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第43讲 空间几何体的切接球问题 · 分类练习（解析卷）
考点一：多面体的外接球 1
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法） 1
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面） 2
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法） 3
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型） 4
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题） 5
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径） 6
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系） 7
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球 9
考点二：旋转体的外接球与切接问题 11
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用） 11
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系） 12
考点三：多面体的内切球与棱切球 13
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质） 13
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法） 14
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离） 15
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题 17
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值） 17
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配） 18
答案速查表
1 2 3 4 5
A ABD D D C
6 7 8 9 10
B A A C
11 12 13 14 15
B B BC D
16 17 18 19 20
（1）见解析 （2）① ② B B
21 22 23 24 25
B ， ACD D
26 27 28 29 30
ABD C D B
考点一：多面体的外接球
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法）
1.（2026·河南百师联盟·联考）在长方体 中，，，现以 为球心，以 为半径作球 ，则球 的球面与该长方体的表面相交所得的曲线的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，长方体 的体对角线长为 ，所以球 与以 为顶点的三个面均有交线.因为 ，所以在面 内的交线是以点 为圆心， 为半径，圆心角为 的弧，弧长为 .同理，在面 内的交线长为 .在面 内的交线是以点 为圆心， 为半径，圆心角为 的弧，弧长为 .因为 ，所以球 与面 和面 无交线.在面 中，设以点 为圆心， 为半径的圆分别交 , 于 , 两点，则 ，且 ，所以 ，所以 ，所以 所对的弧长为 .综上，曲线的长为 .故选 A.
【点拨】求解球面与多面体表面的截痕长时，关键在于将问题转化为球心到各个面的距离，进而求出截面圆圆心与半径，逐面计算弧长并求和.
2.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知在长方体 中，，，点 为 的中点， 为底面 （含边界）内动点，且 平面 ，长方体 的外接球的球心为 ，则下列选项正确的是（　　）
A. 球 的表面积为
B. 动点 的轨迹长度为
C. 异面直线 与 所成角的正切值的取值范围是
D. 三棱锥 的外接球球心为 ，则
【答案】ABD
【解析】对于 A，球 的半径 ，所以表面积 ，A 正确.对于 B，取 中点 ，取 中点 ，易证平面 平面 ，故轨迹线段长度为 ，B 正确.对于 D，三棱锥 的外接球球心 与长方体外接球球心 的相对位置固定，通过建立空间直角坐标系可求得 ，D 正确.故选 ABD.
【点拨】长方体外接球直径即为其体对角线长，利用补形法与坐标法可快速定位外接球球心位置.
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面）
3.（2025·河南·联考）棱长均为 的正三棱柱 的各个顶点都在球 的球面上，则球 的体积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为 ，则正三棱柱 的外接球 的半径为 ，故球 的体积为 .故选 D.
【点拨】直棱柱外接球半径公式为 ，其中 为底面外接圆半径， 为棱柱高.
4.（2026·河北NT名校·检测）在直四棱柱 中，底面 为菱形，.若该直四棱柱的体积为 ，则以 为球心，表面积为 的球面与侧面 的交线长度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，设 ，则 ，解得 .如图，
取 的中点 ，连接 .因为 是边长为 的正三角形，所以 ，且 .设以 为球心的球的半径为 ，则该球的表面积为 ，解得 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .又因为 ，， 平面 ，所以 平面 .所以球面被平面 截得的圆的半径为 .设在侧面 中，以 为圆心， 为半径的圆弧与棱 的交点分别为 ，即为所求的交线.因为 ，，所以 ，则 ，同理得 ，所以 .又因为 ，所以 的长度为 ，故选 D.
【点拨】先求出球心到截面的垂直距离，再应用勾股定理计算截面圆半径，最后结合几何关系求出圆心角与弧长.
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法）
5.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知三棱锥 的外接球 的半径为 ，底面 是边长为 的正三角形，，则该三棱锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 的外接圆半径 ，又三棱锥 的外接球半径 ，设该三棱锥的高为 ，所以 ，即 ，得 ，所以三棱锥的体积 ，故选 C.
【点拨】正棱锥顶点的投影为底面外接圆圆心，高、底面外接圆半径与球半径构成直角三角形模型.
6.（2026·广东·检测）已知高为 的正四棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，若球 被平面 所截得的截面面积为 ，则四棱锥 的体积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由球 截平面 所得的截面面积为 ，可得截面圆半径为 ，正方形 的边长为 .设球 的半径为 ，则 到平面 的距离 ，所以 ，解得 ，所以四棱锥 的体积为 .故选 B.
【点拨】利用截面圆半径与球心距列出关于球半径的二次方程求解，进而求得球心到底面的距离.
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型）
7.（2025·河北沧州运东五校·二模）三棱锥 中，底面是边长为 的正三角形，，，直线 与 所成角为 ，则三棱锥 外接球表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，因为 为等边三角形，所以 ，又 ，，且 ，所以 ，所以 .取 的中点 ，易得 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，，，.令 ，所以 ，.因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，.因为直线 与 所成角为 ，所以 ，解得 ，即 .如图， 为外接球的球心， 为等边三角形的重心，设点 在平面 内的投影为 ，作 ，所以 ，，，，.所以在 中，，，.所以在 中，，解得 .所以，三棱锥 外接球表面积为 ，故选 A.
【点拨】利用线面垂直建立直角坐标系求出顶点坐标，再根据球心到各顶点距离相等解出球半径.
8.（2025·江西九师联盟·检测）已知点 都在半径为 的球面上，且 是边长为 的正三角形，则三棱锥 体积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 是边长为 的正三角形，所以 的外接圆半径 ，所以球心到平面 的距离为 ，所以三棱锥 体积的最大值为 .
【点拨】当顶点 到底面 的距离最大（即 、球心 、底面中心三点共线）时，棱锥体积取得最大值.
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题）
9.（2025·广东深圳高级中学·检测）在三棱锥 中，，，平面 平面 ，则三棱锥 外接球表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在 中，，外接圆半径 .在 中，，，得 ，斜边 中点为圆心，外接圆半径 .因为平面 平面 ，两面交线为 ，公共弦长 .根据面面垂直外接球半径公式 ，得 .所以外接球表面积为 .故选 A.
【点拨】两平面垂直时，外接球半径满足 ，其中 为两面外接圆半径， 为交线长.
10.（2024·广东华南师大附中·模拟）将一副三角板拼接成平面四边形 （如图），，将 沿 折起，使得面 面 ，若三棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 中，，，，所以 ， 中，，，所以 的外接圆半径 ， 的外接圆半径 .因为面 面 ，交线为 ，由二面角模型外接球半径公式 .所以球 的表面积为 .故选 C.
【点拨】折起问题中，注意确定折起后的二面角，利用直角三角形或弦长公式求得各自外接圆半径.
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径）
11.（2025·广东上进联盟·联考）已知 为等腰直角三角形，， 为斜边 上一动点，将 沿 折起得到三棱锥 ， 的对应点为 ，且二面角 为 ，当 最小时，三棱锥 的外接球半径为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ，则 .过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，，.作 为 在平面 上的投影，连接 ，由于二面角大小为 ，故 ，，.当 时， 有最小值 ，此时 平分 ， 重合且为 中点，此时不难计算得外接球半径为 ，故选 B.
【点拨】利用余弦定理或投影法建立目标线段长关于变角的函数关系，求得最值点处的几何构型后再求球半径.
12.（2026·湖南·联考）如图，在平行四边形 中，已知 ，，，现将 沿 折起，得到三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】如图，
过 作 ，且 ，过 作 ，且 ，连接 ，根据题意可知 ，，由题意知 ，，，所以 ，又 是平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，所以三棱柱 为直三棱柱.则三棱锥 与直三棱柱 的外接球相同，设其半径为 .由 ，知 ，设 的外接圆半径为 ，则 ，求得 .设 ，则 ，在 中，设 ，，则 ，，代入 ，解得 或 （舍），.
【点拨】通过补形为直三棱柱，将三棱锥外接球转换为直三棱柱外接球，利用柱体外接球模型建立方程求解.
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系）
13.（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为 ，该几何体的高为 ，则该几何体外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】建立如图所示坐标系，
设下底面正方形 的中心为坐标原点 ，因为下底面边长为 ，几何体的高为 ，所以 ，，，，，，，.设球心 ，外接球半径为 .所以 ，，则 ，解得 .所以 .外接球表面积 .故选 B.
【点拨】对称性强的几何体建系后，设球心坐标为未知数，由球心到顶点的距离相等列方程求解.
14.（2026·广东江门·二模）（多选）若正方体 外接球的球心为 ，且 , 分别为棱 , 的中点，则（　　）
A. B. 二面角 的正切值为
C. 平面 D. 为四面体 外接球的球心
【答案】BC
【解析】设正方体 棱长为 ，以 为原点建立空间直角坐标系.
各点坐标为 ，，，，，，，，.可得 ，，，A 错误.，.设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 .同理可得平面 的一个法向量 .设二面角 对应的平面角为 ，则 ，所以 ，则 .由题可知 为钝角，所以 ，B 正确.由题意得 ，，，而 平面 ， 平面 ， 平面 ，C 正确.由题意得 ，，，，因为 ，，所以 到四面体 各顶点距离不全相等， 不是四面体外接球球心，D 错误.故选 BC.
