2026·河南湘豫联盟·检测）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查“补体法”，体现整体思想.
如图，将直四棱柱补成正六棱柱，连接，，显然，则即为直线与所成的角或其补角.设，则，，所以为正三角形，从而.故选C.
【点拨】本题考查异面直线所成的角，通过补全几何体为正六棱柱，利用平移将异面直线转化为相交直线，在三角形中求解角度.
8.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，则（　　）
A. 异面直线与所成角的大小为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 平面
D. 四面体的体积为
【答案】ACD
【解析】对于A，正方体中，，则异面直线与所成角即为与所成角，即(或其补角)，而为等腰直角三角形，故，故A正确；
对于B，由于平面，故为在平面内的射影，则直线与平面所成角为，在中，，，故，故B错误；
对于C，设为的中点，连接，，则，，而，，故，，则四边形为平行四边形，故；，则，而，故，设，交于，则，即，则；又平面，平面，故，又，，平面，故平面，故C正确；
对于D，由于，(为三棱锥的高，)，而，，则，故D正确.
【点拨】本题考查正方体中的线面关系，通过线面角的定义、线面垂直的判定以及等体积法计算三棱锥的体积，综合性较强.
考法6：等角定理的应用
9.若空间两个角与的两边对应平行，当时，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】或
【解析】当空间两个角与的两边对应平行，且两边的方向完全一致时，；
当空间两个角与的两边对应平行，且两边方向不完全一致时，.
【点拨】本题考查空间等角定理，空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
考点三：空间平行关系
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析
10.（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，如图：当，时，满足，但不能得出，故A错误；
对于B，由垂直于同一直线的两平面互相平行，可得当时，则有，故B满足题意；
对于C，如图：当，且，则有.所以由不能得出，故C错误；
对于D，因为，根据线面垂直的判定定理可得，故D错误.
【点拨】本题考查空间中线面、面面平行与垂直的判定，利用相关定理及反例进行判断.
考法8：证明线面平行
11.（2026·山东师大附中·检测）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，.
（1）证明：平面；
【答案】见解析
【解析】（1）延长交于点，则为的中点，连接，如下图所示：
因为为正的中心，所以，
又因为，即，所以，故
因为平面，平面，故平面.
【点拨】本题考查线面平行的证明，通过构造三角形，利用对应线段成比例得到线线平行，进而证明线面平行.
12.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，，分别为和的中点．
（1）证明：上存在点，使得平面；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
因为是的中点，是的中点，
所以在中，是中位线，故.
又平面，平面，
所以平面.
【点拨】本题考查线面平行的证明，通过取中点构造三角形的中位线，利用中位线平行于底边得到线线平行，从而证明线面平行.
考法9：证明面面平行
13.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面平面；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接，如图
∵，，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∵，
又，平面，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵，分别为，的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
又，平面，，
∴平面平面．
【点拨】本题考查面面平行的证明，通过证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，从而得到面面平行.
考法10：平行性质定理的应用
14.已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．
（1）平面平面，证明：；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，所以．
【点拨】本题考查线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行.
考点四：空间垂直关系
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析
15.（2026·浙江强基联盟·联考）已知，是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，由面面垂直的判定定理可得．选项D正确.
【点拨】本题考查面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.
16.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故A是充分条件；
对于B，由线面垂直的判定定理可知，若，，则，故B是充分条件；
对于C，若，，则与可能平行、相交或，故C不是充分条件；
对于D，由面面垂直的性质定理可知，若，，，，则，故D是充分条件.
【点拨】本题考查线面垂直的判定与性质，利用线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理进行判断.
17.（2024·广东华师附中·检测）（多选）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，若，则在内存在直线，使得，又，所以，所以，故D正确.
【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判定与性质，利用相关定理及反例进行判断.
考法12：证明线线垂直
18.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱中，，.
（1）证明：；
【答案】见解析
【解析】（1）不妨设，则，，
所以，所以；
因为为直三棱柱，所以平面，
平面，所以；
又，所以平面；
因为平面，所以.
因为为正方形，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以.
【点拨】本题考查线线垂直的证明，通过勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直.
考法13：证明线面垂直
19.（2026·安徽合肥·一模）如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点．
（1）证明：平面；
【答案】见解析
【解析】（1）以为坐标原点，为单位长，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设知，，，．
由得，．
由得，．
而平面，平面，，
所以平面．
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用空间直角坐标系，通过向量的数量积为0证明线线垂直，进而得到线面垂直.
20.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知平面，平面平面，
（1）求证：平面．
【答案】见解析
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
在平面内作于点，如下图所示，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而证明线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证得结论.
21.（2026·广东汕头·一模）如图，在长方体中，点、分别在、上，且，．
（1）求证：平面；
【答案】见解析
【解析】（1）因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用长方体的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明结论.
22.（2026·安徽铜陵·检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，．
（1）求证：平面；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为四边形为菱形，
所以，
因为，
所以，
又因为与相交于点，平面，
所以平面．
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用等腰三角形的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明结论.
考法14：证明面面垂直
23.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，是的中点，．
（1）证明：平面平面；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
又因为三棱柱的所有棱长都是2，
所以四边形为菱形，所以，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在等边中，因为为的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【点拨】本题考查面面垂直的证明，通过线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证得结论.
24.（2025·河北保定·一模）在四棱锥中，底面是菱形，，，．
（1）若，，证明：平面平面；
【答案】见解析
【解析】（1） 取的中点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，四边形是菱形，所以是等边三角形，
所以，所以，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【点拨】本题考查面面垂直的证明，利用勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证得结论.
考点五：空间线面关系的综合应用
考法15：正方体中线面关系的综合判定
25.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体中，若点为底面的中心，则
A. 平面
B.
C. 与所成的角为
D. 与平面所成的角的正切值为
【答案】ABD
【解析】对于A，连接，交于，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，故B正确；
对于C，连接，，，
因为，
所以或其补角即为与所成的角，
因为为等边三角形，
所以，故C错误；
对于D，因为平面，
所以即为与平面所成的角，
设正方体的棱长为，则，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点拨】本题考查正方体中的线面关系，通过构造平行四边形证明线面平行，利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直，以及异面直线所成角和线面角的计算.
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题
26.如图，在五面体中，平面，，，.
（1） 问：在线段上是否存在点，使得平面 若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1） 当为线段的中点时，平面；
证明：分别取的中点为，连接，
则，而，
故, 即四边形为平行四边形，
则;
因为平面，平面, 故，则；
由，为中点，故，则，
又平面，
故平面；
【点拨】本题考查线面垂直的存在性问题，通过取中点构造平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明结论.
27.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（3） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【答案】见解析
【解析】（3） 取中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
因为平面平面，所以平面，
线段存在点，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又平面平面，
所以平面平面，又是上的动点，平面，
所以平面，所以线段存在点，使得平面．
【点拨】本题考查线面平行的存在性问题，通过取中点构造平行平面，利用面面平行的性质定理得到线面平行.
