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6.1用树状图或表格求概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．［教材练习变式］［2017·辽阳］如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是( )

A． B． C． D．
2．甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（ ）
A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断
4．如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个质地均匀的转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则重新转一次），转动转盘两次，则两次转动转盘指针指向的数字之积为负数的概率是（ ）

A． B． C． D．
7．一个布袋内只装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是____________．
8．“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．春节期间，小明和小华分别从三部春节档影片《飞驰人生2》《热辣滚烫》和《第二十条》中随机选择两部部观看，则小明和小华选择的两部影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图是实验学校停车场示意图，现仅剩下“”“”“”“”四个车位．甲、乙两人从中随机选择一个车位，则两人所选车位不相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．春暖花开，正是放纸鸢的好时节．随着电影《哪吒2》的热映，哪吒、敖丙、太乙真人的卡通形象风筝备受人们喜爱．小强和小军分别从这三种卡通形象的风筝中任选一个购买，则他们两个都未选择太乙真人的概率是___________．
14．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
15．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）．
16．色光三原色是指红、绿、蓝三色．把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为_________．

17．自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为__________．
三、解答题
18．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．
（“扫雷”游戏的目的是准确找出所有埋藏在方格内的地雷，用时越少越好．用鼠标点击（左击）方格，如果方格内没有地雷，会出现一个标号，表示与这个方格相邻的方格内，有与标号相同个数的地雷，然后根据标号判断下一步点击的区域；如果方格内有地雷，地雷就会爆炸，游戏失败．）
小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．下一步应该点击A区域还是B区域？
19．某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝__________，b＝__________，c＝__________，m＝__________，n__________；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
20．某学校为了培养学生的兴趣和爱好，在课后延时服务活动中开设了A：象棋；B：书法；C：机器人；D：舞蹈；E：手工制作五个兴趣小组（每名学生必选且只能选一个），将参加各兴趣小组的人数绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题．
(1)参加兴趣小组的学生有 人；
(2)把条形统计图补充完整，扇形统计图中的C组所对应圆心角的度数是 °；
(3)在A组最优秀的3名学生（2名男生1名女生）和B组最优秀的4名学生（2名男生2名女生）中，各选1名学生参加区域性的课后延时服务成果展示，利用画树状图法或列表法，求所选两名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
21．将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒子中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
22．甲、乙、丙、丁四名同学围成一圈玩传球游戏，球从一人手中随机传到另外一人手中记作传球一次，开始时球在甲手中．请用画树状图或列表的方法求经过两次传球后，球回到甲手中的概率．
23．新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
(2)若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
24．某校对九年级学生对足球联赛“川超”情况做了抽样调查，将结果分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解．请根据下列两幅统计图中的信息解答下列问题：
(1)这次参与调查的学生有____________人，的圆心角是____________度；
(2)若该校九年级共有名学生，估计九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有多少人？
(3)某班调查学生中等级有2名男生2名女生．现打算从这4名学生中任意抽取2名进行电话问答，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两个男生的概率．
《6.1用树状图或表格求概率》参考答案
1．B
【详解】∵由图可知，黑色方砖可拼4块，图中共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值 =，
∴它停在黑色区域的概率是．
2．B
【分析】本题考查用列表法求概率，列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
【详解】解：由题可列表如下：
乘法运算结果 2
2
加法运算结果 2
2
由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种，
结果是有理数的概率为，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键．
【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：，
正面向上的点数大于3的概率为：，
，
对乙有利，
故选：C．
4．D
【分析】根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种，利用概率公式进行解答即可．
【详解】解：依据题意，画树状图如下：
由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种，
∴．
5．C
【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为．
6．A
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之积为负数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：列表如下：
1 2 3
1 正 正 正 负
2 正 正 正 负
3 正 正 正 负
负 负 负 正
一共有16种等可能结果，两次转出数字之积为负数的有6种，
故这两次转出数字之积为负数的概率为：．
故选A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
7．
【分析】本题主要考查了列表法以及画树状图求概率，根据题意列出表格，然后得出总的情况以及摸出的两个球都是黑球的情况，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：列表如下：
黑 黑 白 白
黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑）
白 （黑，白） （黑，白） （白，白）
白 （黑，白） （黑，白） （白，白）
一共有12种情况，摸出的两个球都是黑球的有2种情况，
∴摸出的两个球都是黑球的概率为：，
故答案为：
8．D
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有种，
∴这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了列表法计算概率，熟练掌握列表法是解题的关键．
【详解】解：把三部影片分别记为A、B、C，
列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果，其中小明和小华选择的影片相同的结果有3种，
∴小明和小华选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B．
10．B
【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解.
【详解】解：如图，过点作于，于，
点为正方形的中心，
，，
，，
，
在和中
，
，
，
.
11．B
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选车位不相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
共有12种等可能的结果，其中两人所选车位不相邻的结果有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），共6种，
∴两人所选车位不相邻的概率是．
故选：B．
12．C
【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光，
画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：C．
13．
【分析】本题考查概率的求解，解题的关键在于理解概率等于所求结果数与总结果数之比．可用画树状图法列出所有可能得结果，再用符合题意的结果数与总结果数相比，即可求解．
【详解】解：画树状图，如图：
共有9种等可能性结果，小强和小军都未选择太乙真人的有4种结果，
∴小强和小军都未选择太乙真人的概率是．
故答案为．
14．
【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
15．公平
【分析】本题主要考查了有理数加减运算、简单概率计算等知识，正确计算两人获胜的概率是解题关键．根据题意，可知共有4种运算结果，其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，然后分别计算两人获胜概率，比较即可获得答案．
【详解】解：根据题意，在的两个空格口中，任意填上“”或“”，
可有4种结果，如下所示：
，，，，
其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，
所以丽丽获胜的概率为，颖颖获胜的概率为，
又因为，
所以，这个游戏对双方公平．
故答案为：公平．
16．
【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：根据题意画树状图如解图，