【点拨】建系后将线面平行、二面角及外接球球心验证转化为向量坐标运算，逐一精确核算.
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球
15.（2026·河北沧州八县·联考）已知正四面体 的棱长为 ，球 与平面 相切于 的中心，且球 与正四面体的三条侧棱 均相切，则正四面体 的三个侧面 截球 的截痕长之和为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由题意知球心 位于正四面体 的高上，球 和平面 的切点为底面 的中心 ，连接 并延长交 的中点 ，且 ，.作 ，则得 均为球 的半径，可设为 ，且易知 ，得 ，解得 ，则 .过点 作 垂足为 ，由 可解得 .设平面 截球 所得截面圆半径为 ，得 ，.所以正四面体 三个侧面 截球 的截痕长度共为 .故选 D.
【点拨】利用正四面体的对称性找到球心位置，通过相似三角形计算球半径以及球心到各截面的距离.
16.（2026·湖北楚天协作体·联考）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，其中 ，，，.
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 若点 在同一球面上，设该球面的球心为 .
① 求球 的表面积；
② 求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1） 证明见解析 （2） ① ②
【解析】（1） 因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 ，，所以 .又 平面 ，，所以 平面 .又 平面 ，所以平面 平面 .
（2） ① 由（1）知 两两垂直.建立空间直角坐标系，如图所示.
则 , , , , .若 在同一个球面上，则 .设球心 的坐标为 ，有
解得 ，， 半径 .所以球的表面积 .
② 设平面 的一个法向量为 ，所以 ，所以 ，取 ，则 ，所以 .又 .设直线 与平面 所成角为 ，则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点拨】通过建立空间直角坐标系求得球心坐标，进而求得球半径，再应用法向量求线面角.
考点二：旋转体的外接球与切接问题
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用）
17.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球 的球面上，则该圆锥与球 的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该圆锥的底面半径为 ，因为该圆锥的轴截面为直角三角形，所以该圆锥的高为 ，则该圆锥的体积 .设球 的半径为 ，则 ，解得 ，则球 的体积为 .所以该圆锥与球 的体积之比为 .故选 B.
【点拨】画出旋转体的轴截面，在轴截面直角三角形中利用勾股定理确定圆锥高与球半径的关系.
18.（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设球的半径为 ，则球的体积为：，球的表面积为：，因为球的体积与其表面积的数值相等，所以 ，解得 .设圆柱底面半径为 ，作球的内接圆柱的轴截面图，如图，
由题意可知 ，解得 ，所以圆柱的侧面积为 .故答案为：.
【点拨】先由体积与表面积数值相等求出球半径，再在内接圆柱的轴截面正方形中利用勾股定理求得底面半径.
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系）
19.（2026·浙江七校联盟·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为 和 ，球 与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球 的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径 ，下底面半径 .球 与上、下底面及侧面均相切.作圆台及其内切球的轴截面，轴截面为等腰梯形，内切圆与梯形的上下底及两腰均相切.设球的半径为 ，则圆台的高 .等腰梯形的上底长为 ，下底长为 ，腰长 .因为圆内切于等腰梯形，所以两腰之和等于两底之和，即 ，得 .在轴截面中，过上底端点作下底的垂线，直角三角形的直角边分别为 ，，斜边为 .由勾股定理，.所以球 的表面积 .故选 B.
【点拨】圆台内切球的轴截面满足切线长定理，即梯形腰长等于上下底半径之和，由直角三角形解出球半径.
20.（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为 ，表面积为 .若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 .则圆锥的轴截面为边长为 的等边三角形.沿圆锥内三个球的球心的截面如图，
则 为半径为 的等边三角形，根据圆锥的性质易知截面圆的圆心 为 的外心，所以 .沿 所在轴截面如图，
易知 ，所以 .所以 ，解得 .
【点拨】多球相切模型中，结合平面的对称截面与轴截面，分别利用外心性质及切线三角函数关系建立关系式求解.
考点三：多面体的内切球与棱切球
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质）
21.（2026·浙江强基联盟·二模）已知正三棱柱 存在内切球，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正三棱柱底面 的边长为 ，所以 内切圆的半径 ，因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高 .取 中点 ，连接 ，易证 平面 ，所以 为所求角.在 中，，，于是 ，所以 .故选 B.
【点拨】正三棱柱内切球直径既等于底面内切圆直径，也等于棱柱高，据此可确定高与底面边长的比例.
22.（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为 的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为＿＿＿＿＿＿；如果一个半径为 的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】，
【解析】正四面体棱长 .外接球半径 .外接球体积 .小球在正四面体容器内移动时，由于角部的限制，小球无法到达顶点附近的区域.计算得每个侧面顶角处小球切点截去不接触面积，四个面上永远无法接触到的内壁总面积为 .
【点拨】正四面体外接球半径为 ；小球在容器角落受限无法接触壁面，需根据二面角几何切点位置求解.
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法）
23.（2026·浙江稽阳联谊·联考）（多选）已知四面体 的内切球球心为 ，棱 的中点分别为 ，若 三点共线，则（　　）
A. 点到 的距离等于 点到 的距离
B. 无法确定 的面积大小关系
C. ，且
D. 四面体 的外接球球心恒在直线 上
【答案】ACD
【解析】由于 为内切球球心，所以 到面 和面 距离相等.又由于 在 上，所以 到面 和面 的距离也相等.因为 到面 的距离为 到面 距离的 倍， 到面 距离是 到面 距离的 倍，所以 到面 的距离 与 到面 距离 相等，即 .又因为 ，所以 .因为 是两三角形的公共边，所以 、 到 的距离相等.同理 、 到 的距离也相等，A 正确，B 错误.下证 为 、 的公垂线.设 在 上的射影分别为 .由 ，故可以认为 是在以 为轴的圆柱面上.通过平分线段构造可知 为 和 的公垂线，C 正确.由对称性可得 ，即外接球球心 在直线 上，D 正确.故选 ACD.
【点拨】利用等体积法与内切球球心到各面距离相等，推导出各侧面面积相等及公垂线的对称性质.
24.（2026·陕西顶尖计划·检测）如图，封闭的圆台形容器（容器壁厚度忽略不计）的两个底面半径分别为 ，母线长为 ，若该容器内有一个任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由正方体可以任意转动，可知最大的正方体是圆台内切球的内接正方体，作出圆台的轴截面，如图1，过点 作 ，垂足为 ，易得圆台的高为 ，假设圆台存在内切球 ，则球心 为圆台两底面圆心连线的中点，且球面与圆台的侧面相切，根据求得的圆台的高可知，内切球的半径 ，下面判断球面与圆台的侧面是不是相切.如图2，连接 ，作 ，垂足为 ，则 , ，所以 ，所以 ，即 为直角三角形，所以 ，解得 ，所以圆台存在内切球，且其半径为 .设正方体的棱长为 ，由上面的分析可知，最大正方体的体对角线长为 ，解得 .
【点拨】正方体在容器内能任意转动，其轨迹覆盖区域为内接球；求出圆台内切球半径后，由正方体体对角线等于球直径求解.
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离）
25.（2025·河北衡水中学·一模）在正三棱锥 中，，，若半径为 的球 与三棱锥 的六条棱均相切，则 （　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由对称性，球 切底面三边于中点，切侧棱于距顶点 距离为 处.设底面中心为 ，正三棱锥高 ，底面中心到边中点距离为 .设 ，球半径 .球心 到侧棱切点 的距离也为 .利用平面几何关系解得 .所以 .故选 D.
【点拨】棱切球问题中，球心到各棱切点的距离均为球半径，应用切线长定理先确定切点位置再建立勾股方程.
26.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为 的正八面体 ．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（　　）
A. 该正八面体的外接球的体积为
B. 平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C. 甲能构成正三角形的概率为
D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为
【答案】ABD
【解析】A：由棱长为 ，得正八面体上半部分的斜高为 ，高为 ，则正八面体的体积为 .则正八面体的外接球的球心为 ，半径为 ，所以外接球的体积为 ，故 A 正确；
B：由于 到平面 的距离等于 到平面 的距离，在 中，过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 .由 ，得 ，平面 截正八面体的外接球所得截面是圆，半径 ，所以所得截面的面积为 ，故 B 正确；
C：甲随机选择的情况有 种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有 种，甲构成正三角形的概率为 ，故 C 错误；
D：乙随机选择的情况有 种，乙构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有 种，概率为 ；又甲能构成正三角形的概率为 ，所以甲与乙均能构成正三角形的概率为 ，故 D 正确.故选 ABD.
【点拨】正八面体外接球球心为其中心，截面圆半径由球心到截面距离与球半径结合勾股定理确定.
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值）
27.（2025·江苏苏锡常镇·一模）已知一圆柱内接于半径为 的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设球半径为 ，圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，如图，
则有 ，即 ，整理得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，此时圆柱体积 取得最大值 ，所以圆柱的体积最大时， 即 .故选 C.
【点拨】利用均值不等式或导数求内接旋转体体积的最大值，注意等号成立的代数条件.
28.（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱 中，， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点.若直线 平面 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】连接 ，易知平面 平面 ，则点 的轨迹为线段 ，在三棱锥 中，易知 平面 ，要使三棱锥 外接球表面积最小，则只需 外接圆的半径 最小，在 中，由正弦定理得 ，又因为 为定值，只需 最小，显然当 时， 有最小值， 的最小值为 \frac{1}{2}AB=2，所以三棱锥 外接球半径的最小值为 ，三棱锥 外接球表面积的最小值为 .故答案为：.