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题
28.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（　　）
A. 点的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为
【答案】ACD
【解析】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则
，于是，取，设，
则，则点到平面的距离为
，所以或（舍），于是点的轨迹是以边的中点，边的中点为端点的线段，其长度为，A正确；
连，发现与平面不平行，B错误；
根据图形可知当点位于线段的中点时，线段最短，，此时直线与平面所成角最大，故所成角的正弦值的最大值为，C正确；
平移至，根据图形可知当点位于点时，异面直线与所成角最大，其余弦值最小，最小值为，选项D正确.
【点拨】本题考查正方体中的距离与最值问题，通过建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式确定动点的轨迹，进而求解线面角和异面直线所成角的最值.
29.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱台中，平面平面，，，.
（2） 当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.
【答案】
【解析】（2） 取中点，则，由平面平面，平面平面，
平面，则平面，直线两两垂直，
以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，，
，
设平面的法向量，则
，取，得，
设直线与平面所成的角为，
，当且仅当，即时取等号，
所以三棱台的体积
.
【点拨】本题考查空间中线面角的计算以及几何体体积的最值问题，通过建立空间直角坐标系，利用向量法将线面角的正弦值表示为关于参数的函数，再利用基本不等式求最值.
30.（2026·安徽铜陵·检测）（多选）如图，正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在正方体表面及其内部运动，则（　　）
A. 存在点，使得平面
B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为
C. 当时，三棱锥的体积最小值为
D. 当点与点重合时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】在上取一个点，使得，再取的中点，连接，
则平面平面，
若平面，
因为平面，
由线面平行的性质定理可得，
而，可得，且，故必相交，矛盾，故A错误，
由，可得为的三等分点，且，
取的中点，，
又为中点，
故在正方形中，
又，则为平行四边形，
故，所以，
则即为直线与直线所成角，
又，
由余弦定理可得，故B正确，
当时，易知在以为球心，半径为的球面上，（正方体内部），
由，
四面体为正四面体，
由正弦定理得：底面外接圆半径为，
所以点到平面的距离为，
所以，故C正确，
当重合时，三棱锥即为，
其外接球就是直三棱柱的外接球，
由，
由余弦定理可得：，
所以，
所以的外接圆半径为，
所以外接球的半径，
所以球的表面积为，故D正确.
【点拨】本题考查正方体中的线面关系、异面直线所成角、体积最值以及外接球表面积，综合性较强，需灵活运用几何体的性质及空间向量或几何法求解.
第 2 页，共 17 页第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
分类练习
考点一：平面的基本性质 2
考法1：平面的基本性质及其推论 2
考法2：证明点共线、线共点与点共面 2
考法3：空间几何体的截面问题 2
考点二：空间线线关系 3
考法4：异面直线的判定 3
考法5：异面直线所成角的计算 4
考法6：等角定理的应用 4
考点三：空间平行关系 4
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析 4
考法8：证明线面平行 4
考法9：证明面面平行 5
考法10：平行性质定理的应用 6
考点四：空间垂直关系 6
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析 6
考法12：证明线线垂直 7
考法13：证明线面垂直 7
考法14：证明面面垂直 9
考点五：空间线面关系的综合应用 9
考法15：正方体中线面关系的综合判定 9
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题 10
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题 10
考点一：平面的基本性质
考法1：平面的基本性质及其推论
1.（2025·福建福州·检测）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（　　）
A. B. C. D.
考法2：证明点共线、线共点与点共面
2.如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）设，证明：，，三点共线.
考法3：空间几何体的截面问题
3.（2026·湖南衡阳·一模）（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 平面
C. 直线与是异面直线
D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形
4.如图，在长方体中，，，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（3）求过，，三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
考点二：空间线线关系
考法4：异面直线的判定
5.（2026·浙江湖州·检测）已知正方体，为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（　　）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
6.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A. 与平行
B. 与为异面直线
C. 与成角
D. 与垂直
考法5：异面直线所成角的计算
7.（2026·河南湘豫联盟·检测）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（　　）
A. B. C. D.
8.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，则（　　）
A. 异面直线与所成角的大小为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 平面
D. 四面体的体积为
考法6：等角定理的应用
9.若空间两个角与的两边对应平行，当时，则＿＿＿＿＿．
考点三：空间平行关系
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析
10.（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（　　）
A. B. C. D.
考法8：证明线面平行
11.（2026·山东师大附中·检测）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，.
（1）证明：平面；
12.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，，分别为和的中点．
（1）证明：上存在点，使得平面；
考法9：证明面面平行
13.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面平面；
考法10：平行性质定理的应用
14.已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．
（1）平面平面，证明：；
考点四：空间垂直关系
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析
15.（2026·浙江强基联盟·联考）已知，是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（　　）
A. B. C. D.
16.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（　　）
A.
B.
C.
D.
17.（2024·广东华师附中·检测）（多选）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
考法12：证明线线垂直
18.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱中，，.
（1）证明：；
考法13：证明线面垂直
19.（2026·安徽合肥·一模）如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点．
（1）证明：平面；
20.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知平面，平面平面，
（1）求证：平面．
21.（2026·广东汕头·一模）如图，在长方体中，点、分别在、上，且，．
（1）求证：平面；
22.（2026·安徽铜陵·检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，．
（1）求证：平面；
考法14：证明面面垂直
23.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，是的中点，．
（1）证明：平面平面；
24.（2025·河北保定·一模）在四棱锥中，底面是菱形，，，．
（1）若，，证明：平面平面；
考点五：空间线面关系的综合应用
考法15：正方体中线面关系的综合判定
25.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体中，若点为底面的中心，则（　　）
A. 平面
B.
C. 与所成的角为
D. 与平面所成的角的正切值为
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题
26.如图，在五面体中，平面，，，.
（1） 问：在线段上是否存在点，使得平面 若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
27.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（3） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题
28.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（　　）
A. 点的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为
29.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱台中，平面平面，，，.
（2） 当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.
30.（2026·安徽铜陵·检测）（多选）如图，正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在正方体表面及其内部运动，则（　　）
A. 存在点，使得平面
B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为
C. 当时，三棱锥的体积最小值为
D. 当点与点重合时，三棱锥的外接球表面积为
第 2 页，共 17 页第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 6
考点一：平面的基本性质 6
考点二：空间线线关系 9
考点三：空间平行关系 12
考点四：空间垂直关系 16
考点五：空间线面关系的综合应用 20
四、高考真题 23
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2026 第10题 多选题 第15题 解答题 6分 15分 直接考察 空间垂直关系的判定 线面平行的证明、点到平面的距离
2025 第9题 多选题 第17题 解答题 6分 15分 直接考察 空间线面位置关系的判定 面面垂直的证明、异面直线所成角
2024 第17题 解答题 15分 直接考察 线面平行的证明、二面角与线段长计算
近三年全国一卷中，空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何板块的核心考查内容，三年均有考察且在解答题的第一问和多选题中占据重要地位.
2. 命题角度与特色
（1） 命题以多面体（棱柱、棱锥）为载体，重点考查空间中点、线、面位置关系的判定与证明，尤其是线面平行、面面垂直的证明.
（2） 常将位置关系的证明与空间角、距离的计算相结合，考查空间想象能力和逻辑推理能力，几何法与向量法均可应用.
（3） 多选题常以动态几何问题或存在性问题为背景，考查线面关系的综合判定，对思维的严密性要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握空间点、线、面位置关系的判定定理与性质定理，能够灵活进行线线、线面、面面关系的相互转化.
