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浙江省“9+1”高中联盟2026届高三上学期期中考试数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由交集的定义，可知：.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为u，
所以，复数z的共轭复数为.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，从而得出复数z的共轭复数.
3．椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆，所以，
则，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】将椭圆方程转化为标准方程，从而得出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值， 从而得出椭圆的离心率的值.
4．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意，得：.
故答案为：D.
【分析】由正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式.
5．记表示不超过的最大整数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：当时，，成立；
必要性：当时，，
则，不能得到；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】先利用的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（　　）
A．2046 B．3069 C．6138 D．6144
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：，
则公差，得，
因为，
两式相减，得，易知，
所以，则，
所以，数列的前10项和为.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的性质和已知条件得到等差数列的公差，再利用的关系式得出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式计算可得.
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由两角和差公式，得：
则，解得，
所以，.
故答案为：C.
【分析】由两角和差的正弦公式得到，再结合平方关系和完全平方和公式，从而得出的值.
8．已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由方程组，可知，
代入化简，得：
由题意，该方程有解，则
所以，该不等式对任意的恒成立，即，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】将两方程联立消去，从而得出，再结合判别式得到恒成立，再通过分离参数法结合导数求最值的方法，从而得出的最小值.
9．下列关于统计的知识，说法正确的是（　　）
A．若数据的方差为0，则所有的都相等
B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数
C．数据的第70百分位数是8.5
D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于选项A：由方差知识，得，故选项A正确；
对于选项B：因为去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，故选项B错误；
对于选项C：因为，
所以70百分位数为第6个数9，故选项C错误；
对于选项D：因为样本点都在直线，
所以完全负相关，
则相关系数为，故选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】由方差公式、中位数公式、百分位数的定义和相关系数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（　　）
A．若直线与圆相切，则
B．当时，直线截圆所得的弦长为
C．点到直线的距离恒为
D．若，则当取到最小值时，
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，则，故选项A正确；
对于B：当时，圆心到直线的距离为，则弦长为，故选项B正确；
对于C：易知直线的一个法向量为，可知，故选项C错误；
对于D：由选项知：点的轨迹为一条与平行的直线，不妨设为直线，当时，因为，易知直线与圆无交点，
由切线可知，则，
又因为，
所以，当取最小值时，有最小值，此时，即故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据直线与和圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式逐项判断找出正确的选项.
11．已知四棱锥满足底面为平行四边形，取中点，过直线作平面分别交棱于点.设，则（　　）
A．三棱锥的体积是四棱锥的体积的
B．的取值范围为
C．当时，
D．四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；空间向量基本定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，又因为是中点，所以，
则，故选项A正确；
对于B：当时，延长交延长线于，连接，两点在平面的同侧，
则线段与平面无交点，所以，点不在棱上，矛盾，故选项B错误；
对于C：由，可知：，
同理可得
因为四边形为平行四边形，所以，
由四点共面，可知存在实数，满足，
代入得：，
则，所以，
化简得：，则当时，代入解得：，故选项C正确；
对于D：因为，所以，
同理可得：，
则，
因为，可知，
由基本不等式，得：，
则，当且仅当时取等号，
则四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由等体积法和三棱锥的体积公式，则可判断选项A；通过，延长交延长线于，再判断两点在平面的同侧，从而得出x的取值范围，则可判断选项B；通过四面共面结合空间向量基本定理，从而由x的值得出y的值，则可判断选项C；由棱锥的体积公式和，结合基本不等式求最值的方法，从而得出四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．在的展开式中，含的项的系数是　 　.
【答案】10
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：在中，
在中的常数2与中的项相乘，
在中的项与中的项相乘，
因为中项系数为，系数为，
所以，在的展开式中，含的项的系数为.
故答案为：10.
【分析】利用已知条件分别计算的展开式和的系数，从而可得含的项的系数.
13．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，由，
可得在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由题意，，则，解得.
故答案为：.
【分析】利用绝对值定义得出分段函数的解析式，再利用分段函数各段函数的单调性得出分段函数各段函数的最值，通过大小比较得出分段函数的最小值，最后根据已知条件得出实数k的取值范围.
14．已知正边形内接于单位圆，任取两个不同顶点，满足的概率为，则的值为　 　.
【答案】8或15
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：不妨设取出的顶点为，其中，
设与的夹角为，由，
平方可得：，
解得：，则.
法一：先考虑的情况，易知此时，
根据的取值范围，解得：，
设，因为是整数，所以，
因此满足条件的的值为，共个，
结合对称性，在整个单位圆上，满足条件的有个，
因此满足的概率为：，
化简得：，则，显然，
因为，所以或m=2，则的值为8或15.
法二：要存在的情况，，则，
以下分类讨论：
当只有两个顶点能满足条件时，，
则，此时，解得；
当只有四个顶点能满足条件时，且，
则，此时，解得；
当有超过四个顶点能满足条件时，，则，不合题意，
综上所述：的值为8或15.