【点拨】动点的轨迹确定后，将外接球表面积最小值问题转化为底面三角形外接圆半径的最小值问题求解.
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配）
29.（2026·山东九五协作体·一模）将两个球放入棱长为 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】两球位于正方体同一体对角线上且相切时体积和最大.设两球半径为 ，其球心到顶点的距离与球半径之和等于体对角线长 ，即 ，解得 .当其中一球取得最大半径 时，另一球半径 ，两球体积和取得最大值 .故选 D.
【点拨】多球嵌套于正方体中，球心分布在体对角线上，利用端点边界条件求得半径组合的最大值.
30.（2026·湖南九校联盟·联考）在平面直角坐标系中，曲线 绕着 轴旋转一周得到一个旋转体 ，在 中放入 个半径为 的小球，四个小球均与旋转体 的表面以及开口平面相切，则小球半径 的最大值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，两球的对角球心距 ，所以 ，所以 ，解得 ，故选 B.
【点拨】分析多球对称相切时的几何位置关系，将三维几何体截面转化为二维平面直角三角形求小球半径.
第 2 页，共 17 页第43讲 空间几何体的切接球问题 · 分类练习
考点一：多面体的外接球 1
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法） 1
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面） 1
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法） 2
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型） 2
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题） 2
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径） 3
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系） 3
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球 4
考点二：旋转体的外接球与切接问题 4
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用） 4
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系） 4
考点三：多面体的内切球与棱切球 5
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质） 5
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法） 5
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离） 5
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题 6
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值） 6
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配） 6
考点一：多面体的外接球
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法）
1.（2026·河南百师联盟·联考）在长方体 中，，，现以 为球心，以 为半径作球 ，则球 的球面与该长方体的表面相交所得的曲线的长为（　　）
A. B. C. D.
2.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知在长方体 中，，，点 为 的中点， 为底面 （含边界）内动点，且 平面 ，长方体 的外接球的球心为 ，则下列选项正确的是（　　）
A. 球 的表面积为
B. 动点 的轨迹长度为
C. 异面直线 与 所成角的正切值的取值范围是
D. 三棱锥 的外接球球心为 ，则
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面）
3.（2025·河南·联考）棱长均为 的正三棱柱 的各个顶点都在球 的球面上，则球 的体积为（　　）
A. B. C. D.
4.（2026·河北NT名校·检测）在直四棱柱 中，底面 为菱形，.若该直四棱柱的体积为 ，则以 为球心，表面积为 的球面与侧面 的交线长度为（　　）
A. B. C. D.
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法）
5.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知三棱锥 的外接球 的半径为 ，底面 是边长为 的正三角形，，则该三棱锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
6.（2026·广东·检测）已知高为 的正四棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，若球 被平面 所截得的截面面积为 ，则四棱锥 的体积为（　　）
A. B. C. D.
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型）
7.（2025·河北沧州运东五校·二模）三棱锥 中，底面是边长为 的正三角形，，，直线 与 所成角为 ，则三棱锥 外接球表面积为（　　）
A. B. C. D.
8.（2025·江西九师联盟·检测）已知点 都在半径为 的球面上，且 是边长为 的正三角形，则三棱锥 体积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题）
9.（2025·广东深圳高级中学·检测）在三棱锥 中，，，平面 平面 ，则三棱锥 外接球表面积为（　　）
A. B. C. D.
10.（2024·广东华南师大附中·模拟）将一副三角板拼接成平面四边形 （如图），，将 沿 折起，使得面 面 ，若三棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（　　）
A. B. C. D.
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径）
11.（2025·广东上进联盟·联考）已知 为等腰直角三角形，， 为斜边 上一动点，将 沿 折起得到三棱锥 ， 的对应点为 ，且二面角 为 ，当 最小时，三棱锥 的外接球半径为（　　）
A. B. C. D.
12.（2026·湖南·联考）如图，在平行四边形 中，已知 ，，，现将 沿 折起，得到三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系）
13.（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为 ，该几何体的高为 ，则该几何体外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
14.（2026·广东江门·二模）（多选）若正方体 外接球的球心为 ，且 , 分别为棱 , 的中点，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 二面角 的正切值为
C. 平面
D. 为四面体 外接球的球心
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球
15.（2026·河北沧州八县·联考）已知正四面体 的棱长为 ，球 与平面 相切于 的中心，且球 与正四面体的三条侧棱 均相切，则正四面体 的三个侧面 截球 的截痕长之和为（　　）
A. B. C. D.
16.（2026·湖北楚天协作体·联考）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，其中 ，，，.
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 若点 在同一球面上，设该球面的球心为 .
① 求球 的表面积；
② 求直线 与平面 所成角的正弦值.
考点二：旋转体的外接球与切接问题
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用）
17.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球 的球面上，则该圆锥与球 的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
18.（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿.
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系）
19.（2026·浙江七校联盟·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为 和 ，球 与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球 的表面积为（　　）
A. B. C. D.
20.（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为 ，表面积为 .若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ＿＿＿＿＿＿.
考点三：多面体的内切球与棱切球
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质）
21.（2026·浙江强基联盟·二模）已知正三棱柱 存在内切球，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　）
A. B. C. D.
22.（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为 的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为＿＿＿＿＿＿；如果一个半径为 的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为＿＿＿＿＿＿.
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法）
23.（2026·浙江稽阳联谊·联考）（多选）已知四面体 的内切球球心为 ，棱 的中点分别为 ，若 三点共线，则下列说法正确的是（　　）
A. 点到 的距离等于 点到 的距离
B. 无法确定 的面积大小关系
C. ，且
D. 四面体 的外接球球心恒在直线 上
24.（2026·陕西顶尖计划·检测）如图，封闭的圆台形容器（容器壁厚度忽略不计）的两个底面半径分别为 ，母线长为 ，若该容器内有一个任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离）
25.（2025·河北衡水中学·一模）在正三棱锥 中，，，若半径为 的球 与三棱锥 的六条棱均相切，则 （　　）
A. B. C. D.
26.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为 的正八面体 ．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（　　）
A. 该正八面体的外接球的体积为
B. 平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C. 甲能构成正三角形的概率为
D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值）
27.（2025·江苏苏锡常镇·一模）已知一圆柱内接于半径为 的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（　　）
A. B. C. D.
28.（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱 中，， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点.若直线 平面 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配）
29.（2026·山东九五协作体·一模）将两个球放入棱长为 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（　　）
A. B. C. D.
30.（2026·湖南九校联盟·联考）在平面直角坐标系中，曲线 绕着 轴旋转一周得到一个旋转体 ，在 中放入 个半径为 的小球，四个小球均与旋转体 的表面以及开口平面相切，则小球半径 的最大值为（　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第43讲 空间几何体的切接球问题 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 8
考点一：多面体的外接球 8
考点二：旋转体的外接球与切接问题 14
考点三：多面体的内切球与棱切球 16
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题 18
四、高考真题 20
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 — — — —
2025 第17题 解答题 15分 直接考察 四棱锥外接球球心位置证明、球半径与异面直线所成角
2026 — — — —
近三年全国一卷中，切接球问题在2025年以解答题形式综合考查，分值较高，属于空间向量与立体几何解答题的关键考点.
2. 命题角度与特色
（1） 结合多面体（四棱锥）考查外接球球心的确定方法，要求证明球心落在特定平面内，强调空间几何位置关系的逻辑推理与代数坐标化证明；
（2） 将切接球与线面垂直、异面直线所成角（夹角余弦值）深度融合命题，考查数形结合与空间向量计算能力.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握常见多面体（如直棱柱、正棱锥、直角四棱锥等）外接球球心的定位方法，如垂直平分面交线法、底面外心加高线垂线法以及空间直角坐标系法；
（2） 加强切接球与立体几何综合解答题的整合练习，提升在复杂几何图形中利用球心性质推导线段长度及空间角度的综合计算能力.
二、知识清单
1. 球的基本概念与基本性质
（1） 球的定义：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球.定点称为球心，定长称为球半径.
（2） 球的几何性质：
① 用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.
② 球心与截面圆心的连线垂直于截面.
③ 设球的半径为 ，球心到截面的距离为 ，截面圆的半径为 ，则满足关系式：.
④ 球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆，大圆半径等于球半径；被不经过球心的平面截得的圆称为小圆.
（3） 球的表面积与体积公式：
① 球的表面积公式：.
② 球的体积公式：.
2. 正方体与长方体的外接球
（1） 正方体的外接球：球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 （ 为正方体棱长）.
（2） 长方体的外接球：球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 （ 为长方体的长、宽、高）.
（3） 补成长方体模型：
① 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其补形为长方体.
② 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体.
③ 正四面体 可以补形为正方体，且正方体的棱长 .
④ 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内.
3. 正四面体与对棱相等四面体的外接球
（1） 正四面体的外接球：设正四面体 的棱长为 ，将其放入正方体中，如图，则正方体的棱长为 ，正四面体和正方体有相同的外接球.外接球半径为 .
（2） 对棱相等的三棱锥外接球：四面体 中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决.设长方体的长、宽、高分别为 ，如图，则：
三式相加可得 .
四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以 .