（2） 重视基本几何体（正方体、长方体、正棱柱、正棱锥等）的结构特征，善于在其中寻找平行与垂直关系.
（3） 掌握立体几何证明的规范书写，同时提升建系求坐标的能力，做到几何法与向量法优势互补.
二、知识清单
1. 四个公理
（1） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.（注意：此公理是判定直线在平面内的依据；此公理是判定点在面内的方法）
（2） 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.（注意：此公理是确定一个平面的依据；此公理是判定若干点共面的依据）
① 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.（注意：此推论是判定若干条直线共面的依据；此推论是判定若干平面重合的依据；此推论是判定几何图形是平面图形的依据）
② 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
③ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
（3） 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（注意：此公理是判定两个平面相交的依据；此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据，比如证明三点共线、三线共点；此公理是判定几何图形是平面图形的依据）
（4） 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2. 空间点、直线、平面的位置关系
（1） 直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在任何一个平面内
（2） 直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号
公共点个数 无数个 1 0
（3） 平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况.
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
3. 空间中的平行关系
（1） 直线和平面平行
① 定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作.
② 判定方法：
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行 线面平行”）
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
③ 性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
（2） 两个平面平行
① 定义：没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则.
② 判定方法：
判定定理 文字语言 图形语言 符号语言
线 面 面 面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”）
线 面 面 面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
③ 性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 线面平行”）
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
4. 空间中的垂直关系
（1） 直线与平面垂直
① 定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.
② 判定定理：
文字语言 符号语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
③ 性质定理：
文字语言 符号语言
垂直于同一平面的两条直线平行
垂直于同一直线的两个平面平行
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
（2） 平面与平面垂直
① 定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
② 判定定理：
文字语言 符号语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
③ 性质定理：
文字语言 符号语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三、典题精讲
考点一：平面的基本性质
考法1：平面的基本性质及其推论
例1.（2025·福建福州·检测）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】本题需通过寻找平面的交线，结合正方体的几何性质判断线线垂直关系.
【解析】设为的中点，则即为所在直线，故平面，所以，故选D.
【规律】在正方体中寻找两平面的交线时，常用方法是寻找两个平面的两个公共点，连结这两个公共点即为交线.若已知一个公共点，可利用线面平行的性质定理寻找另一条平行线作为交线.
考法2：证明点共线、线共点与点共面
例2.如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）设，证明：，，三点共线.
【答案】见解析
【思路】第（1）问利用平行线的传递性证明四边形对边平行，从而得到四点共面；第（2）问利用公理3（两个相交平面的公共点必在交线上）证明三点共线.
【解析】（1）证明：如图，连接，，.
在正方体中，，，所以，
又，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
∴，所以，，，四点共面；
（2）证明：由，∴，又平面，∴平面，
同理平面，又平面平面，
∴，即，，三点共线.
【规律】证明点共面通常转化为证明直线平行或相交；证明三点共线，一般思路是证明这三点同属于两个相交平面，进而由公理3得出这三点都在这两个平面的交线上.
考法3：空间几何体的截面问题
例3.（2026·湖南八中·一模）（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 平面
C. 直线与是异面直线
D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形
【答案】ABD
【思路】通过构造平行线和辅助面，结合几何体的性质逐一判断选项.截面问题需利用平面的基本性质，通过连接共面点或作平行线找到截面多边形的顶点.
【解析】对于A，如图所示，取的中点，连接，，因为，，，所以四边形为平行四边形，所以，故或其补角即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，，，，所以，即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确；
对于B，由选项A可知，，平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，如图所示，连接，因为，，所以，所以，，，四点共面，所以直线与直线共面，故C错误；
对于D，如图所示，取的中点，连接，，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形，又，所以四边形为菱形，故D正确，故选：ABD.
【规律】作截面的基本原则是：①同一平面内的两点连线必在截面内；②截面与两个平行平面的交线必平行.遇到不在同一平面的两点，需通过作平行线或延长交线寻找新的共面点.
【考点一 方法总结】
1. 共面、共线、共点问题的证明：
（1） 证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内，通常转化为证明直线平行或相交.
（2） 证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.一般思路是证明这三点同属于两个相交平面，进而由公理3得出这三点都在这两个平面的交线上.
（3） 证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
2. 寻找两平面交线的方法：
（1） 寻找两个平面的两个公共点，连结这两个公共点即为交线.
（2） 若已知一个公共点，可利用线面平行的性质定理寻找另一条平行线作为交线.
（3） 利用基本事实3作交线.
3. 空间几何体的截面问题：作截面应遵循的原则为：
（1） 同一平面内的两点连线必在截面内.
（2） 截面与两个平行平面的交线必平行.
（3） 凡是相交的直线都要画出它们的交点，凡是相交的平面都要画出它们的交线.
（4） 遇到不在同一平面的两点，需通过作平行线或延长交线寻找新的共面点.
考点二：空间线线关系
考法4：异面直线的判定
例4.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A. 与平行
B. 与为异面直线
C. 与成角
D. 与垂直
【答案】BCD
【思路】先将正四面体的平面展开图还原为空间几何体，再利用中位线定理和正四面体的性质判断线线位置关系.
【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体，如图所示，，，三点是同一点，因此有：
对于A，，分别是，的中点，则，而与异面，故与不平行，故A错误；
对于B，易知与为异面直线，故B正确；
对于C，依题意知，，，故与成角，故C正确；
对于D，连接，则点在平面上的投影在上，所以平面，所以，而，所以与垂直，故D正确.
【规律】处理展开与折叠问题，关键是明确折叠前后点、线、面的位置对应关系.判定两条直线异面，常利用判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.
考法5：异面直线所成角的计算
例5.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，则（　　）
A. 异面直线与所成角的大小为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 平面
D. 四面体的体积为
【答案】ACD
【思路】通过平移将异面直线转化为相交直线求角；利用线面角的定义求正弦值；利用线面垂直的判定定理证明垂直；利用等体积法计算三棱锥的体积.
【解析】对于A，正方体中，，则异面直线与所成角即为与所成角，即(或其补角)，而为等腰直角三角形，故，故A正确；
对于B，由于平面，故为在平面内的射影，则直线与平面所成角为，在中，，，故，故B错误；
对于C，设为的中点，连接，，则，，而，，故，，则四边形为平行四边形，故；，则，而，故，设，交于，则，即，则；又平面，平面，故，又，，平面，故平面，故C正确；
对于D，由于，(为三棱锥的高，)，而，，则，故D正确.
【规律】求异面直线所成角的核心思想是平移，将空间角转化为平面角.常用的平移方法有：①利用几何体中的平行线直接平移；②取线段中点，利用中位线平移；③补形平移.
考法6：等角定理的应用
例6.若空间两个角与的两边对应平行，当时，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】或
【思路】根据空间等角定理，空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补，分两边方向一致和不一致两种情况讨论.
【解析】当空间两个角与的两边对应平行，且两边的方向完全一致时，；
当空间两个角与的两边对应平行，且两边方向不完全一致时，.