法三：共有个顶点可取，假设满足条件的有个，
则，所以，则，
所以，必有被7整除，结合，只需考虑和n=15的情况，
当时，只有两个顶点能满足条件，，成立；
当时，只有四个顶点能满足条件，，成立，
则的值为8或15.
故答案为：8或15.
【分析】先根据数量积求向量模长公式结合余弦函数的图象，从而得出向量夹角的取值范围，再利用三种方法求解n的值.
方法一：先考虑的情况，易知此时，再根据的取值范围得出，再设，再利用是整数，则， 再结合正边形的对称性，从而得出的值.
方法二： 要存在的情况，则，所以，再通过分类讨论和已知条件得出的值.
方法三：根据古典概率公式和整除的性质，从而得出的值，再对n进行分类讨论，最后根据古典概率公式求出的值.
15．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，判断并证明与的大小关系.
【答案】（1）解：由题意，得：，，
当时，；当时，，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：，证明如下：
由题意，得，
令，则，
因为，所以，则在上单调递减，
所以，，
则，
所以，则.
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间。
（2）利用构造法，令，再利用导数的正负判断函数单调性，通过作差法可判断与的大小关系.
（1）由题意：，，
当时，；当时，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）略
16．在中，角的对边分别为.
（1）求；
（2）若的最长边长度为4，求最短边的长度.
【答案】（1）解：由正弦定理，可得，
因为
代入整理，得，且，
结合，
计算可知或（舍去），
则.
（2）解：由（1）知：，则是钝角，所以，最长边为，
由题意得，因为，
所以，
则，
所以，最小角为，最短边为，
由正弦定理，得，则，
解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角结合诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式以及已知条件，从而得出的值.
（2）由（1）知，从而得出角是钝角，进而得出最长边为a，则得出a的值，再利用已知条件和两角和的正弦公式、正弦函数的单调性， 从而确定最小角为和最短边为，再由正弦定理得出c的值.
（1）由正弦定理可得
又
代入整理得，且，
结合，计算可知或1（舍去）
故.
（2）由（1）知：，即是钝角，
故最长边为，由题意得，
因为，所以，
则，
所以最小角为，最短边为，
由正弦定理得，则，解得.
17．如图，在三棱锥中，平面在以为直径的圆周上运动，作于于，连接.
（1）求证：；
（2）求证：平面与平面所成夹角的大小与相等；
（3）若，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：因为点在以为直径的圆上，则，
又因为平面，平面，则，
因为，平面，则平面，
又因为平面，则，
因为平面，
则平面，
又因为平面，则.
（2）证明：因为平面，
则平面，所以是平面的一个法向量，
又因为平面，所以是平面的一个法向量，
则平面与平面所成的夹角即为与间的夹角，
因为平面与平面所成角范围为，
所以，平面与平面所成角的大小与相等.
（3）解：，
，
，则，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴、轴，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设是平面的一个法向量，直线与平面所成角为，
则，
取，解得，
，
则直线与平面所成的角为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1） 先证平面 ，再利用线面垂直的判断定理证出平面，再根据线面垂直的定义证出.
（2）先证出、分别是平面、平面的一个法向量，再根据法向量的夹角与平面间夹角的关系证出平面与平面所成夹角的大小与相等.
（3）以为坐标原点建系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再根据数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成的角.
（1）略
（2）略
（3），
，
，即，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴、轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设是平面的一个法向量，直线与平面所成角为，
则，取，解得，
，
即直线与平面所成的角为.
18．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求的面积；
（3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知，焦点到渐近线的距离为，
因为，所以，则，
所以，双曲线方程为.
（2）解：当时，
因为是中点，可知，
设，又因为所以，
因为在双曲线上，所以，
联立，解得，
则的面积.

（3）解：由题意，得：直线，
联立方程组，则，
可得：，
由韦达定理，得：，
因为，所以，代入化简得：，
可知点的坐标为：，
同理可得，点的坐标为：，
则，
所以，存在实数满足题意.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦距定义得出c的值，再根据双曲线方程得出双曲线的渐近线，再利用焦点到双曲线渐近线距离公式和已知条件，从而求出的值，由求出a的值，从而得出双曲线C的标准方程.
（2）由点是中点求出，设，则，再将圆的方程与双曲线方程联立求出的值，再利用得出的面积.
（3）将直线方程与双曲线方程联立，再由韦达定理求出两点、的坐标，再根据两点求斜率公式得出存在实数满足题意.
（1）由题可知焦点到渐近线的距离为，
又，所以，
则，所以双曲线方程为；
（2）当时，由于是中点，可知，
设，因为
所以，
因为在双曲线上，所以，联立，解得，
则的面积；
（3）由题意：直线，
联立方程组：，
可得：，
由韦达定理：，
由于，即，代入化简得：，
可知的坐标为：，
同理可得，的坐标为：，
则，
即存在实数满足题意.