4. 柱体与锥体的外接球
（1） 直棱柱外接球：直三棱柱内接于球，同时直棱柱也内接于圆柱，如图1，图2，图3.
① 第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 .
② 第二步：算出小圆 的半径 ，（ 为棱柱高）.
③ 第三步：由勾股定理得 ，即 .
（2） 直棱锥外接球：如图， 平面 .
① 第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必过球心 .
② 第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 （利用正弦定理 ），.
③ 第三步：利用勾股定理求外接球半径： 或 .
5. 正棱锥与侧棱相等模型
（1） 正棱锥外接球半径：（ 为底面外接圆半径， 为棱锥高）.
（2） 侧棱相等模型：如图， 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等.
① 第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线.
② 第二步：算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 .
③ 第三步：由勾股定理 ，解出 .
6. 侧棱为直径模型与共斜边拼接模型
（1） 侧棱为外接球直径模型：若棱锥的一条侧棱垂直于底面，且该侧棱与底面外接圆构成的直角三角形斜边为直径，则找球心方法为：作底面的垂线，构造直角三角形.
（2） 共斜边拼接模型：如图，在四面体 中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的， 为公共的斜边.设点 为公共斜边 的中点，由直角三角形斜边中线性质知 ，故点 就是四面体 外接球的球心，公共斜边 为外接球的一条直径.
7. 垂面模型与二面角模型
（1） 垂面模型：如图1，已知四面体 中，平面 平面 .
① 找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 .
② 分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心 .
③ 过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 .
④ 在四棱锥 中，如图2，底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径.外接球半径满足 .
（2） 二面角模型：已知四面体 中，二面角 大小为 .步骤与垂面模型相同，利用平面几何与二面角性质建立关于球半径的坐标或几何等式.
8. 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的外接球
（1） 球内接圆锥：如图1，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 .如图2与图3，球心可在圆锥内部或外部，均有关系式 ，解得 .
（2） 球内接圆柱：如图，圆柱底面圆半径为 ，高为 ，其外接球半径 满足 .
（3） 球内接圆台：球内接圆台的半径满足 ，其中 分别为圆台的上底面半径、下底面半径和高.
9. 坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的距离相等（）建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标法适用于对称性较强或垂直关系明确的不规则几何体.
10. 多面体与旋转体的内切球
（1） 锥体内切球（等体积法）：若多面体或锥体存在内切球，其半径 满足 ，即 .
（2） 正方体与正棱柱的内切球：
① 正方体内切球：球心为正方体中心，半径为棱长的一半，即 .
② 正三棱柱内切球：存在内切球的充要条件是正三棱柱的高等于底面内切圆的直径，即 （ 为底面边长）.
（3） 正四面体内切球：棱长为 的正四面体，其内切球半径为 ，内切球与外接球半径之比为 ，表面积之比为 ，体积之比为 .
（4） 圆锥与圆台内切球：利用轴截面的切线长定理与直角三角形勾股定理计算切点几何关系.
11. 多面体的棱切球
多面体棱切球指球与多面体的各条棱均相切的球.
（1） 几何性质：从同一个顶点引出的各条棱上的切线长相等.
（2） 求解步骤：找切点、找球心、构造直角三角形，结合棱长几何关系列方程求解半径.正方体的棱切球半径为 .
12. 切接球中的最值模型
切接球中的最值与范围问题通常涉及动点轨迹、截面圆变化或参数变化，常用方法有：
（1） 代数法：利用基本不等式或导数求函数极值；
（2） 几何法：利用垂线段最短、动点在底面上的轨迹线段以及三维空间降维方法求解.
三、典题精讲
考点一：多面体的外接球
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法）
例1.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知在长方体 中，，，点 为 的中点， 为底面 （含边界）内动点，且 平面 ，长方体 的外接球的球心为 ，则下列选项正确的是（　　）
A. 球 的表面积为
B. 动点 的轨迹长度为
C. 异面直线 与 所成角的正切值的取值范围是
D. 三棱锥 的外接球球心为 ，则
【答案】ABD
【思路】审题时注意长方体的三条棱长已知，其外接球直径即为体对角线长，可直接计算半径与表面积.对于线面平行条件，可通过寻找过点 的平行平面确定动点 的轨迹线段.三棱锥的外接球球心可利用直角坐标系或对称性确定其坐标与距离.
【解析】对于 A，球 的半径 ，所以表面积 ，A 正确.对于 B，取 中点 ，取 中点 ，易证平面 平面 ，故轨迹线段长度为 ，B 正确.对于 D，三棱锥 的外接球球心 与长方体外接球球心 的相对位置固定，通过建立空间直角坐标系可求得 ，D 正确.故选 ABD.
【规律】长方体或可补形为长方体的几何体，其外接球的中心为体对角线的交点，球半径为体对角线长的一半，即 .对于多面体内部子棱锥的外接球球心，建系法是定量分析球心坐标的通用手段.
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面）
例2.（2026·河北NT名校·检测）在直四棱柱 中，底面 为菱形，.若该直四棱柱的体积为 ，则以 为球心，表面积为 的球面与侧面 的交线长度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】解决球体与多面体侧面截痕长问题的突破口是先确定球心到目标截面的垂直距离，然后结合球半径求出截面圆的半径，最后通过平面几何关系确定交线弧对应的圆心角大小.
【解析】依题意，，设 ，则 ，解得 .如图，
取 的中点 ，连接 .因为 是边长为 的正三角形，所以 ，且 .设以 为球心的球的半径为 ，则该球的表面积为 ，解得 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .又因为 ，， 平面 ，所以 平面 .所以球面被平面 截得的圆的半径为 .设在侧面 中，以 为圆心， 为半径的圆弧与棱 的交点分别为 ，即为所求的交线.因为 ，，所以 ，则 ，同理得 ，所以 .又因为 ，所以 的长度为 ，故选 D.
【规律】求解截痕长或截面面积的核心步骤为：一求“距”（球心到截面的距离 ）；二求“径”（截面圆半径 ）；三求“角”（截痕在侧面多边形边界内的圆心角 ），进而用 计算弧长.
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法）
例3.（2026·广东·检测）已知高为 的正四棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，若球 被平面 所截得的截面面积为 ，则四棱锥 的体积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】正棱锥的对称轴经过外接球球心.由球截底面所得圆的截面面积可直接求得底面外接圆半径，再利用球心距、底面外接圆半径与球半径满足的勾股关系建立方程求解球半径及球心距.
【解析】由球 截平面 所得的截面面积为 ，可得截面圆半径为 ，正方形 的边长为 .设球 的半径为 ，则 到平面 的距离 ，所以 ，解得 ，所以四棱锥 的体积为 .故选 B.
【规律】正棱锥外接球的球心落在棱锥的高线上.设底面外接圆半径为 ，棱锥高为 ，外接球半径为 ，则球心距为 ，在直角三角形中利用 解出球半径 与球心距.
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型）
例4.（2025·河北沧州运东五校·二模）三棱锥 中，底面是边长为 的正三角形，，，直线 与 所成角为 ，则三棱锥 外接球表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】侧棱全等或底面为对称图形的三棱锥，可以通过寻找两垂直侧面的交线建立空间直角坐标系，将顶点坐标设出后，根据异面直线所成角及勾股定理确定顶点坐标，进而利用球心到各顶点距离相等求解球半径.
【解析】由题意可得，因为 为等边三角形，所以 ，又 ，，且 ，所以 ，所以 .取 的中点 ，易得 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，，，.令 ，所以 ，.因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，.因为直线 与 所成角为 ，所以 ，解得 ，即 .如图， 为外接球的球心， 为等边三角形的重心，设点 在平面 内的投影为 ，作 ，所以 ，，，，.所以在 中，，，.所以在 中，，解得 .所以，三棱锥 外接球表面积为 ，故选 A.
【规律】处理不规则侧棱条件的棱锥外接球时，建系确定各点空间坐标，再通过球心坐标未知量列出方程 ，是破解复杂结构外接球半径最稳妥的代数方法.
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题）
例5.（2024·广东华南师大附中·模拟）将一副三角板拼接成平面四边形 （如图），，将 其沿 折起，使得面 面 ，若三棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】面面垂直模型的外接球半径有通用计算公式.关键是分别计算两个互相垂直的平面三角形各自的外接圆半径 以及公共交线长 ，再直接套用公式求解.
【解析】因为 中，，，，所以 ， 中，，，所以 的外接圆半径 ， 的外接圆半径 .因为面 面 ，交线为 ，由二面角模型外接球半径公式 .所以球 的表面积为 .故选 C.
【规律】两个平面 ，交线为 ，若多面体的顶点分布在这两个平面内，其外接球半径满足 ，其中 分别为两面多边形的外接圆半径， 为公共边长.
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径）
例6.（2026·湖南·联考）如图，在平行四边形 中，已知 ，，，现将 沿 折起，得到三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】当折起的三棱锥含有多个直角结构时，可以通过补形将三棱锥补充为直三棱柱，从而把复杂三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球模型进行求解.
【解析】如图，
过 作 ，且 ，过 作 ，且 ，连接 ，根据题意可知 ，，由题意知 ，，，所以 ，又 是平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，所以三棱柱 为直三棱柱.则三棱锥 与直三棱柱 的外接球相同，设其半径为 .由 ，知 ，设 的外接圆半径为 ，则 ，求得 .设 ，则 ，在 中，设 ，，则 ，，代入 ，解得 或 （舍），.
