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5.2二次函数的图象
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和 B．和 C．5和 D．5和
2．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．对于抛物线，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
4．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（ ）．
A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C
5．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点，，且过，两点（b，a是实数），若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，y有最大值
C．图像经过点 D．当时，
7．二次函数的图象经过，其中m、n为常数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数图像平行于轴
B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限
C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧
D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧
9．若二次函数满足，则其图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
11．若抛物线与x轴的一个交点为(t，0)，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1 cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为S cm2，则能反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．抛物线的顶点坐标是__________．
14．二次函数（、、为常数且）中的与的部分对应值如表：
-1 0 1 3
-1 3 5 3
给出以下结论：①二次函数有最大值，最大值为5；②；③时，的值随值的增大而减小；④3是方程的一个根；⑤当时，，则其中正确结论是_____．
15．小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：__．
0 1 2 3 4
3 6 7 6 3
16．二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有________________．（只填写序号）
17．抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______．
三、解答题
18．已知二次函数（a，b，c均为常数且）．
(1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式；
(2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．
19．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式．
20．在平面直角坐标系中，设点是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积，若的最大值为m，的最大值为n，则为图形Ｗ的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的．当P，Q分别是与x轴的交点时，
如图1，取得最大值，且最大值；当P，Q分别是与y轴的交点时，
如图2，取得最大值，且最大值．则图形W的测度面积．
（1）若图形W是等腰直角三角形．
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积____________；
②如图4，当轴时，它的测度面积____________；
（2）若图形W是一个边长为1的正方形，画出示意图，并写出此图形测度面积S的最大值；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形，求它的测度面积S的取值范围．
21．对于抛物线．
(1)将抛物线的解析式化为顶点式．
(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
x … …
y … …
22．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
x/周 8 24
T/千套 10 26
(1)求T与x的函数关系式；
(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．
(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
23．已知二次函数（是常数）的图象是抛物线．
(1)求证：该抛物线的顶点在函数的图象上；
(2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
24．已知抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若随的增大而减小，试求的取值范围．
《5.2二次函数的图象》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D C D D D B C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值．
先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
【详解】解：，
，
∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值，
，
时，是最大值，
∴函数的最大值为5，最小值为．
故选：C．
2．B
【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限．
【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，即，
，
，
∵抛物线与轴交于正半轴，
，，
点在第二象限．
3．B
【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项．
【详解】解：∵抛物线解析式为
∴
∴抛物线开口向上，故A错误
对称轴为直线，故B正确
顶点坐标为，故C错误
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
4．D
【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用运用待定系数法成为解题的关键．
分别求出抛物线经过，，，四种情况下a、b、c的值，并求得的值进行比较即可解答．
【详解】解：当抛物线经过三点时，由题意可得：
，解得：，
∴；
当抛物线经过三点时，由题意可得：
，解得：，
∴；
当抛物线经过三点时，由题意可得：
，解得：，
∴；
当抛物线经过三点时，由题意可得：
，解得：，
∴；
∵．
故选D．
5．C
【分析】根据题意列出二次函数的解析式，求出二次函数的最值，利用基本不等式，求出的范围．
【详解】由题意，二次函数与x轴交于两点，，且二次项系数为1，
则：
过，两点
，
，
二次函数的二次项系数为1，对称轴为
二次函数图像开口朝上，且点，在对称轴的右侧．
又
．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的配方法求最值，以及基本不等式的运用，（仅当时，等于号成立）能灵活的应用基本不等式是解题的关键．
6．D
【分析】观察图象可知抛物线开口方向，根据图象经过，可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，经过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时，，A选项正确，不符合题意．
当时y有最大值，B选项正确，不符合题意．
∵图象经过，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线经过点，C选项正确，不符合题意．
当或时，，选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据函数图象找出对称轴、判断开口方向和增减性是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键．
根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等．
【详解】函数为 ，
对于：当时，，为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，错误；
对于：当时，，过原点，但斜率，图像经过第二、四象限，不经过第一、三象限，错误；
对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴左侧，错误；
对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴右侧，正确．
故选．
9．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，函数图象上的点满足函数函数解析式．
【详解】A、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意；
B、把代入，得到，满足，所以该点在函数图象上，该选项符合题意；
C、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意；
D、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．
11．B
【分析】将（t，0）代入抛物线解析式，变形得到t4+1=7t2，再整体代入即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2-3x+1与x轴的一个交点为（t，0），
∴t2-3t+1=0，
∴t2+1=3t，
∴（t2+1）2=（3t）2，
∴t4+1=7t2，
原式，
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点和整体代入思想，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
12．B
【分析】分当时，当时，当时三个阶段，分别求出三个阶段的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得AH=CH=BH=4cm，FE=FG=GH=EH=2cm，
当时，如图1所示，设EF与CH交于K，则；
当时，如图2所示，设EF与BC交于M，则；
当时，如图3所示，设GF与BC交于L，则；
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够根据题意得到三个阶段的函数表达式．
