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5.1认识二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
2．若函数是关于的二次函数，则为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．若是关于的二次函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
9．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
10．函数是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是________．
14．二次函数，则__________．
15．已知函数的图象是抛物线，则m=______．
16．若是关于的二次函数，则的值为______．
17．已知．
（1）当的值为________时，是的正比例函数．
（2）当的值为_________时，是的二次函数．
（3）当的值为________时，是的反比例函数．
三、解答题
18．已知函数，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
19．写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当，2时三角形的面积．
20．设圆的半径为r，面积为S．
(1)试写出S与r之间的函数关系式；
(2)画出这个函数的图象．
21．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)则的值为______；对称轴为______．
(2)若点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为______．
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
22．某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，销售价为30元，每天可销售100件．为了扩大销售，决定降价销售，经市场调查发现，每件产品每降价1元，每天可多销售10件．设每件产品降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件产品降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．定义运算：，若从、3、中任取两个分别作为和，得到一个代数式．
(1)用“画树状图”或“列表”的方法，求出代数式所有可能出现的结果；
(2)设，求是二次函数的概率．
《5.1认识二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C B C B C A B
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．
【详解】解：由题意得，
与之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．C
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，且，
解方程，即，
解得或，
又∵，
，
．
3．C
【分析】根据二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数，对各选项进行一一分析判定即可．
【详解】解：由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数
A. ，是一次函数，没有二次项，故选项A不正确；
B. ，是一次函数，没有二次项，故选项B不正确；
C. ，是二次函数，二次项系数不为0，故选项C正确
D. ，当a=0时，是一次函数，当a≠0时，是二次函数，不能确定是一次还是二次函数，故选项D不正确．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题关键．
4．C
【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可．
【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意；
B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意；
C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意；
D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意，
综上，选C．
5．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可．
【详解】解：①，是二次函数；
②，不是二次函数；
③，是二次函数；
④，不是二次函数；
∴ 是二次函数的有①和③，共2个．
故选：B
6．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为
A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意；
B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意；
C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意；
D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．B
【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0，
∴，
解得．
8．C
【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵，
．
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式．
根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式．
【详解】解：每件利润为元，销售数量为件，
每天的利润，
即函数关系式为，
故选：．
10．B
【分析】根据二次函数的定义，只有一个自变量，且自变量的次数为二次，系数不能为零，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，系数，解题的关键是理解二次函数的定义，二次项系数不能为零．
11．D
【分析】本题考查了二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数，解题的关键是掌握二次项系数不为0．
根据二次项系数不为0得到，即可求解．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
故选：D．
12．D
【分析】本题考查的是二次函数的定义．根据二次函数的定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：表示是的二次函数，
，
解得．
故选：D．
13．
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
14．5
【分析】根据二次函数的定义即可求出m的值．
【详解】解：∵是二次函数．
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．
15．﹣1
【分析】根据二次函数的图象是一条抛物线解答即可．
【详解】解：∵函数的图象是抛物线，
∴该函数为二次函数，
则有m2+1=2且m﹣1≠0,
解得：m=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的图象、二次函数的定义、解一元二次方程，熟知二次函数的图象是一条抛物线是解答的关键．
16．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（ 其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
故答案为：．
17． 1
【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键；
（1）根据正比例函数的定义求解；
（2）根据二次函数的定义求解；
（3）根据反比例函数的定义求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
由①，得且，
由②，得，
．
故当的值为1时，是的正比例函数．
（2）根据题意，得
由①，得且．
由②，得．
故当的值为时，是的二次函数．
（3）根据题意，得
由①，得且．
由②，得，
．
故当的值为时，是的反比例函数．
18．(1)
(2)或或或或
【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义；
（1）由二次函数的定义得，即可求解；
（2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解；
理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：；
故时，此函数是二次函数；
（2）解：①当时，
解得：；
②当时，
解得：，；
③当时，
解得：，；
综上所述：取或或或或，此函数为一次函数．
19．；
【分析】根据三角形面积公式以及等边三角形的三线合一即可求出与的关系式．
【详解】解：在等边三角形中，
底边上的高为：，
，
当时，
，
当时，
当时，
【点睛】本题考查函数关系，解题的关键是根据等边三角形的性质求出底边上的高．
20．(1).
(2)
【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可；
（2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象．
【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，；
（2）解：由（1）得，
列表可得，
描点连线，图象略
21．(1)，轴
(2)
(3)函数图象见解析，
【分析】本题考查二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，关键是求二次函数的解析式．
（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可；
（3）当时，，当时，并结合函数图象求出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
二次函数当时，随的增大而增大，
二次函数的图象的开口向下，即，
；
二次函数为，
对称轴为轴．
故答案为：，轴；
（2）解：把代入得，，
，
对称轴为轴，
该图象上点的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图所示：
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：．
22．(1)
(2)当每件产品降价0元时，每天的销售利润最大，最大利润是1000元
【分析】本题考查了销售问题(实际问题与二次函数)，列二次函数关系式，y=ax +bx+c的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）设每件产品降价x元，可用x分别表示出每件产品的利润、每天的销售量，再根据每天的销售利润算法列出二次函数即可；
（2）根据（1），求出函数的最大值即可．
【详解】（1）解：由题意得，每件产品的利润为元，
每天的销售量为件，
所以；
（2）解：因为，，
所以当时，y有最大值，最大值为，
即当每件产品降价0元时，每天的销售利润最大，最大利润是1000元．
23．(1)，，，，，
(2)
【分析】（1）画树状图，即可得出结论；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中是二次函数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，分别为，，，，，，；
（2）解：由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中是二次函数的结果有2种，
是二次函数的概率为．
【点睛】此题考查新定义，用树状图法求概率以及二次函数的定义．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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