【规律】对于折起后侧棱与底面多条边垂直的不规则三棱锥，尝试补充平行的棱构造成直三棱柱或长方体，利用柱体外接球公式 计算球半径.
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系）
例7.（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为 ，该几何体的高为 ，则该几何体外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】高度对称但不规则的旋转组合几何体，建立直角坐标系能快速算出各顶点坐标.设出球心在对称轴上的坐标后，利用距离等量关系求解.
【解析】建立如图所示坐标系，
设下底面正方形 的中心为坐标原点 ，因为下底面边长为 ，几何体的高为 ，所以 ，，，，，，，.设球心 ，外接球半径为 .所以 ，，则 ，解得 .所以 .外接球表面积 .故选 B.
【规律】对称性强的几何体建系求解外接球三步法：① 选定几何中心为坐标原点，对称轴为坐标轴；② 写出上、下底面关键顶点的坐标；③ 设球心为 ，列出下底面顶点与上底面顶点到球心距离相等的方程求解 与 .
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球
例8.（2026·河北沧州八县·联考）已知正四面体 的棱长为 ，球 与平面 相切于 的中心，且球 与正四面体的三条侧棱 均相切，则正四面体 的三个侧面 截球 的截痕长之和为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】正四面体中球面截各侧面的截痕问题，需利用几何对称性将球心锁定在高线上.通过相切条件构成的相似直角三角形解出球半径，再求出球心到侧面的距离，最后利用勾股定理算出截面圆半径和弧长.
【解析】如图，
由题意知球心 位于正四面体 的高上，球 和平面 的切点为底面 的中心 ，连接 并延长交 的中点 ，且 ，.作 ，则得 均为球 的半径，可设为 ，且易知 ，得 ，解得 ，则 .过点 作 垂足为 ，由 可解得 .设平面 截球 所得截面圆半径为 ，得 ，.所以正四面体 三个侧面 截球 的截痕长度共为 .故选 D.
【规律】复杂多面体与球切接并伴随截面截痕的问题，解题核心是借助多面体的主轴截面，将三维几何关系转化为平面几何中的三角形相似与勾股定理计算.
【考点一 方法总结】
1. 长方体与正方体外接球体对角线模型：球心为体对角线中点，外接球直径即体对角线长 .当遇到三条侧棱两两垂直、四个面均是直角三角形或对棱相等的四面体时，均可补形为长方体计算.
2. 直棱柱与侧棱垂直底面棱锥模型：外接球球心在底面外心过底面的垂线上.高为 ，底面外接圆半径为 ，则 .
3. 正棱锥与侧棱相等模型：顶点投影为底面外心，球心在棱锥的高线上，设高为 ，底面外接圆半径为 ，由 解得 .
4. 垂面与二面角模型：若两平面垂直或二面角已知，两面外接圆半径分别为 ，公共交线长为 ，两面垂直时 .
5. 坐标法与截痕计算：对称性强或垂直关系明确的不规则多面体可建立空间直角坐标系，设球心 列出距离等式求解；对于截面截痕长问题，按照求球心距 截面圆半径 截面圆心角 弧长 的三步法解决.
考点二：旋转体的外接球与切接问题
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用）
例9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】由球体积与表面积数值相等可先求出球半径 .内接圆柱的轴截面为矩形，且已知其高与底面直径相等（即轴截面为正方形），在正方形中借助体对角线（球直径）即可解出圆柱底面半径与高.
【解析】设球的半径为 ，则球的体积为：，球的表面积为：，因为球的体积与其表面积的数值相等，所以 ，解得 .设圆柱底面半径为 ，作球的内接圆柱的轴截面图，如图，
由题意可知 ，解得 ，所以圆柱的侧面积为 .故答案为：.
【规律】旋转体内接于球的问题，最有效的画图分析方法是画出其“轴截面”.在轴截面图形中，球大圆内接矩形或三角形，球直径即为矩形的对角线，应用勾股定理联立求解.
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系）
例10.（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为 ，表面积为 .若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】多个相同小球嵌套于圆锥内并同时与圆锥底面、侧面及相邻小球相切，解题切入点是分别考察小球球心构成的平面正三角形（侧面对称）与过顶点和小球球心的轴截面（垂直方向）.
【解析】设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 .则圆锥的轴截面为边长为 的等边三角形.沿圆锥内三个球的球心的截面如图，
则 为半径为 的等边三角形，根据圆锥的性质易知截面圆的圆心 为 的外心，所以 .沿 所在轴截面如图，
易知 ，所以 .所以 ，解得 .
【规律】多球相切组合嵌套模型中，球心构成的几何图形（如正三角形）与圆锥底面平行，球心到轴线的距离与球半径成正比；在过轴线的截面上，利用切线长与倾角正切/余切建立线性方程即可快速求出小球半径.
【考点二 方法总结】
1. 旋转体与球切接问题的轴截面法：解决圆柱、圆锥、圆台与球的外接或内切问题，核心是画出其主轴截面，将三维切接转化为平面圆内接或切于多边形的问题.
2. 多球相切与嵌套模型：多个相同小球嵌套于圆锥或柱体内部时，小球球心构成的平面正多边形与底面平行，过顶点与球心的截面上利用切线长与倾角正切关系列方程求解.
考点三：多面体的内切球与棱切球
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质）
例11.（2026·浙江强基联盟·二模）已知正三棱柱 存在内切球，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】正三棱柱存在内切球的关键几何特征是：球直径既等于底面正三角形内切圆的直径，又等于正三棱柱的高.据此可将棱柱的高用底面边长表示，进而求出线面角的三角函数值.
【解析】设正三棱柱底面 的边长为 ，所以 内切圆的半径 ，因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高 .取 中点 ，连接 ，易证 平面 ，所以 为所求角.在 中，，，于是 ，所以 .故选 B.
【规律】柱体存在内切球的充要条件是：底面必须存在内切圆，且柱体的高等于底面内切圆的直径（）.利用该定量关系可直接打通棱柱几何尺寸之间的代数联系.
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法）
例12.（2026·陕西顶尖计划·检测）如图，封闭的圆台形容器（容器壁厚度忽略不计）的两个底面半径分别为 ，母线长为 ，若该容器内有一个任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】正方体在封闭容器内能够“任意转动”的几何本质是：正方体在转动过程中扫过的最大空间为一个球体，即正方体是该球体的内接正方体.问题转化为先判断圆台是否存在内切球并求其半径，再根据正方体体对角线等于球直径求棱长.
【解析】由正方体可以任意转动，可知最大的正方体是圆台内切球的内接正方体，作出圆台的轴截面，如图1，过点 作 ，垂足为 ，易得圆台的高为 ，假设圆台存在内切球 ，则球心 为圆台两底面圆心连线的中点，且球面与圆台的侧面相切，根据求得的圆台的高可知，内切球的半径 ，下面判断球面与圆台的侧面是不是相切.如图2，连接 ，作 ，垂足为 ，则 , ，所以 ，所以 ，即 为直角三角形，所以 ，解得 ，所以圆台存在内切球，且其半径为 .设正方体的棱长为 ，由上面的分析可知，最大正方体的体对角线长为 ，解得 .
【规律】“任意转动多面体”问题可转化为“球内接多面体”模型.求解多面体内切球的通用代数方法是等体积法：.若为圆台，在其轴截面中利用切线长定理与直角三角形相似或勾股定理检验与计算.
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离）
例13.（2025·河北衡水中学·一模）在正三棱锥 中，，，若半径为 的球 与三棱锥 的六条棱均相切，则 （　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】正三棱锥与六条棱均相切的球称为“棱切球”.根据对称性，球切底面三边于中点，切三条侧棱于等距点.利用切线长定理与勾股定理列出球心位置的未知数方程求解.
【解析】由对称性，球 切底面三边于中点，切侧棱于距顶点 距离为 处.设底面中心为 ，正三棱锥高 ，底面中心到边中点距离为 .设 ，球半径 .球心 到侧棱切点 的距离也为 .利用平面几何关系解得 .所以 .故选 D.
【规律】多面体棱切球的核心性质是：从同一个顶点出发引出的各条棱上的切线长相等.在正棱锥中，球心落在棱锥的高线上，通过底面中心到边中点的距离与球心到侧棱切点的距离相等建立关于球心高位置的方程即可.
【考点三 方法总结】
1. 柱体与正多面体内切球关系：柱体存在内切球的充要条件是底面存在内切圆且柱体的高等于底面内切圆直径（）.正四面体内切球与外接球半径之比为 .
2. 锥体内切球等体积法：对任意存在内切球的棱锥或多面体，利用分割体积公式 ，可求得内切球半径 .
3. 棱切球几何性质与求解：多面体棱切球满足从同一顶点出发到各棱切点的切线长相等.球心落在几何体的对称轴上，通过球心到棱中点或切点的距离均为半径构造直角三角形求解.
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值）
例14.（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱 中，， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点.若直线 平面 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】解决线面平行约束下的外接球表面积最值问题，第一步是利用平面平行的性质确定动点 在底面上的几何轨迹线段；第二步是利用直三棱锥外接球半径公式 ，将求 最小值转化为求底面三角形外接圆半径 的最小值；第三步利用正弦定理结合垂线段最短求出 的最小值.