【规律】应用等角定理时，必须注意分类讨论.只有当两个角的两边分别对应平行，且方向都相同或都相反时，这两个角才相等；若一组边方向相同，另一组边方向相反，则这两个角互补.
【考点二 方法总结】
1. 异面直线的判定方法：
（1） 直接法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.
（2） 间接法：证明两条直线不可能共面(平行或相交)从而得到两线异面.
（3） 处理展开与折叠问题时，关键是明确折叠前后点、线、面的位置对应关系.
2. 求异面直线所成角的方法：核心思想是平移，将空间角转化为平面角.步骤为：
（1） 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.常用的平移方法有：①利用几何体中的平行线直接平移；②取线段中点，利用中位线平移；③补形平移.
（2） 二证：证明作出的角是异面直线所成的角.
（3） 三求：解三角形，求出所作的角.
3. 等角定理的应用：应用等角定理时，必须注意分类讨论.只有当两个角的两边分别对应平行，且方向都相同或都相反时，这两个角才相等；若一组边方向相同，另一组边方向相反，则这两个角互补.
考点三：空间平行关系
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析
例7.（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】利用空间中线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理，结合反例进行逐一判断.
【解析】对于A，如图：当，时，满足，但不能得出，故A错误；
对于B，由垂直于同一直线的两平面互相平行，可得当时，则有，故B满足题意；
对于C，如图：当，且，则有.所以由不能得出，故C错误；
对于D，因为，根据线面垂直的判定定理可得，故D错误.
【规律】判断空间线面位置关系的命题真假时，常借助长方体或正方体模型作为载体，通过举反例来排除错误选项.对于存在性问题，可假设存在，再推导是否产生矛盾.
考法8：证明线面平行
例8.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，，分别为和的中点.
（1）证明：上存在点，使得平面；
【答案】见解析
【思路】通过取中点构造三角形的中位线，利用中位线平行于底边得到线线平行，从而证明线面平行.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
因为是的中点，是的中点，
所以在中，是中位线，故.
又平面，平面，
所以平面.
【规律】证明线面平行的核心是“线线平行 线面平行”.寻找平行线的常用方法有：①利用三角形中位线定理；②利用平行四边形性质；③利用平行线分线段成比例定理；④利用面面平行的性质定理.
考法9：证明面面平行
例9.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面；
【答案】见解析
【思路】通过证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，从而得到面面平行.
【解析】（1）证明：连接，如图
∵，，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∵，
又，平面，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵，分别为，的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
又，平面，，
∴平面平面．
【规律】证明面面平行，最常用的方法是利用判定定理：证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.也可以通过证明两个平面同时垂直于同一条直线来实现.
考法10：平行性质定理的应用
例10.已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点.
（1）平面平面，证明：；
【答案】见解析
【思路】先利用底面平行关系证明线面平行，再利用线面平行的性质定理，由线面平行推导线线平行.
【解析】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，所以．
【规律】线面平行的性质定理是作辅助线或截面交线的重要依据.当已知一条直线平行于一个平面时，只要过该直线的平面与已知平面相交，则该直线必与交线平行.
【考点三 方法总结】
1. 判断空间线面位置关系的命题真假时，常借助长方体或正方体模型作为载体，通过举反例来排除错误选项.对于存在性问题，可假设存在，再推导是否产生矛盾.
2. 证明直线与平面平行的常用方法：
（1） 利用线面平行的判定定理，核心是“线线平行 线面平行”.寻找平行线的常用方法有：①利用三角形中位线定理；②利用平行四边形性质；③利用平行线分线段成比例定理.
（2） 利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行.已知两平面平行，则其中一个平面内的任意直线均与另一个平面平行.
（3） 利用定义，结合反证法证明直线与平面没有公共点.
3. 证明平面与平面平行的常用方法：
（1） 利用面面平行的判定定理，即在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行.
（2） 证明两个平面同时垂直于同一条直线.
（3） 证明两个平面同时平行于第三个平面.
（4） 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决平行综合问题的关键.
4. 平行性质定理的应用：
（1） 线面平行的性质定理是作辅助线或截面交线的重要依据.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
（2） 面面平行的性质定理也是寻找平行线的常用方法.
考点四：空间垂直关系
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析
例11.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【思路】利用线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理以及平行与垂直的传递性进行逐一判断.
【解析】对于A，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故A是充分条件；
对于B，由线面垂直的判定定理可知，若，，则，故B是充分条件；
对于C，若，，则与可能平行、相交或，故C不是充分条件；
对于D，由面面垂直的性质定理可知，若，，，，则，故D是充分条件.
【规律】判断垂直关系命题时，需严格对照判定定理和性质定理的条件.特别注意线面垂直判定定理中必须是垂直于平面内的“两条相交直线”；面面垂直性质定理中必须是“在其中一个平面内垂直于交线”.
考法12：证明线线垂直
例12.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱中，，.
（1）证明：；
【答案】见解析
【思路】通过勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直.
【解析】（1）不妨设，则，，
所以，所以；
因为为直三棱柱，所以平面，
平面，所以；
又，所以平面；
因为平面，所以.
因为为正方形，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以.
【规律】证明空间线线垂直，最常用的方法是转化为线面垂直，即证明其中一条直线垂直于包含另一条直线的平面.也可利用三垂线定理或空间向量的数量积为0来证明.
考法13：证明线面垂直
例13.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知平面，平面平面，
（1）求证：平面；
【答案】见解析
【思路】利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而证明线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证得结论.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
在平面内作于点，如下图所示，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
【规律】证明线面垂直的核心是“线线垂直 线面垂直”.在寻找垂直直线时，常利用已知面面垂直的性质定理作辅助线（在一个平面内作交线的垂线），或者利用等腰三角形底边中线、菱形对角线等平面几何性质.
考法14：证明面面垂直
例14.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，是的中点，.
（1）证明：平面平面；
【答案】见解析
【思路】通过寻找线面垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证得结论.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
又因为三棱柱的所有棱长都是2，
所以四边形为菱形，所以，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在等边中，因为为的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【规律】证明面面垂直，通常转化为证明线面垂直，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.解题时需在其中一个平面内寻找或构造一条直线，使其垂直于另一个平面.
【考点四 方法总结】
1. 垂直关系的判定与辨析：判断垂直关系命题时，需严格对照判定定理和性质定理的条件.特别注意线面垂直判定定理中必须是垂直于平面内的“两条相交直线”；面面垂直性质定理中必须是“在其中一个平面内垂直于交线”.
2. 证明线线垂直的方法：
（1） 转化为线面垂直，即证明其中一条直线垂直于包含另一条直线的平面（线垂面有何用：垂直面里所有线）.
（2） 利用平面几何性质：等腰三角形底边上的中线、勾股定理逆定理、菱形对角线互相垂直、直径所对的圆周角是直角等.
（3） 利用三垂线定理或空间向量的数量积为零.
（4） 利用平行线垂直直线的传递性.
3. 证明线面垂直的方法：
（1） 核心是“线线垂直 线面垂直”.寻找垂直直线时（线垂面哪里找），可利用直（正）棱柱的侧棱、正棱锥的高，或利用等腰三角形、菱形等平面几何性质.