由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，
∴．
17．
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，
∴校长和学生乙坐在正对面的概率．
故答案为：
18．第二步应该点击B区域，理由见解析
【分析】下一步应该怎样走取决于点击哪部分遇到地雷的概率小，只要分别计算点击两区域内的任一方格遇到地雷的概率并加以比较就可以了．
【详解】解：A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各埋藏有1颗地雷．因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率是．
B区域方格数为．其中有地雷的方格数为．因此，点击B区域的任一方格，遇到地雷的概率是．
由于，即点击A区域遇到地雷的可能性大于点击B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该点击B区域．
【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键在于能够准确求出A区域和B区域遇到雷的概率．
19．（1），，，，，二年级，见解析；（2）1000人；（3）
【分析】（1）首先整理数据，根据中位数，众数，平均数，优秀率的意义求解即可求出a,b,c,m,n；再根据两个年级的优秀率即可判断哪个年级掌握党史知识较好；
（2）先求出样本的合格率，由样本的合格率估计总体的合格率，用合格率乘以总人数即可估计出总体的合格人数，即可得出结论；
（3）首先确定一年级满分人数和二年级满分人数，按照题目要求用列举出所有可能，即可求出概率．
【详解】解：（1）将大一年级20名同学成绩整理如下表：
成绩 25 30 37 39 43 49 50
人数 1 2 4 2 5 4 2
平均数 ，
众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43，
中位数：排序后，第10和第11个数据为42和43，故中位数为；
大一年级的优秀率为：，
大二年级的优秀率为：，
所以，，，，
从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，
所以估计二年级学生的优秀率高，
所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好；
（2）∵样本合格率为：，
∴估计总体的合格率大约为，
∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：人
∴估计超过了1000人；
（3）一年级满分有2人，设为A，B，二年级满分有3人，设为1，2，3
则从这5人中选取2人的所有情况为：
，，，，，，，12，13，23，
共有10种等可能情况，两人在同一年级的情况有4种，
∴可求得两人在同一年级的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义、由样本估计总体、列举法求概率，掌握中位数、平均数、众数、由样本估计总体、列举法求概率的计算方法是解题关键．
20．(1)；
(2)见解析，；
(3)．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加兴趣小组的学生人数．
（2）用总的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求得组所对应圆心角的度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名学生中恰好是名男生名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：（人）
故答案为：．
（2）解：组人数：（人）
补充的完整的条形统计图如下：
故答案为：．
（3）由题意画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，
∴P（1男1女）
21．
【分析】本题主要考查了用树状图法求概率以及轴对称图形的概念，熟练掌握树状图法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过画树状图列出所有摸取两个盒子的可能结果，再从中找出拼成轴对称图形的结果数，最后根据概率公式计算概率．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中拼成的图形是轴对称图形的结果有A和C，C和A共2种，
所以（拼成的图形是轴对称图形）．
22．
【分析】本题考查用列举法求概率．
根据树状图可知共有9种结果，其中符合题意的有3种，根据概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，两次传球后共有9种等可能结果，其中球回到甲手中的有3种结果，故（经过两次传球后，球回到甲手中)．
23．(1)
(2)摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，利用概率公式即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，即可得求出概率．
【详解】（1）解：∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
（2）解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
24．(1)200人；108
(2)400人
(3)
【分析】本题考查了树状图、概率、扇形统计图和条形统计图：
（1）根据等级的人数和所占百分比求出调查的学生数，再用总人数减去其他等级的人数求出的人数，根据的人数和总人数得到圆心角度数；
（2）用总人数乘以“基本了解”川超情况的学生所占百分比；
（3）根据题意列出等可能情况，找出符合条件的情况，根据概率公式即可．
【详解】（1）解：参与调查的学生有（人），
的圆心角：．
故答案为：；．
（2）解：（人）．
答：九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有400人．
（3）解：如图所示，
由图可知，总共有种等可能结果，抽到两个男生的情况有种，
．
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