【解析】连接 ，易知平面 平面 ，则点 的轨迹为线段 .在三棱锥 中，易知 平面 ，要使三棱锥 外接球表面积最小，则只需 外接圆的半径 最小.在 中，由正弦定理得 ，又因为 为定值，只需 最小，显然当 时， 有最小值， 的最小值为 .所以三棱锥 外接球半径的最小值为 ，三棱锥 外接球表面积的最小值为 .故答案为：.
【规律】动态几何体外接球最值问题的求解三步曲：① “定轨迹”：利用平行或垂直关系确定动点轨迹；② “降维化”：将空间球半径公式拆解为底面圆半径与高的组合；③ “求极值”：利用正弦定理 或几何垂线段最短求底面外接圆半径的极值.
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配）
例15.（2026·山东九五协作体·一模）将两个球放入棱长为 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】在正方体内放入两个球，要使其体积和最大，两球球心必须位于正方体的最长轴线——体对角线上且两球相切.利用两球半径与顶角空间几何关系建立关于半径的等式，再取边界极大值计算.
【解析】两球位于正方体同一体对角线上且相切时体积和最大.设两球半径为 ，其球心到顶点的距离与球半径之和等于体对角线长 ，即 ，解得 .当其中一球取得最大半径 时，另一球半径 ，两球体积和取得最大值 .故选 D.
【规律】正方体或对称容器内多球相切问题，球心连线必在对称轴（如体对角线）上.利用球心到正方体顶点的距离 与球半径之和等于体对角线长 建立等式，再结合二次/三次函数的端点值求体积极值.
【考点四 方法总结】
1. 动态几何体切接球最值求解策略：首先“定轨迹”，由线面平行或垂直确定动点几何轨迹；其次“降维”，将空间外接球半径公式化简为底面圆半径 与高的组合；最后“求极值”，利用正弦定理或垂线段最短求出最值.
2. 正方体与对称容器多球嵌套极值：多球球心必在容器最长对称轴（如体对角线）上，利用球心到顶点的距离与球半径之和等于体对角线长建立等式，再由代数不等式或端点边界值求体积或表面积极值.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第17题）如图所示的四棱锥 中， 平面 ，，.
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） ，，， 在同一个球面上，设该球面的球心为 .
（i） 证明： 在平面 上；
（ii） 求直线 与直线 所成角的余弦值.
【答案】（1） 证明见解析 （2）（i） 证明见解析 （ii）
【解析】（1） 因为在四棱锥 中， 平面 ，， 平面 ， 平面 ，
所以 ，.
又因为 平面 ， 平面 ，，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）（i） 建立空间直角坐标系如图所示.
因为 ，，，，
所以 ，，，，.
若 在同一个球面上，则 .
在平面 中，
线段 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ，
直线 的垂直平分线 的斜率为 .
所以直线 的方程为 .
当 时，解得 .所以两垂直平分线交点为 .
在立体几何中，点 的坐标为 .
因为 ，，，，
得 .
所以点 在平面 上.
（ii） 由（i）知，
，.
设直线 与直线 所成角为 ，
则 .
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
第 2 页，共 17 页第43讲 空间几何体的切接球问题 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精练 8
考点一：多面体的外接球 8
考点二：旋转体的外接球与切接问题 10
考点三：多面体的内切球与棱切球 11
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题 12
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 — — — —
2025 第17题 解答题 15分 直接考察 四棱锥外接球球心位置证明、球半径与异面直线所成角
2026 — — — —
近三年全国一卷中，切接球问题在2025年以解答题形式综合考查，分值较高，属于空间向量与立体几何解答题的关键考点.
2. 命题角度与特色
（1） 结合多面体（四棱锥）考查外接球球心的确定方法，要求证明球心落在特定平面内，强调空间几何位置关系的逻辑推理与代数坐标化证明；
（2） 将切接球与线面垂直、异面直线所成角（夹角余弦值）深度融合命题，考查数形结合与空间向量计算能力.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握常见多面体（如直棱柱、正棱锥、直角四棱锥等）外接球球心的定位方法，如垂直平分面交线法、底面外心加高线垂线法以及空间直角坐标系法；
（2） 加强切接球与立体几何综合解答题的整合练习，提升在复杂几何图形中利用球心性质推导线段长度及空间角度的综合计算能力.
二、知识清单
1. 球的基本概念与基本性质
（1） 球的定义：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球.定点称为球心，定长称为球半径.
（2） 球的几何性质：
① 用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.
② 球心与截面圆心的连线垂直于截面.
③ 设球的半径为 ，球心到截面的距离为 ，截面圆的半径为 ，则满足关系式：.
④ 球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆，大圆半径等于球半径；被不经过球心的平面截得的圆称为小圆.
（3） 球的表面积与体积公式：
① 球的表面积公式：.
② 球的体积公式：.
2. 正方体与长方体的外接球
（1） 正方体的外接球：球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 （ 为正方体棱长）.
（2） 长方体的外接球：球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 （ 为长方体的长、宽、高）.
（3） 补成长方体模型：
① 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其补形为长方体.
② 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体.
③ 正四面体 可以补形为正方体，且正方体的棱长 .
④ 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内.
3. 正四面体与对棱相等四面体的外接球
（1） 正四面体的外接球：设正四面体 的棱长为 ，将其放入正方体中，如图，则正方体的棱长为 ，正四面体和正方体有相同的外接球.外接球半径为 .
（2） 对棱相等的三棱锥外接球：四面体 中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决.设长方体的长、宽、高分别为 ，如图，则：
三式相加可得 .
四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以 .
4. 柱体与锥体的外接球
（1） 直棱柱外接球：直三棱柱内接于球，同时直棱柱也内接于圆柱，如图1，图2，图3.
① 第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 .
② 第二步：算出小圆 的半径 ，（ 为棱柱高）.
③ 第三步：由勾股定理得 ，即 .
（2） 直棱锥外接球：如图， 平面 .
① 第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必过球心 .
② 第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 （利用正弦定理 ），.
③ 第三步：利用勾股定理求外接球半径： 或 .
5. 正棱锥与侧棱相等模型
（1） 正棱锥外接球半径：（ 为底面外接圆半径， 为棱锥高）.
（2） 侧棱相等模型：如图， 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等.
① 第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线.
② 第二步：算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 .
③ 第三步：由勾股定理 ，解出 .
6. 侧棱为直径模型与共斜边拼接模型
（1） 侧棱为外接球直径模型：若棱锥的一条侧棱垂直于底面，且该侧棱与底面外接圆构成的直角三角形斜边为直径，则找球心方法为：作底面的垂线，构造直角三角形.
（2） 共斜边拼接模型：如图，在四面体 中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的， 为公共的斜边.设点 为公共斜边 的中点，由直角三角形斜边中线性质知 ，故点 就是四面体 外接球的球心，公共斜边 为外接球的一条直径.
7. 垂面模型与二面角模型
（1） 垂面模型：如图1，已知四面体 中，平面 平面 .
① 找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 .
② 分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心 .
③ 过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 .
④ 在四棱锥 中，如图2，底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径.外接球半径满足 .
（2） 二面角模型：已知四面体 中，二面角 大小为 .步骤与垂面模型相同，利用平面几何与二面角性质建立关于球半径的坐标或几何等式.
8. 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的外接球
（1） 球内接圆锥：如图1，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 .如图2与图3，球心可在圆锥内部或外部，均有关系式 ，解得 .
（2） 球内接圆柱：如图，圆柱底面圆半径为 ，高为 ，其外接球半径 满足 .
（3） 球内接圆台：球内接圆台的半径满足 ，其中 分别为圆台的上底面半径、下底面半径和高.
9. 坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的距离相等（）建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标法适用于对称性较强或垂直关系明确的不规则几何体.
10. 多面体与旋转体的内切球
（1） 锥体内切球（等体积法）：若多面体或锥体存在内切球，其半径 满足 ，即 .
（2） 正方体与正棱柱的内切球：
① 正方体内切球：球心为正方体中心，半径为棱长的一半，即 .
② 正三棱柱内切球：存在内切球的充要条件是正三棱柱的高等于底面内切圆的直径，即 （ 为底面边长）.
（3） 正四面体内切球：棱长为 的正四面体，其内切球半径为 ，内切球与外接球半径之比为 ，表面积之比为 ，体积之比为 .
（4） 圆锥与圆台内切球：利用轴截面的切线长定理与直角三角形勾股定理计算切点几何关系.
11. 多面体的棱切球
多面体棱切球指球与多面体的各条棱均相切的球.
（1） 几何性质：从同一个顶点引出的各条棱上的切线长相等.
（2） 求解步骤：找切点、找球心、构造直角三角形，结合棱长几何关系列方程求解半径.正方体的棱切球半径为 .
12. 切接球中的最值模型
切接球中的最值与范围问题通常涉及动点轨迹、截面圆变化或参数变化，常用方法有：
（1） 代数法：利用基本不等式或导数求函数极值；
（2） 几何法：利用垂线段最短、动点在底面上的轨迹线段以及三维空间降维方法求解.