（2） 利用面面垂直的性质定理（面面垂直 线面垂直），常作辅助线（在一个平面内作交线的垂线）.
（3） 利用平行线垂直平面的传递性.
4. 证明面面垂直的方法：通常转化为证明线面垂直（线面垂直 面面垂直），即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.解题时需在其中一个平面内寻找或构造一条直线，使其垂直于另一个平面.
5. 综合应用：三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化，线面垂直是其中的核心与桥梁.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
考点五：空间线面关系的综合应用
考法15：正方体中线面关系的综合判定
例15.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体中，若点为底面的中心，则
A. 平面
B.
C. 与所成的角为
D. 与平面所成的角的正切值为
【答案】ABD
【思路】通过构造平行四边形证明线面平行，利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直，以及利用平移和直角三角形计算异面直线所成角和线面角.
【解析】对于A，连接，交于，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，故B正确；
对于C，连接，，，
因为，
所以或其补角即为与所成的角，
因为为等边三角形，
所以，故C错误；
对于D，因为平面，
所以即为与平面所成的角，
设正方体的棱长为，则，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【规律】在正方体中处理线面综合问题，要熟练掌握正方体的体对角线、面对角线与各面、各棱之间的平行与垂直关系.如体对角线垂直于不相交的面对角线构成的平面.
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题
例16.如图，在五面体中，平面，，，.
（1） 问：在线段上是否存在点，使得平面 若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【思路】探究存在性问题，可先假设存在，通过取中点构造平行四边形，利用线面垂直的判定定理进行证明.
【解析】（1） 当为线段的中点时，平面；
证明：分别取的中点为，连接，
则，而，
故, 即四边形为平行四边形，
则；
因为平面，平面, 故，则；
由，为中点，故，则，
又平面，
故平面；
【规律】处理存在性探究问题，几何法常通过取中点、作垂线等方式寻找特殊点，再进行证明；向量法则是建立空间直角坐标系，设出动点坐标（引入参数），根据条件列方程求解参数，若有解则存在，无解则不存在.
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题
例17.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（　　）
A. 点的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为
【答案】ACD
【思路】通过建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式确定动点的轨迹，进而结合几何图形的极值位置求解线面角和异面直线所成角的最值.
【解析】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则
，于是，取，设，
则，则点到平面的距离为
，所以或（舍），于是点的轨迹是以边的中点，边的中点为端点的线段，其长度为，A正确；
连，发现与平面不平行，B错误；
根据图形可知当点位于线段的中点时，线段最短，，此时直线与平面所成角最大，故所成角的正弦值的最大值为，C正确；
平移至，根据图形可知当点位于点时，异面直线与所成角最大，其余弦值最小，最小值为，选项D正确.
【规律】解决空间动点轨迹与最值问题，首选方法是建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程，求出动点的轨迹方程，再利用函数求导、基本不等式或数形结合求最值.
【考点五 方法总结】
1. 正方体中线面关系的综合判定：在正方体中处理线面综合问题，要熟练掌握正方体的体对角线、面对角线与各面、各棱之间的平行与垂直关系.例如，体对角线垂直于不相交的面对角线构成的平面.
2. 空间位置关系中的存在性与探究问题：
（1） 几何法：常通过取中点、作垂线等方式寻找特殊点，再进行证明.
（2） 向量法：建立空间直角坐标系，设出动点坐标（引入参数），根据条件列方程求解参数，若有解则存在，无解则不存在.
3. 空间位置关系中的距离与最值问题：解决空间动点轨迹与最值问题，首选方法是建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程，求出动点的轨迹方程，再利用函数求导、基本不等式或数形结合求最值.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷·第10题）（多选）在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1.若二面角为，则（　　）
A.
B.
C. 当时，平面
D. 当平面时，
【答案】BC
【解析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D.
不失一般性作图如下，
过点作，为垂足，过点作，为垂足，
过点作，，连接，
则，因为二面角为，
所以，由已知，
所以，所以，
故，，B正确；
当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，
此时趋向于，A错误；
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
若，不重合，结合，平面，
可得平面，平面，
所以，矛盾，所以重合，
因为，，，平面，
所以平面，故平面，C正确；
因为平面，若平面，
则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，
故与的夹角为，D错误.
2.（2026·全国一卷·第15题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析 （2）1
【解析】（1）如图，作出符合题意的图形，连接，
在中，，分别为，中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由题意及（1）得，，
在直三棱柱中，，设，
四边形与四边形是矩形，
所以，，，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
得到，，，，，
所以，面的一个法向量为，
因为直线与平面所成的角为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
解得，所以，，，，，
因为面，所以由几何知识得，到面的距离为.
3.（2025·全国一卷·第9题）（多选）在正三棱柱中，为中点，则（　　）
A.
B. 平面
C. 平面
D.
【答案】BC
【解析】对于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，则，则，
因为是正三角形，为中点，则，则，
又，
所以，
则不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱中，平面，
又平面，则，
因为是正三角形，为中点，则，
又，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为在正三棱柱中，，
又平面，平面，所以平面，故C正确；
对于D，因为在正三棱柱中，，
假设，则，这与矛盾，
所以不成立，故D错误.
4.（2025·全国一卷·第17题）如图所示的四棱锥中，平面，，.
（1）证明：平面平面；
（2），，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为.
（i）证明：在平面上；
（ii）求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii）
【解析】（1）证明：在四棱锥中，平面，，
平面，平面，
所以，，
因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）（i）证明：四棱锥中，，，，，
，，
建立空间直角坐标系如下图所示，
所以，，，，，
若，，，在同一个球面上，
则，
在平面中，
所以，，，，
所以线段中点坐标，
直线的斜率：，
直线的垂直平分线斜率：，
所以直线的方程：，
即，
当时，，解得：，
所以，
在立体几何中，，
因为，
，
，
，
所以，
所以点在平面上.
（ii）由题意，（1）（2）（i）及图得，
，，
设直线与直线所成角为，
所以.
5.（2024·全国一卷·第17题）如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以，根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面.
（2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
即，即.
因为，设，则，由等面积法可得，，
又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即.
第 2 页，共 17 页第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 6
考点一：平面的基本性质 6
考点二：空间线线关系 8
考点三：空间平行关系 9
考点四：空间垂直关系 10
考点五：空间线面关系的综合应用 12
四、高考真题 14
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2026 第10题 多选题 第15题 解答题 6分 15分 直接考察 空间垂直关系的判定 线面平行的证明、点到平面的距离
2025 第9题 多选题 第17题 解答题 6分 15分 直接考察 空间线面位置关系的判定 面面垂直的证明、异面直线所成角
2024 第17题 解答题 15分 直接考察 线面平行的证明、二面角与线段长计算
近三年全国一卷中，空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何板块的核心考查内容，三年均有考察且在解答题的第一问和多选题中占据重要地位.
2. 命题角度与特色
（1） 命题以多面体（棱柱、棱锥）为载体，重点考查空间中点、线、面位置关系的判定与证明，尤其是线面平行、面面垂直的证明.
（2） 常将位置关系的证明与空间角、距离的计算相结合，考查空间想象能力和逻辑推理能力，几何法与向量法均可应用.
