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第三章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．所有矩形都是相似的
B．若线段，，则
C．菱形的对角线互相垂直
D．四条长度依次为，，，的线段是成比例线段
4．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．8
5．下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（ ）
A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，，
6．如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是（　　）

A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
7．下列说法中正确的有（ ）
位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似．
A． B． C． D．
8．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知线段a是线段b、c的比例中项，，则( )
A．1 B．2 C．8 D．
11．如图，，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．7
12．下列选项中属于位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知三条线段的长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段是成比例线段，则这条新线段的长度是_______．
14．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为，O为旋转相似中心，k为相似比，为旋转角．如图，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变化得到，则长________．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝_____．
16．如图：中，是AB边上一点（与AB不重合），过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有____条．
17．图中的两个四边形相似，则______，______．
三、解答题
18．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点和点，观察者在点．适当调整，使得与都与河岸垂直．此时与相交于点，若测得，，请利用这些数据计算河的宽度．

19．如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成，熊猫的身体画成，与的直径的比按照黄金比画就，若的直径为4，请计算的周长．
20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的图形；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出缩小后的图形．
(3)填空：直接写出点的坐标_____；与的周长比是_____；与的面积比是_____．
21．如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．

(1)画出以点为位似中心的位似图形；
(2)与的面积比是_____________．
22．皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动．
课题 测量皇帝手植柏的高度
示意图
测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上．
测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内．
请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度．
23．如下图，在和中，．
(1)判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
(2)在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由．
24．如图，是等腰直角三角形，，点D，E在斜边上，连接，若，求的度数．
《第三章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B C D A D A C
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．D
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【详解】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念．解题关键是明确在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．
3．A
【分析】根据相似多边形的判定定理、菱形的性质、成比例线段的概念判断即可．
【详解】解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，
∴所有矩形不一定是相似的，本选项说法不正确，符合题意；
B、若线段，，则，本选项说法正确，不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴四条长度依次为，，，的线段是成比例线段，本选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的判定、成比例线段、菱形的性质，掌握相关的定理是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】解：线段，，线段是和的比例中项，
，
，
，
（舍去负值），
故选：B．
5．C
【详解】解：A．，成比例；
B．，成比例；
C．，不成比例；
D．，成比例．
故选：C．
6．D
【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，

∵以点为位似中心，点D是点A的对应点，
∴位似比为，
∴
∴则点B的对应点是N，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断，解题的关键是掌握相似三角形，相似多边形的定义和性质．
【详解】解：位似图形都相似，故正确；
两个等腰三角形不一定相似，故错误；
两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，故错误；
若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形不一定相似，故错误；
综上可知：正确，
故选：．
8．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合题意；
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合题意；
如图3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合题意；
如图4，
∵，
∴，，
∴，
假设，
∵，
∴，与已知条件不符，
∴与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：∵在和中，，
∴当时，不能说明和相似，符合题意，
当时，能说明和相似，不符合题意，
当时，能说明和相似，不符合题意，
当时，能说明和相似，不符合题意，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了比例线段，即，即，则称线段a是线段b、c的比例中项；根据比例中项的含义可得c的值．
【详解】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴，
∴，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
即，
解得：，
故选：A．
12．B
【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．
根据位似图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意；
B、属于位似图形，故本选项符合题意；
C、不属于位似图形，故本选项不符合题意；
D、不属于位似图形，故本选项不符合题意；
故选：B
13．1或9或16
【分析】本题主要考查比例线段，分类讨论是解题的关键.
设这条线段为x，分3种情况进行计算即可.
【详解】解：设添加的新线段的长为x，则分以下三种情况讨论：
①当时，解得；
②当时，解得．经检验，是原分式方程的根；
③当时，解得．经检验，是原分式方程的根．
14．2
【分析】已知中旋转相似变换得到，可推出，，再利用勾股定理可求出的值．
【详解】解：∵是边长为的等边三角形，旋转相似变换得到，
∴，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理．解答该题的关键是弄清楚所表达的含义，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角．
15．．
【分析】如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，设DG＝x，证明△ACD∽△HBD，根据相似三角形的性质与判定，进而得出比例式求解即可得AC．
【详解】如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，
设DG＝x，
∵AC∥BH，
∴∠CAD＝∠H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠H，
∴AB＝BH＝15，
∵BG⊥AH，
∴AG＝GH＝7+x，
∴DH＝7+2x，
∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，
∴△ACD∽△HBD，
∴，即，
∴AC，
∵∠CAD＝∠H，
∴cos∠CAD＝cos∠H，
∴，即，
解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，
∴AC．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，添加辅助线，证明△ACD∽△HBD是解题的关键．
16．4
【分析】根据相似三角形的判定条件画出对应的图形进行求解即可．
【详解】解：如图所示，当直线时，此时△APE∽△ABC，符合题意；
如图所示，当直线时，此时△BPF∽△BAC，符合题意；
如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意；
如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意；
∴一共有四条直线满足题意，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
17．
【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形内角和定理，由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以，，则，，然后通过多边形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以，，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：，．
18．
【分析】证明，得，求得．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：河的宽度为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，判定相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键．
19．
【分析】先利用黄金分割的定义求出的直径，然后再利用圆的周长公式，进行计算即可解答．
【详解】解：与的直径的比按照黄金比画，的直径为4，
的直径，
的周长，
的周长为．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．
20．(1)
解：即为所求；
(2)
解：如图，即为所求；
(3)，，
【分析】（1）分别作出点关于轴对称的，再顺次连接即可；
（2）将的横纵坐标都除以得到点的坐标，再描点连接即可；
（3）根据坐标系直接得到点的坐标，再根据位似图形的周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由图可得，
∵与是关于原点位似，位似比为，
∴与的周长比是；与的面积比是，
故答案为：，，．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解；
（2）根据面积比等于相似比的平方，相似比等于位似比，即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求．

（2）与的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键．
22．19米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化成几何问题成为解题的关键．
根据垂直的定义可得，再结合可证明可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：，
．
又，
，
，
，
．
，
．
又，
，
，
，
．
答：皇帝手植柏的高度为19米．
23．(1)不相似，理由见解析
(2)能，证明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由题意可得，根据两个三角形对应边的比值是否相等即可判断；
（2）作和，则；根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得．
【详解】（1）解：不相似，理由如下：
，
，
，
，
与不相似．
（2）（2）能作辅助线进行分割．证明如下：
如图，作，交于点；作，交于点，
则．
，
．
，
，
．
故能作辅助线进行分割．
24．
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明三角形相似．
根据等腰直角三角形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴．
∵，
，
又，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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