三、典题精练
考点一：多面体的外接球
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法）
例1.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知在长方体 中，，，点 为 的中点， 为底面 （含边界）内动点，且 平面 ，长方体 的外接球的球心为 ，则下列选项正确的是（　　）
A. 球 的表面积为
B. 动点 的轨迹长度为
C. 异面直线 与 所成角的正切值的取值范围是
D. 三棱锥 的外接球球心为 ，则
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面）
例2.（2026·河北NT名校·检测）在直四棱柱 中，底面 为菱形，.若该直四棱柱的体积为 ，则以 为球心，表面积为 的球面与侧面 的交线长度为（　　）
A. B. C. D.
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法）
例3.（2026·广东·检测）已知高为 的正四棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，若球 被平面 所截得的截面面积为 ，则四棱锥 的体积为（　　）
A. B. C. D.
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型）
例4.（2025·河北沧州运东五校·二模）三棱锥 中，底面是边长为 的正三角形，，，直线 与 所成角为 ，则三棱锥 外接球表面积为（　　）
A. B. C. D.
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题）
例5.（2024·广东华南师大附中·模拟）将一副三角板拼接成平面四边形 （如图），，将 其沿 折起，使得面 面 ，若三棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（　　）
A. B. C. D.
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径）
例6.（2026·湖南·联考）如图，在平行四边形 中，已知 ，，，现将 沿 折起，得到三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系）
例7.（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为 ，该几何体的高为 ，则该几何体外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球
例8.（2026·河北沧州八县·联考）已知正四面体 的棱长为 ，球 与平面 相切于 的中心，且球 与正四面体的三条侧棱 均相切，则正四面体 的三个侧面 截球 的截痕长之和为（　　）
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
1. 长方体与正方体外接球体对角线模型：球心为体对角线中点，外接球直径即体对角线长 .当遇到三条侧棱两两垂直、四个面均是直角三角形或对棱相等的四面体时，均可补形为长方体计算.
2. 直棱柱与侧棱垂直底面棱锥模型：外接球球心在底面外心过底面的垂线上.高为 ，底面外接圆半径为 ，则 .
3. 正棱锥与侧棱相等模型：顶点投影为底面外心，球心在棱锥的高线上，设高为 ，底面外接圆半径为 ，由 解得 .
4. 垂面与二面角模型：若两平面垂直或二面角已知，两面外接圆半径分别为 ，公共交线长为 ，两面垂直时 .
5. 坐标法与截痕计算：对称性强或垂直关系明确的不规则多面体可建立空间直角坐标系，设球心 列出距离等式求解；对于截面截痕长问题，按照求球心距 截面圆半径 截面圆心角 弧长 的三步法解决.
考点二：旋转体的外接球与切接问题
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用）
例9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿.
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系）
例10.（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为 ，表面积为 .若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ＿＿＿＿＿＿.
【考点二 方法总结】
1. 旋转体与球切接问题的轴截面法：解决圆柱、圆锥、圆台与球的外接或内切问题，核心是画出其主轴截面，将三维切接转化为平面圆内接或切于多边形的问题.
2. 多球相切与嵌套模型：多个相同小球嵌套于圆锥或柱体内部时，小球球心构成的平面正多边形与底面平行，过顶点与球心的截面上利用切线长与倾角正切关系列方程求解.
考点三：多面体的内切球与棱切球
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质）
例11.（2026·浙江强基联盟·二模）已知正三棱柱 存在内切球，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　）
A. B. C. D.
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法）
例12.（2026·陕西顶尖计划·检测）如图，封闭的圆台形容器（容器壁厚度忽略不计）的两个底面半径分别为 ，母线长为 ，若该容器内有一个任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离）
例13.（2025·河北衡水中学·一模）在正三棱锥 中，，，若半径为 的球 与三棱锥 的六条棱均相切，则 （　　）
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
1. 柱体与正多面体内切球关系：柱体存在内切球的充要条件是底面存在内切圆且柱体的高等于底面内切圆直径（）.正四面体内切球与外接球半径之比为 .
2. 锥体内切球等体积法：对任意存在内切球的棱锥或多面体，利用分割体积公式 ，可求得内切球半径 .
3. 棱切球几何性质与求解：多面体棱切球满足从同一顶点出发到各棱切点的切线长相等.球心落在几何体的对称轴上，通过球心到棱中点或切点的距离均为半径构造直角三角形求解.
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值）
例14.（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱 中，， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点.若直线 平面 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配）
例15.（2026·山东九五协作体·一模）将两个球放入棱长为 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（　　）
A. B. C. D.
【考点四 方法总结】
1. 动态几何体切接球最值求解策略：首先“定轨迹”，由线面平行或垂直确定动点几何轨迹；其次“降维”，将空间外接球半径公式化简为底面圆半径 与高的组合；最后“求极值”，利用正弦定理或垂线段最短求出最值.
2. 正方体与对称容器多球嵌套极值：多球球心必在容器最长对称轴（如体对角线）上，利用球心到顶点的距离与球半径之和等于体对角线长建立等式，再由代数不等式或端点边界值求体积或表面积极值.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第17题）如图所示的四棱锥 中， 平面 ，，.
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） ，，， 在同一个球面上，设该球面的球心为 .
（i） 证明： 在平面 上；
（ii） 求直线 与直线 所成角的余弦值.
第 2 页，共 17 页第43讲 空间几何体的切接球问题 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C B D B A
6 7 8 9 10
D C A ABD ACD
11 12 13 14 15
ABD （1） （2）
16 17 18 19
（1）证明见解析 （2） （3） （1）证明见解析 （2） （1）证明见解析 （2） （1）证明见解析 （2）（i） （ii）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·湖北十堰·一模）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取正四面体各棱中点，
可得平面平面，且，作平面于点，交平面于，则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为，，，，而，因此球的半径，所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为.
【点拨】求正四面体棱中点球（切棱球）的半径，可以利用正四面体的对称性，通过截面图形计算球心位置与半棱长的几何关系求解.
2.（2025·江西“三新”·模拟）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设外接球的半径为，则，解得，则圆锥的底面半径为，当圆锥的高为时，圆锥的体积最大，体积最大为.
【点拨】由外接球体积求出半径后，底面圆半径由勾股定理确定，当圆锥的高取最大值时，圆锥体积取得最大值.
3.（2025·江西稳派上进·联考）已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三棱锥为正三棱锥，且其侧面均为直角三角形，则其各侧面均为等腰直角三角形，设，则，故该三棱锥的体积，又该三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球，故外接球的半径，则球的表面积，则有，解得.则点到平面的距离即为.
【点拨】三棱锥侧棱两两垂直时，可补形为正方体，其外接球与正方体相同，利用体积与表面积相等求出侧棱长即可.
4.（2025·河北沧州·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为.因为，，所以.过作于，设该正四棱台外接球的球心为，则在直线上，，设，则，即，解得.设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.
【点拨】正四棱台的外接球球心在上、下底面中心连线上，利用球心到各顶点的距离等于球半径构造勾股定理方程求解.
5.（2025·江西新余·二模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则，设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，，圆台的侧面积为，解得，则，即，则球的表面积.
【点拨】画出轴截面（等腰梯形内切圆），根据切线长定理得出母线长与底面半径的关系，再由侧面积求出半径及球半径.
6.（2025·江西萍乡实验·一模）在四面体中，平面，，，，若四面体的外接球的表面积为，则四面体的表面积为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设四面体的外接球的半径为，因为外接球的表面积为，所以，解得，因为，，，则，，的外接圆圆心为的中点，由为直角三角形可得外接球球心在过斜边的中点且垂直于平面的直线上，又平面，则有，因为外接球球心到四面体各顶点距离相等，由平面，结合勾股定理可知球心到平面的距离为.即，解得，因为平面，平面，则，，则，同理.因为，所以，即为直角三角形，故四面体的表面积.
【点拨】利用直角三棱锥补形与直角三角形外心性质，由勾股定理求出高，进而计算四个侧面的面积之和.
7.（2025·江西上进·联考）在三棱锥中，平面平面，，若点均在球的表面上，则球的体积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，所以，故为球的直径，故球的半径，所以球的体积为.
【点拨】证明平面得到，从而为球的直径，利用勾股定理求出即得球体积.
8.（2026·河北沧州·一模）一个底面边长和侧棱长均为的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，如图
，，而，，，即，由于到距离，则到距离，设正方形外接圆圆心，则，设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径，，，故外接球表面积为.
【点拨】利用等体积法求出上方空气小三棱柱的尺寸，再由上下底面外接圆圆心连线求球心及半径.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽阜阳·一模）如图，为圆锥的底面圆的直径，是圆弧的中点，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则下列结论正确的是（　　）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥外接球体积为
C. 圆锥侧面展开图的圆心角为
D. 二面角的正切值为
【答案】ABD
【解析】由圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，得圆锥的底面圆半径，高，母线，
对于A，圆锥体积，A正确；
对于B，圆锥的外接球球心在直线上，设球半径为，则球心到圆锥底面距离，由，得，解得，因此该球的体积为，B正确；
对于C，圆锥侧面展开图弧长为，该弧所对圆心角为，C错误；
对于D，取的中点，连接，则，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，因此，为二面角的平面角，所以，D正确.
【点拨】由圆锥轴截面几何性质分别计算体积、外接球半径、展开图圆心角及二面角.
10.（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（　　）
A. 平面平面
B. 存在使得为直角三角形
C. 当为中点时，平面
D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，连接，设交于点，连接，在正四棱锥中，，平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，在正四棱锥中，若为直角三角形，则，由，得，即，而在正方形中，，由于，则，矛盾，所以不存在使得为直角三角形，故B错误；
对于C，当为中点时，连接，由于在正方形中，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故C正确；
对于D，当时，，而，则，在等腰直角中，到的距离为，而到的距离也为，则球的球心位于点，半径为，则球的表面积为，故D正确.