（3） 多选题常以动态几何问题或存在性问题为背景，考查线面关系的综合判定，对思维的严密性要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握空间点、线、面位置关系的判定定理与性质定理，能够灵活进行线线、线面、面面关系的相互转化.
（2） 重视基本几何体（正方体、长方体、正棱柱、正棱锥等）的结构特征，善于在其中寻找平行与垂直关系.
（3） 掌握立体几何证明的规范书写，同时提升建系求坐标的能力，做到几何法与向量法优势互补.
二、知识清单
1. 四个公理
（1） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.（注意：此公理是判定直线在平面内的依据；此公理是判定点在面内的方法）
（2） 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.（注意：此公理是确定一个平面的依据；此公理是判定若干点共面的依据）
① 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.（注意：此推论是判定若干条直线共面的依据；此推论是判定若干平面重合的依据；此推论是判定几何图形是平面图形的依据）
② 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
③ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
（3） 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（注意：此公理是判定两个平面相交的依据；此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据，比如证明三点共线、三线共点；此公理是判定几何图形是平面图形的依据）
（4） 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2. 空间点、直线、平面的位置关系
（1） 直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在任何一个平面内
（2） 直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号
公共点个数 无数个 1 0
（3） 平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况.
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
3. 空间中的平行关系
（1） 直线和平面平行
① 定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作.
② 判定方法：
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行 线面平行”）
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
③ 性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
（2） 两个平面平行
① 定义：没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则.
② 判定方法：
判定定理 文字语言 图形语言 符号语言
线 面 面 面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”）
线 面 面 面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
③ 性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 线面平行”）
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
4. 空间中的垂直关系
（1） 直线与平面垂直
① 定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.
② 判定定理：
文字语言 符号语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
③ 性质定理：
文字语言 符号语言
垂直于同一平面的两条直线平行
垂直于同一直线的两个平面平行
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
（2） 平面与平面垂直
① 定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
② 判定定理：
文字语言 符号语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
③ 性质定理：
文字语言 符号语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三、典题精练
考点一：平面的基本性质
考法1：平面的基本性质及其推论
例1.（2025·福建福州·检测）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则
A. B. C. D.
考法2：证明点共线、线共点与点共面
例2.如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）设，证明：，，三点共线.
考法3：空间几何体的截面问题
例3.（2026·湖南八中·一模）（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 平面
C. 直线与是异面直线
D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形
【考点一 方法总结】
1. 共面、共线、共点问题的证明：
（1） 证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内，通常转化为证明直线平行或相交.
（2） 证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.一般思路是证明这三点同属于两个相交平面，进而由公理3得出这三点都在这两个平面的交线上.
（3） 证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
2. 寻找两平面交线的方法：
（1） 寻找两个平面的两个公共点，连结这两个公共点即为交线.
（2） 若已知一个公共点，可利用线面平行的性质定理寻找另一条平行线作为交线.
（3） 利用基本事实3作交线.
3. 空间几何体的截面问题：作截面应遵循的原则为：
（1） 同一平面内的两点连线必在截面内.
（2） 截面与两个平行平面的交线必平行.
（3） 凡是相交的直线都要画出它们的交点，凡是相交的平面都要画出它们的交线.
（4） 遇到不在同一平面的两点，需通过作平行线或延长交线寻找新的共面点.
考点二：空间线线关系
考法4：异面直线的判定
例4.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A. 与平行
B. 与为异面直线
C. 与成角
D. 与垂直
考法5：异面直线所成角的计算
例5.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，则（　　）
A. 异面直线与所成角的大小为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 平面
D. 四面体的体积为
考法6：等角定理的应用
例6.若空间两个角与的两边对应平行，当时，则＿＿＿＿＿＿.
【考点二 方法总结】
1. 异面直线的判定方法：
（1） 直接法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.
（2） 间接法：证明两条直线不可能共面(平行或相交)从而得到两线异面.
（3） 处理展开与折叠问题时，关键是明确折叠前后点、线、面的位置对应关系.
2. 求异面直线所成角的方法：核心思想是平移，将空间角转化为平面角.步骤为：
（1） 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.常用的平移方法有：①利用几何体中的平行线直接平移；②取线段中点，利用中位线平移；③补形平移.
（2） 二证：证明作出的角是异面直线所成的角.
（3） 三求：解三角形，求出所作的角.
3. 等角定理的应用：应用等角定理时，必须注意分类讨论.只有当两个角的两边分别对应平行，且方向都相同或都相反时，这两个角才相等；若一组边方向相同，另一组边方向相反，则这两个角互补.
考点三：空间平行关系
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析
例7.（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（　　）
A. B. C. D.
考法8：证明线面平行
例8.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，，分别为和的中点.
（1）证明：上存在点，使得平面；
考法9：证明面面平行
例9.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面；
考法10：平行性质定理的应用
例10.已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点.
（1）平面平面，证明：；
【考点三 方法总结】
1. 判断空间线面位置关系的命题真假时，常借助长方体或正方体模型作为载体，通过举反例来排除错误选项.对于存在性问题，可假设存在，再推导是否产生矛盾.
2. 证明直线与平面平行的常用方法：
（1） 利用线面平行的判定定理，核心是“线线平行 线面平行”.寻找平行线的常用方法有：①利用三角形中位线定理；②利用平行四边形性质；③利用平行线分线段成比例定理.
（2） 利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行.已知两平面平行，则其中一个平面内的任意直线均与另一个平面平行.
（3） 利用定义，结合反证法证明直线与平面没有公共点.
3. 证明平面与平面平行的常用方法：
（1） 利用面面平行的判定定理，即在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行.
（2） 证明两个平面同时垂直于同一条直线.
（3） 证明两个平面同时平行于第三个平面.
（4） 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决平行综合问题的关键.
4. 平行性质定理的应用：
（1） 线面平行的性质定理是作辅助线或截面交线的重要依据.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
（2） 面面平行的性质定理也是寻找平行线的常用方法.
考点四：空间垂直关系
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析
例11.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是
A. B.
C. D.
考法12：证明线线垂直
例12.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱中，，.
（1）证明：；
考法13：证明线面垂直
例13.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知平面，平面平面，
（1）求证：平面；
考法14：证明面面垂直
例14.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，是的中点，.
（1）证明：平面平面；
【考点四 方法总结】
1. 垂直关系的判定与辨析：判断垂直关系命题时，需严格对照判定定理和性质定理的条件.特别注意线面垂直判定定理中必须是垂直于平面内的“两条相交直线”；面面垂直性质定理中必须是“在其中一个平面内垂直于交线”.
2. 证明线线垂直的方法：
（1） 转化为线面垂直，即证明其中一条直线垂直于包含另一条直线的平面（线垂面有何用：垂直面里所有线）.
（2） 利用平面几何性质：等腰三角形底边上的中线、勾股定理逆定理、菱形对角线互相垂直、直径所对的圆周角是直角等.
（3） 利用三垂线定理或空间向量的数量积为零.
（4） 利用平行线垂直直线的传递性.
3. 证明线面垂直的方法：
（1） 核心是“线线垂直 线面垂直”.寻找垂直直线时（线垂面哪里找），可利用直（正）棱柱的侧棱、正棱锥的高，或利用等腰三角形、菱形等平面几何性质.