13．
【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标．
【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为，
对比顶点式可得，，
故顶点坐标为．
14．②④⑤
【分析】先利用待定系数法求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再化为顶点式，则可对①②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义对④进行判断；先解方程-x2+2x+3=0得抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），然后利用抛物线在x轴上方对应的自变量的范围可对⑤进行判断．
【详解】解：把（0，3），（1，5），（-1，-1）代入y=ax2+bx+c得
，解得：，
∴抛物线解析式为y=-x2+3x+3，
∵，
∴当x=时，y有最大值，所以①错误；
∵a=-1，c=3，
∴ac=-3＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，所以③错误；
当x=3时，ax2+（b-1）x+c=-1×9+（3-1）×3+3=0，
即3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，所以④正确；
二次函数y=ax2+（b-1）x+c=-x2+2x+3，
解方程-x2+2x+3=0得x1=-1，x2=3，
∴抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x＜3时，-x2+2x+3＞0，所以⑤正确．
故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围，或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，也可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．从表格中找三组，的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可．
【详解】把，，代入中得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
16．②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线的开口向下即可得出，再根据抛物线的对称轴在和之间即可得出，②正确；②由可得出，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出，由此即可得出，①错误；③将代入抛物线解析式中，整理后可得出，③正确；④根据抛物线的对称轴可得出，再由当时y＞0即可得出，进而即可得出，④正确．综上即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴，
∴，即，②成立；
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，
∴，①错误；
∵，
∴，
∴，
整理得：，③成立；
∵抛物线的对称轴，
∴，
∵当时，，
∴，即，④正确．
综上可知正确的结论为②③④．
故答案为：②③④．
17．
【分析】根据抛物线的对称性求出点顶点的横坐标，再代入直线y=-x+2，再将A及顶点坐标代入解析式y=ax2+bx，据此即可求出抛物线的解析式
【详解】∵抛物线经过点 ，A（2，0），
∴顶点横坐标为1，
∵顶点在直线y=-x+2上，
∴y=-1+2=1，
∴顶点坐标（1，1），
∵y=ax2+bx过点A（2，0），（1，1），
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键．
18．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题．
（1）根据二次函数图象过点和点，设二次函数在解析式为，把代入求解即可；
（2）将二次函数转化为，根据定点与a的值无关，得到，，求出x值，代入解析式，求出对应的y值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）∵二次函数图象过点和点，
∴设二次函数的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴
（2）若，，
则，
∴当时，，当时，，
∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，．
19．/
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
设交点式，然后把C点坐标代入求a即可；
【详解】解：抛物线经过点，，
设抛物线的解析式为：，
代入得：，
解得：，
抛物线的解析式：．
20．（1）①1；②1；（2）画图见解析，测度面积S的最大值为2；（3）
【分析】（1）由测度面积的定义利用它的测度面积求解即可；
②利用等腰直角三角形的性质求出，，利用测度面积求解即可；
（2）先确定正方形有最大测度面积时的图形，即可利用测度面积求解．
（3）分两种情况：当，或，都在轴上时，当顶点，都不在轴上时分别求解即可．
【详解】解：（1）①如图3，
，点，在坐标轴上，
它的测度面积，
故答案为：1．
②如图4，
轴，．
，，
它的测度面积，
故答案为：1．
（2）如图5，图形的测度面积的值最大，
四边形是边长为1的正方形．
它的测度面积的最大值为；
（3）设矩形的边，，由已知可得，平移图形不会改变其测度面积的大小，将矩形的其中一个顶点平移至轴上，
当，或，都在轴上时，如图6，图7，
矩形的测度面积就是矩形的面积，此时．
当顶点，都不在轴上时，如图8，过点作直线轴于点，过点作轴于点，过点作直线轴，分别交，于点，，则可得四边形是矩形，
当点，与点，重合时，的最大值为，的最大值为．
图形的测度面积，
，，
，
，
，
，
设，，，则，，
在中，，
，
即，
，
，
在和中，
，
，，
图形的测度面积
，
当时，即时，测度面积取得最大值，
，，
，
，
综上所述：测度面积的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形以及用二次函数求最值等知识，解题的关键是正确的确定矩形的最大值，的最大值．
21．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式，画二次函数的图象：
（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）利用列表、描点、连线的方法画出图象即可；
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点式为；
（2）解：列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 0 3 …
函数图象如图所示：
22．(1)；
(2)；
(3)①存在，不变的值为240；②当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
【详解】（1）解：当0＜x≤8时，设，
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴，
解得：m＝120，
∴，
当8＜x≤24时，设，
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴，
解得：n＝1，
∴，
即：，
∴T与x的函数关系式为；
（2）解：当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入，
得：，
解得：，
∴当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为，
故答案为：；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入，
得：，
解得：，
∴当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝2x＋8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝(2x＋8)·＝240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝(2x＋8)(x＋2)＝2x2＋12x＋16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝(－x＋44)(x＋2)＝－x2＋42x＋88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为240．
②（Ⅰ）当8＜x≤12时，y＝2x2＋12x＋16＝2(x＋3)2－2，抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴当8＜x≤12时，在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，
当2(x＋3)2－2＝286时，
解得：x1＝9，x2＝－15（舍去）；
当x＝12时，y取得最大值，最大值为2×(12＋3)2－2＝448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T取得最小值11，当x＝12时，T取得最大值14；
（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝－x2＋42x＋88＝－(x－21)2＋529，抛物线的对称轴为直线x＝21，
当x＝12时，y取得最小值，最小值为－(12－21)2＋529＝448，满足286≤y≤504；
当－(x－21)2＋529＝504时，
解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；
当x＝12时，周销售量T取得最小值14，当x＝16时，T取得最大值18，
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图像的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）求出顶点坐标，代入，即可得证；
（2）根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】（1）证明：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴当时，，
∴该抛物线的顶点在函数的图象上；
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，在抛物线上，且，
∴，即或，
解得；
故．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数增减性是关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数图象的增减性即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的解析式为．
（2）解：由得，该抛物线的对称轴为，
，
当时，随的增大而减小，
∴x的取值范围为．
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