【点拨】分别验证面面垂直、侧面不可能为直角三角形、线面平行及棱切球的球心位置与半径.
11.（2025·广东衡水金卷·联考）三棱锥中，平面平面，其各顶点均在球的表面上，则（　　）
A. B. 点到平面的距离为
C. 二面角的余弦值为 D. 球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，取中点，由可知，由平面，平面平面，平面平面可知平面，于是由平面可得，故，代入数据得，故A正确；
对于B，取上一点使得，记点到平面的距离为，则，故，而，由余弦定理得，故，故，故，故B正确；
对于C，由平面平面，可知平面，由平面，可知，而平面平面，故平面，且平面，故二面角的平面角为，类比的推导过程可知，故，即二面角的余弦值为，故C错误；
对于D，由，为中点可知，故的外心为，由平面可知直线上的点到点的距离相等，故球心在直线上，由平面几何知识可知点在线段上，记，则，故，故球的表面积，故D正确.
【点拨】利用面面垂直性质定理得出平面，推导几何量，求出距离、二面角及外接球半径.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2025·江西上进·检测）已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】如图，
因为点在上，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，所以为球的直径，，由球的体积为，得，因为，过点作于，连接，，则，所以的面积，所以三棱锥的体积为.
【点拨】根据在上得出为球的直径，求出各边长及的面积，利用等体积法求三棱锥体积.
13.（2026·湖北新八校·二模）三棱锥中，与底面所成的线面角相等，二面角的大小也相等，且，则三棱锥的外接球体积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】.
【解析】由题意可知，顶点在底面的射影既是的外心，又是的内心，从而是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥.
设正三棱锥底面正三角形边长为，侧棱.
底面的外接圆半径.
正三棱锥的高.
设外接球半径为，球心在的高线上，有，即，解得.
故外接球体积.
【点拨】射影既是外心又是内心说明底面为正三角形，转化为正三棱锥的外接球计算.
14.（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因，是的中点，则，是矩形，，翻折后，因为线段的中点，则，因，，则，故，取的中点，连接，则，，，，平面平面，平面，平面，在平面的射影为，与平面所成角为，，因和都是直角三角形，则，为等边三角形，取的中点为，连，则，平面平面，平面，是直角三角形，，为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面，设，则，解得，则，三棱锥外接球的表面积.
【点拨】由翻折前后角度与垂直关系求出在底面上的射影，确定底面外心及球心位置，利用勾股定理求外接球表面积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2025·河北·模拟）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，是的中点，且.
（1） 求四棱柱的外接球的表面积；
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 解：取的中点，连接，
底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面，
又平面，，
，，都在平面内，平面，
又平面，， 2 分
，，即，. 4 分
四棱柱的外接球直径就是其体对角线，
外接球半径，
故四棱柱的外接球的表面积. 6 分
（2） 解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
. 8 分
设平面的法向量为，则，
令，得，，
而平面就是平面，其一个法向量是， 11 分
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为. 13 分
【点拨】由线面垂直求出高，体对角线即外接球直径得出表面积；建立坐标系利用向量法求两平面的法向量夹角余弦值.
16.（2026·广东华师附中·检测）如图1所示，是边长为的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示．
（1） 证明：平面平面；
（2） 求三棱锥的外接球的半径；
（3） 求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1） 证明见解析 （2） （3）
【解析】（1） 证明：取的中点为，连接，
由图1中，是边长为的正三角形，可得， 1 分
又由等腰梯形，且，可得，且，
因为，所以，所以， 2 分
因为，且平面，
所以平面， 4 分
因为平面，所以平面平面； 5 分
（2） 解：连接，易得，因为，所以，
所以的外接圆圆心为， 6 分
又平面，所以三棱锥的外接球的球心在直线上， 7 分
如下图，
设外接球半径为，设，则，解得， 8 分
所以. 9 分
（3） 解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为的中点，所以，又因为平面， 10 分
以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
所以， 12 分
设平面的法向量为，则，取，可得，所以， 13 分
设直线与平面所成角为，则. 14 分
所以直线与平面所成角的正弦值为. 15 分
【点拨】由折叠勾股逆定理证明线面垂直与面面垂直；求出底面外心，球心在过外心垂直于底面的直线上；建立空间直角坐标系利用向量法求线面角.
17.（2025·广东大湾区·模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1） 证明：；
（2） 若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值．
【答案】（1） 证明见解析 （2）
【解析】（1） 证明：过作于，过作于，则，所以，又因为，所以， 2 分
在中，由余弦定理得， 3 分
所以，即， 4 分
又因为平面，所以， 5 分
又因为，平面，所以平面， 6 分
又因为平面，所以； 7 分
（2） 解：取的中点，则，，为等边三角形，，即为四边形外接圆的圆心，且半径， 8 分
过作平面的垂线，则，在平面内作的垂直平分线交与点，则，即为四棱锥的外接球的球心， 9 分
且半径，，，，， 12 分
连接，平面，平面，又平面，，为二面角的平面角， 13 分
，二面角的余弦值为. 15 分
【点拨】由底面几何性质推导，结合作高证明平面得到；求出底面外心及球心位置，由外接球表面积求得，找准二面角平面角求其余弦值.
18.（2026·浙江精诚联盟·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为的正三角形，分别为棱的中点，且.
（1） 证明：平面；
（2） 求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1） 证明见解析 （2）
【解析】（1） 证明：因为和均是边长为的正三角形，为的中点，所以，又因为为的中点，所以， 2 分
因为，所以，因为，且平面，所以平面， 4 分
因为平面，所以，因为，所以平面； 6 分
（2） 解：由（1）知平面，所以，所以， 7 分
因为，所以平面，所以，取中点，连接，则三条直线两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 9 分
易得，因为，故， 10 分
得到， 11 分
所以， 12 分
设平面的一个法向量为，则，令，得，所以， 13 分
易知平面的一个法向量为， 14 分
设平面与平面的夹角为，则， 15 分
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱锥中，为上一点，．
（1） 证明：平面平面；
（2） 若，求：
（i） 三棱锥的体积；
（ii） 平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1） 证明见解析 （2） （i） 1 （ii）
【解析】（1） 证明：在中，，，所以，所以， 1 分
又，所以，即， 2 分
又因为，所以平面， 3 分
又平面，所以平面平面； 4 分
（2） （i） 因为，所以，则，所以， 5 分
过点作于，， 6 分
由（1）可知，点到的距离即为点到平面的距离， 7 分
所以三棱锥的体积； 8 分
（ii） 如图，连接，则，，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 9 分
则，又，所以， 10 分
， 11 分
设平面的法向量为，则，令，则，所以， 13 分
设平面的法向量为，则，令，则，所以， 15 分
设平面与平面的夹角为，则， 16 分
所以平面与平面夹角的余弦值为. 17 分
【点拨】由角的关系推出，结合证明线面垂直与面面垂直；求出侧面高求三棱锥体积；建立直角坐标系利用法向量求夹角余弦值.
第 2 页，共 17 页第43讲 空间几何体的切接球问题 · 综合测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·湖北十堰·一模）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（　　）
A. B. C. D.
2.（2025·江西“三新”·模拟）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（　　）
A. B. C. D.
3.（2025·江西稳派上进·联考）已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（　　）
A. B. C. D.
4.（2025·河北沧州·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
5.（2025·江西新余·二模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
6.（2025·江西萍乡实验·一模）在四面体中，平面，，，，若四面体的外接球的表面积为，则四面体的表面积为（　　）
A. B.
C. D.
7.（2025·江西上进·联考）在三棱锥中，平面平面，，若点均在球的表面上，则球的体积为（　　）
A. B. C. D.
8.（2026·河北沧州·一模）一个底面边长和侧棱长均为的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽阜阳·一模）如图，为圆锥的底面圆的直径，是圆弧的中点，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则下列结论正确的是（　　）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥外接球体积为
C. 圆锥侧面展开图的圆心角为
D. 二面角的正切值为
10.（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（　　）
A. 平面平面
B. 存在使得为直角三角形
C. 当为中点时，平面
D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为
11.（2025·广东衡水金卷·联考）三棱锥中，平面平面，其各顶点均在球的表面上，则（　　）
A. B. 点到平面的距离为
C. 二面角的余弦值为 D. 球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2025·江西上进·检测）已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·湖北新八校·二模）三棱锥中，与底面所成的线面角相等，二面角的大小也相等，且，则三棱锥的外接球体积为＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2025·河北·模拟）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，是的中点，且.
（1） 求四棱柱的外接球的表面积；
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
16.（2026·广东华师附中·检测）如图1所示，是边长为的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示．
（1） 证明：平面平面；
（2） 求三棱锥的外接球的半径；
（3） 求直线与平面所成角的正弦值．
17.（2025·广东大湾区·模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1） 证明：；
（2） 若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值．
18.（2026·浙江精诚联盟·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为的正三角形，分别为棱的中点，且.
（1） 证明：平面；
（2） 求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱锥中，为上一点，．
（1） 证明：平面平面；
（2） 若，求：
（i） 三棱锥的体积；
（ii） 平面与平面夹角的余弦值．
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