（2） 利用面面垂直的性质定理（面面垂直 线面垂直），常作辅助线（在一个平面内作交线的垂线）.
（3） 利用平行线垂直平面的传递性.
4. 证明面面垂直的方法：通常转化为证明线面垂直（线面垂直 面面垂直），即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.解题时需在其中一个平面内寻找或构造一条直线，使其垂直于另一个平面.
5. 综合应用：三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化，线面垂直是其中的核心与桥梁.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
考点五：空间线面关系的综合应用
考法15：正方体中线面关系的综合判定
例15.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体中，若点为底面的中心，则
A. 平面
B.
C. 与所成的角为
D. 与平面所成的角的正切值为
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题
例16.如图，在五面体中，平面，，，.
（1） 问：在线段上是否存在点，使得平面 若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题
例17.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（　　）
A. 点的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为
【考点五 方法总结】
1. 正方体中线面关系的综合判定：在正方体中处理线面综合问题，要熟练掌握正方体的体对角线、面对角线与各面、各棱之间的平行与垂直关系.例如，体对角线垂直于不相交的面对角线构成的平面.
2. 空间位置关系中的存在性与探究问题：
（1） 几何法：常通过取中点、作垂线等方式寻找特殊点，再进行证明.
（2） 向量法：建立空间直角坐标系，设出动点坐标（引入参数），根据条件列方程求解参数，若有解则存在，无解则不存在.
3. 空间位置关系中的距离与最值问题：解决空间动点轨迹与最值问题，首选方法是建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程，求出动点的轨迹方程，再利用函数求导、基本不等式或数形结合求最值.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷·第10题）（多选）在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1.若二面角为，则（　　）
A.
B.
C. 当时，平面
D. 当平面时，
2.（2026·全国一卷·第15题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离.
3.（2025·全国一卷·第9题）（多选）在正三棱柱中，为中点，则（　　）
A.
B. 平面
C. 平面
D.
4.（2025·全国一卷·第17题）如图所示的四棱锥中，平面，，.
（1）证明：平面平面；
（2），，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为.
（i）证明：在平面上；
（ii）求直线与直线所成角的余弦值.
5.（2024·全国一卷·第17题）如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求.
第 2 页，共 17 页第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C B D D D
6 7 8 9 10
C D C ABD AD
11 12 13 14 15
BC （1）证明见解析 （2）
16 17 18 19
（1）证明见解析 （2） （1） （2） （1）证明见解析 （2）存在，或 （1）证明见解析 （2）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·安徽阜阳·一模）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，取与相交，设交线为，，但与不平行，故A错误.
对于B，若，则或，故B错误.
对于C，若，则可得，又因，且是不同的平面，所以可得，故C正确.
对于D，若，如果或，则不能判断，故D错误.
【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判断，熟练掌握相关判定定理与性质定理是解题关键.
2.（2026·山东青岛·一模）已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件.
设，，显然，从而有成立，但此时不平行.
所以故“”是“”的不充分条件.
即“”是“”的必要不充分条件.
【点拨】本题考查空间线面、面面平行的判定与性质，结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可.
3.（2025·江苏苏锡常镇·一模）在空间中，过点作平面的垂线，记垂足．设两个不同平面，，对任意一点，，，恒有成立，则（　　）
A. B. 的夹角为 C. 的夹角为 D.
【答案】D
【解析】如图：
设，则.
设，则.
因恒成立，所以两点重合.
所以四边形为矩形.
且为平面所成二面角的平面角.
所以.
【点拨】本题考查空间中点到平面的投影以及面面垂直的判定，通过画出草图分析投影点的几何特征即可得解.
4.（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于D，如图，记为正方体所在棱的中点，连接.易得，且平面平面，所以平面平面，则平面平面，则直线平面.选项A,B,C均不满足直线平面.
【点拨】本题考查线面平行的判定，通过构造平行平面或寻找线线平行关系即可得出结论.
5.（2026·广东深圳·二模）已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（　　）
A. 存在，使得相交
B. 存在，使得
C. 存在，使得的夹角为
D. 存在，使得
【答案】D
【解析】对于选项A，若，任意直线，不相交，矛盾.
对于选项B，若与相交，不存在直线，使得，矛盾.
对于选项C，若，任意直线，，矛盾.
对于选项D，若，任意直线，.
若，存在直线，，令，则.
若与相交，存在平面，，，令，则，D正确.
【点拨】本题考查空间中直线与平面位置关系的综合判断，需分类讨论直线与平面平行、相交、垂直的情况.
6.（2026·福建福州·二模）设是两个不重合的平面，则的充要条件是（　　）
A. 存在无数条直线与都平行
B. 存在无数个平面与都垂直
C. 对任意的直线，都存在直线，使得
D. 对任意的直线，都存在直线．使得
【答案】C
【解析】
如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面.
对于A，因，且，且，则.
显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误.
对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面.
即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误.
对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线.
则，从而对平面内的任意直线，都有.
即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误.
对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面.
则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得.
因，则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立.
反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面.
使，则必有，故必要性成立，故C正确.
【点拨】本题考查面面平行的充要条件，可借助长方体模型举反例排除错误选项，再严格证明正确选项.
7.（2026·湖南永州·二模）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，且，，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】如图，.
若，则与相交或异面，不一定垂直.
若，则不一定成立.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
【点拨】本题考查空间线面位置关系与充分必要条件的判断，通过构造反例模型即可得出结论.
8.（2026·江苏前黄中学·检测）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于 A，若，则或与为异面直线，故 A 错误.
对于 B，若，则或，故 B 错误.
对于 C，若，由线面平行性质定理得存在直线,使得.
因为，则，又因为，则，故 C 正确.
对于 D，若，则或与相交，故 D 错误.
【点拨】本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，熟练掌握线面平行、垂直的判定定理与性质定理是解题关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·广东中山·二模）已知直线与平面相交于点，则（　　）
A. 内不存在直线与平行
B. 内有无数条直线与垂直
C. 内所有直线与是异面直线
D. 至少存在一个过且与垂直的平面
【答案】ABD
【解析】已知直线与平面相交于点，若内存在直线与平行，则直线与确定一个平面.
由，，且，，则与重合.
有，与矛盾，故选项A正确.
设直线在平面内的射影为，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影垂直的直线，与直线垂直.
又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确.
在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误.
如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线.
因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确.
【点拨】本题考查空间直线与平面位置关系的综合应用，需结合线面平行、线面垂直的性质及三垂线定理进行分析.
10.（2026·江西“三新”·检测）若是空间中互不重合的三条直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直，A正确.
，则与的位置关系不确定，B不正确.
若，则与的位置关系不确定，C不正确.
若，则，D正确.
【点拨】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，熟记相关定理并能举出反例是解题关键.
11.（2026·湖北孝感·二模）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则平面
D. 若，则
【答案】BC
【解析】A：与异面，显然不正确.
B：若，易得.
又，，则，所以，故B正确.
对于选项C与D，
因为平面，平面，所以.
又，是平面内两条相交直线，
所以平面，又平面，故.
又，且是平面内两条相交直线，所以平面.
又平面，故.
