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第六章概率的进一步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
2．某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700
“射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ）
A．0.65 B．0.68 C．0.70 D．0.71
3．袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（ ）
A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜
B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜
C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜
D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜，
4．在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（ ）
A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2
8．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　）
A．6 B．14 C．5 D．20
9．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．12
10．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数n是（ ）
A． B． C． D．
11．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
12．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
二、填空题
13．如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______．
14．一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有______个．
15．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______．
16．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，估计袋中红球有______个．
17．当一次试验涉及两个或更多个因素时，可以用______法求概率．
三、解答题
18．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
(1)计算“点数1朝上”的频率和“点数6朝上”的频率；
(2)小亮说：“若投掷1000次，则出现点数4朝上的次数正好是200次”，小亮的说法_________（填“正确”或“不正确”）；
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
19．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．
（“扫雷”游戏的目的是准确找出所有埋藏在方格内的地雷，用时越少越好．用鼠标点击（左击）方格，如果方格内没有地雷，会出现一个标号，表示与这个方格相邻的方格内，有与标号相同个数的地雷，然后根据标号判断下一步点击的区域；如果方格内有地雷，地雷就会爆炸，游戏失败．）
小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．下一步应该点击A区域还是B区域？
20．将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒子中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
21．牛牛元旦那天和爸爸、妈妈一起回老家看望爷爷、奶奶．因为期末考试将至，他把书包也带了去，准备抽空看看书．书包内有语文、数学、英语、物理四本课本．他想通过实验的方法了解从书包中任意取出一本书，刚好是数学课本的机会有多大．于是他把四本课本的顺序打乱后，闭上眼睛从书包中任取一本书，记录结果后将书放回书包后，再重复上面的做法，得到了下表中的数据
取书次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
取中数学课本的频数 8 22 29 42 51 59 70 81 89 102
取中数学课本的频率
(1)请根据表中提供的数据，求出取中数学课本的频率（精确到；
(2)根据统计表在图中画出折线统计图；
(3)从统计图中你发现了什么？
(4)你还能用别的替代物进行模拟实验吗？请说出一种方法．
22．某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率
(1)计算进球频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
23．新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
(2)若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
24．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况
（1）从该企业的员工中随机抽取1人，求该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率．
（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下
套餐名称 月套餐费(单位：元) 月套餐流量(单位：M)
A 20 700
B 30 1000
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以人均所需费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
《第六章概率的进一步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C C B D B C C
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查用频率估计概率．观察数据可知，随着射击次数的增加，“射中10环”的频率逐渐稳定在0.70附近，因此可用0.70作为概率的估计值．
【详解】解：根据表格数据，当射击次数为300次时，频率为0.70；随着次数增加到500次、1000次时，频率仍稳定在0.70左右，虽然400次时频率为0.71，800次时为0.69，但整体波动较小，且最终1000次的结果回归0.70．
这表明频率围绕0.70上下波动并趋于稳定，故估计概率为0.70．
故选C．
3．A
【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平．
看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择．
【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平；
B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平；
C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平；
D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平．
故选：A．
4．C
【分析】通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率．
【详解】所有可能出现的情况列举如下：
；；；
；；
；
共10种情况，
符合条件的情况有：；；；共3种情况；
小球上的数字都是奇数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单概率的求解方法，通过列举法列举出等可能的情况是解决本题的关键．
5．C
【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为．
6．B
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种，
则灯泡发光的概率为，
故选：B．
7．D
【分析】根据频率的定义即可解答．
【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次，
则数字0和2的频率相同，均为，
数字3和4的频率相同，均为．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键．
8．B
【分析】根据白球的概率可估计红球的概率，即可求解．
【详解】解：红球的个数为：（个），
故选：B．
【点睛】本题考查用频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率稳定在概率附近．
9．C
【分析】通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，说明摸出红球的概率为0.4，由此结合概率公式进行计算求解即可．
【详解】解：由题意，摸出红球的概率为0.4，
∴袋子中红球的个数最有可能是（个），
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握利用频率估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，再根据概率公式计算n的值．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：C．
11．C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
12．B
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴估计口袋中白球大约有15个．
故选：B
13．5.4
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案．
【详解】解：的面积约为，
故答案为：．
14．2
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量．
【详解】解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球，
∴摸到红球的概率为，
设盒子中有x个红球，则，
解得，
经检验，是该方程的解．
∴估计盒子中的红球有2个．
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次，
∴“水”字出现的频率为，
故答案为：．
16．
【分析】根据口袋中有个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，口袋中有个黑球，
∴设有个红球，
∴，解得，，
经检验是分式方程的解，
∴口袋中红球约有个．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
17．树状图
【解析】略
18．(1)“点数1朝上”的频率0.16；“点数6朝上”的频率0.13
(2)不正确
(3)
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为：；
“6点朝上”的频率为；
（2）解：小亮的判断依据是：（次），此依据是错误的；
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近；
所以小亮的判断是错误的．
故答案为：不正确；
（3）解：任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中不小于4一共有3种情况，
∴．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
19．第二步应该点击B区域，理由见解析
【分析】下一步应该怎样走取决于点击哪部分遇到地雷的概率小，只要分别计算点击两区域内的任一方格遇到地雷的概率并加以比较就可以了．
【详解】解：A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各埋藏有1颗地雷．因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率是．
B区域方格数为．其中有地雷的方格数为．因此，点击B区域的任一方格，遇到地雷的概率是．
由于，即点击A区域遇到地雷的可能性大于点击B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该点击B区域．
【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键在于能够准确求出A区域和B区域遇到雷的概率．
20．
【分析】本题主要考查了用树状图法求概率以及轴对称图形的概念，熟练掌握树状图法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过画树状图列出所有摸取两个盒子的可能结果，再从中找出拼成轴对称图形的结果数，最后根据概率公式计算概率．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中拼成的图形是轴对称图形的结果有A和C，C和A共2种，
所以（拼成的图形是轴对称图形）．
21．(1)0.250
(2)见解析
(3)见解析
(4)能，用扑克牌，每一种只取一张，即能替代
【分析】（1）利用频数÷次数计算即可．
（2）利用（1）的数据画图即可．
（3）用频率估计概率即可．
（4）利用常见事物替代即可．
【详解】（1）解：；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
（2）统计图如图
（3）解：取中数学课本的频率随着取书次数的增加，越来越接近0.25
（4）能，用扑克牌，每一种只取一张，即能替代．
【点睛】本题主要考查利用频率估算概率的方法，按照步骤解题即可．
22．(1)见解析
(2)0.75
【分析】本题考查利用频率估计概率：
（1）利用进球次数除以投篮次数，进行求解即可；
（2）利用频率估算概率即可．
【详解】（1）解：利用进球次数除以投篮次数，填表如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率 0.75 0.8 0.75 0.78 0.7 0.75 0.75
（2）由表格可知：进球的概率是0.75．
23．(1)
(2)摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，利用概率公式即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，即可得求出概率．
【详解】（1）解：∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
（2）解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
24．(1)，（2）订购A套餐更经济．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据平均数的计算公式先分别求出A套餐人均所需费用和B套餐人均所需费用，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：(1)由题意得，样本容量为35+25+22+8+8+2=100，
样本中月平均使用流量不超过900M的频数为：100-2-8＝90，
则该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率是；
(2)A套餐人均所需费用为：=28（元），
B套餐人均所需费用为：（元），
∵28＜30.2，
∴该企业订购A套餐更经济．
【点睛】本题考查了概率的知识和频数（率）分布直方图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比,解题关键是准确从图表中获得信息，综合运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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