又，且是平面内两条相交直线，所以平面.故选项C正确.
又平面，故.
若与也垂直，由与共面，则与重合，故选项D不正确.
【点拨】本题考查线面垂直的判定与性质，通过反复利用线面垂直与线线垂直的相互转化即可证明.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图, 在正方体中, 点分别是棱的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】取中点为, 连接, 记与交点为, 如图所示:
因为分别是棱的中点,
所以, 且, 故四边形为平行四边形,
所以, 所以与所成角即为与所成角,
因为正方体是棱的中点,
所以,
所以, 即,
因为, 所以,
所以,
故与所成角为, 即与所成角为.
【点拨】本题考查异面直线所成的角，通过平移直线将异面直线转化为相交直线，再利用平面几何知识求解是常用方法.
13.已知正四面体中,是的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】解: 由题知, 取中点为，连接如图所示:
不妨设正四面体棱为6,
根据分别为中点得：，,
因为与为等边三角形,
所以，故，同理，
在中, 由余弦定理可得:
，
故,
因为,
所以异面直线与所成角，即直线与所成角，即,
故异面直线与所成角为.
【点拨】本题考查异面直线所成角的计算，利用三角形中位线平移直线，再在三角形中应用余弦定理求解即可.
14.在棱长均相等的四面体中，为棱(不含端点) 上的动点，过点的平面与平面平行. 若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】连接,
由题意知过点的平面与平面平行，平面与平面，平面的交线分别为，，
由于平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
所以或其补角即为，所成的平面角，
设正四棱锥的棱长为1，，，则，
在中，
由余弦定理得，
同理求得，
故在中，，
，
由于，则，进而，
当时取等号，
故的最小值为，进而，
故的最大值为，
【点拨】本题考查面面平行的性质及异面直线所成角的计算，通过余弦定理构建函数关系并求最值是解题关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·安徽A10联盟·检测）已知等腰梯形与等腰梯形如图1所示，其中，过点作，垂足为.现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图2所示.
（1）求证：平面平面；
（2）在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）因为平面，平面，所以. 1 分
又翻折前后都有，又，所以平面. 3 分
因为，所以平面. 4 分
因为平面，所以平面平面. 5 分
（2）易知，又，
则，，. 7 分
分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，，. 8 分
设平面的法向量为，由，得，
取，则平面的一个法向量为. 10 分
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为. 15 分
【点拨】本题考查面面垂直的证明以及利用空间向量求直线与平面所成角，建系求解是处理此类问题的通法.
16.（2026·江苏苏锡·一模）如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由，得，
又平面，则平面， 3 分
而平面，于，由为中点，，得， 5 分
又平面，因此面，又平面，
所以平面平面． 7 分
（2）由（1）知，二面角的平面角为，则，
由平面，得为与平面所成的角， 9 分
在中，，则，，
而，则，此时， 11 分
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，于是， 13 分
在中，，则，
所以四面体的体积． 15 分
【点拨】本题考查面面垂直的判定以及四面体体积的计算，找出线面角并确定最值条件是求解体积的关键.
17.（2026·湖南永州·二模）如图，是半圆的直径，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点．
（1）当时，求点到平面的距离；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如图，连接，设与相交于点，再连接，
因为是弧上的两个三等分点，所以，
又，所以与都是正三角形，
所以，即四边形是菱形，所以， 2 分
又因为点在底面上的射影为的中点，
所以平面，
由，得，即，而，所以，
所以平面，又平面，
所以，而，平面，
所以平面，垂足为， 5 分
即点到平面的距离为，而，
所以点到平面的距离为2. 7 分
（2）取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直，
故以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 9 分
当时，可得，，，，，
则，， 11 分
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故， 13 分
因为平面轴，所以取平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为. 15 分
【点拨】本题考查点到平面距离的求解以及二面角的计算，建立空间直角坐标系利用向量法求解是常规思路.
18.（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，、、分别为棱、、上的点.
（1）若，，证明：；
（2）若、分别为棱，的中点，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或
【解析】（1）因为，，，，
所以平面平面. 3 分
又因为平面平面，平面平面，
所以； 6 分
（2）在中，因为，，
所以，故.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面. 8 分
在平面内过作交于点，则，，两两垂直.
以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，.
故，. 10 分
假设存在点满足条件，设，则
，可得.
设平面的一个法向量为，则即，
令，此时. 12 分
平面的一个法向量，则.
整理得，解得或. 14 分
所以当或时，平面与平面所成角为. 15 分
【点拨】本题考查面面平行的性质定理以及利用空间向量探究面面角问题，建系并引入参数是解决存在性问题的有效手段.
19.（2026·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，是的中点，点满足，，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：连接交于点，连接．
因为是的中点，，，所以． 2 分
又，所以，从而，在平面中，有． 4 分
所以，又平面，平面．
所以平面． 6 分
（2）因为底面，以为坐标原点，以，的方向为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，． 8 分
所以，，，．
设为平面的法向量，
则，即，
可取． 10 分
设为平面的法向量，
则，即，
可取． 12 分
设平面与平面的夹角为，则． 14 分
所以．
所以平面与平面夹角的正切值为． 15 分
【点拨】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求二面角，熟练掌握空间直角坐标系的建立与法向量的求解是关键.
第 2 页，共 17 页第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 · 综合测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·安徽阜阳·一模）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
2.（2026·山东青岛·一模）已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（2025·江苏苏锡常镇·一模）在空间中，过点作平面的垂线，记垂足．设两个不同平面，，对任意一点，，，恒有成立，则（　　）
A. B. 的夹角为 C. 的夹角为 D.
4.（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（　　）
A. B.
C. D.
5.（2026·广东深圳·二模）已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（　　）
A. 存在，使得相交
B. 存在，使得
C. 存在，使得的夹角为
D. 存在，使得
6.（2026·福建福州·二模）设是两个不重合的平面，则的充要条件是（　　）
A. 存在无数条直线与都平行
B. 存在无数个平面与都垂直
C. 对任意的直线，都存在直线，使得
D. 对任意的直线，都存在直线．使得
7.（2026·湖南永州·二模）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，且，，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.（2026·江苏前黄中学·检测）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·广东中山·二模）已知直线与平面相交于点，则（　　）
A. 内不存在直线与平行
B. 内有无数条直线与垂直
C. 内所有直线与是异面直线
D. 至少存在一个过且与垂直的平面
10.（2026·江西“三新”·检测）若是空间中互不重合的三条直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11.（2026·湖北孝感·二模）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则平面
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图, 在正方体中, 点分别是棱的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿＿.
13.已知正四面体中,是的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿.
14.在棱长均相等的四面体中，为棱(不含端点) 上的动点，过点的平面与平面平行. 若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·安徽A10联盟·检测）已知等腰梯形与等腰梯形如图1所示，其中，过点作，垂足为.现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图2所示.
（1）求证：平面平面；
（2）在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值.
16.（2026·江苏苏锡·一模）如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
17.（2026·湖南永州·二模）如图，是半圆的直径，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点．
（1）当时，求点到平面的距离；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，、、分别为棱、、上的点.
（1）若，，证明：；
（2）若、分别为棱，的中点，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.（2026·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，是的中点，点满足，，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
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