19．若整数数列满足对任意的的值恰好为中数字出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当时，有如下数列是“自洽”的：这表示，在中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个项数列是“自洽”的.
（1）求证：；
（2）当时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）；
（3）当时，求该数列的通项公式.
【答案】（1）证明：由题意，的值等于中所出现的次数，
因为共项，
所以，所有数字的出现次数之和为，
则.
（2）解：满足条件的数列有两个：
①；
②.
推导过程：
由（1）知：，
先考虑，很明显3最多出现1次，
则只能为0或1，
若，
则中有一个为3，且，
∵出现了，
则，此时0出现了2次，矛盾，
则，此时且，
则或.
①当时，0只出现了1次，
则均不为0，且，
若，则1出现了至少两次，矛盾，
所以，此时满足条件；
②当时，0出现了2次，
则或，
∵出现了，
则，此时满足条件；
综上所述，
满足条件的数列为：或
（3）解：由（1）知：，
设中有个不为个为0，
则.
考虑除以外的个不为0的值，至少为1，
假设存在某个值大于等于3，
则，矛盾，
因此，
则，
这表明在中，均未出现，
则中至多有1个值非零(即可能位于当中的)，
若，
则非零的值仅可能为，最多3个，
因此，
因为均未出现，所以，
则，这与矛盾；
因此在中，仅有，其余均为0，
因为，
所以，则，此时，
若，则1至少出现2次，矛盾，所以，
则，此时非零的值共有4个，，
综上所述：
当时.

【知识点】反证法的应用；数列的通项公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件和的值等于中所出现的次数以及该数列是“自洽”的定义，从而证出结论.
(2) 由（1）知的值，先考虑，从而得出只能为0或1，再分类讨论得到的值，再从而分类讨论写出所有满足条件的数列.
(3) 由（1）知，再利用反证法得到，再根据反证法得到的值，从而得出的值，进而得出此时非零的值共有的个数，再根据，从而得出当时的该数列的通项公式.
（1）略
（2）满足条件的数列有两个：
①，
②.
推导过程：
由（1）知：，先考虑，很明显3最多出现1次，即只能为0或1，
若，则中有一个为3，且，
∵出现了，则，
此时0出现了2次，矛盾，故，
此时且，故或2；
①时，0只出现了1次，故均不为0，且，
若，则1出现了至少两次，矛盾，故，此时满足条件；
②时，0出现了2次，故或，
∵出现了，
故，此时满足条件；
综上，满足条件的数列为：或；
（3）由（1）知：，
设中有个不为个为0，则.
考虑除以外的个不为0的值，至少为1，
假设存在某个值大于等于3，则，矛盾，因此，
故，这表明在中，均未出现，
故中至多有1个值非零(即可能位于当中的)，
若，则非零的值仅可能为，最多3个，
因此；而均未出现，故，则，这与矛盾；
因此在中，仅有，其余均为0.
因为，则，即，
此时，若，则1至少出现2次，矛盾.故，则，
此时非零的值共有4个，.
综上：当时.
1 / 1浙江省“9+1”高中联盟2026届高三上学期期中考试数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
3．椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
5．记表示不超过的最大整数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（　　）
A．2046 B．3069 C．6138 D．6144
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．2
9．下列关于统计的知识，说法正确的是（　　）
A．若数据的方差为0，则所有的都相等
B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数
C．数据的第70百分位数是8.5
D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1
10．已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（　　）
A．若直线与圆相切，则
B．当时，直线截圆所得的弦长为
C．点到直线的距离恒为
D．若，则当取到最小值时，
11．已知四棱锥满足底面为平行四边形，取中点，过直线作平面分别交棱于点.设，则（　　）
A．三棱锥的体积是四棱锥的体积的
B．的取值范围为
C．当时，
D．四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为
12．在的展开式中，含的项的系数是　 　.
13．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是　 　.
14．已知正边形内接于单位圆，任取两个不同顶点，满足的概率为，则的值为　 　.
15．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，判断并证明与的大小关系.
16．在中，角的对边分别为.
（1）求；
（2）若的最长边长度为4，求最短边的长度.
17．如图，在三棱锥中，平面在以为直径的圆周上运动，作于于，连接.
（1）求证：；
（2）求证：平面与平面所成夹角的大小与相等；
（3）若，求直线与平面所成角的大小.
18．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求的面积；
（3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．若整数数列满足对任意的的值恰好为中数字出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当时，有如下数列是“自洽”的：这表示，在中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个项数列是“自洽”的.
（1）求证：；
（2）当时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）；
（3）当时，求该数列的通项公式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由交集的定义，可知：.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为u，
所以，复数z的共轭复数为.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，从而得出复数z的共轭复数.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆，所以，
则，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】将椭圆方程转化为标准方程，从而得出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值， 从而得出椭圆的离心率的值.
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意，得：.
故答案为：D.
【分析】由正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：当时，，成立；
必要性：当时，，
则，不能得到；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】先利用的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：，
则公差，得，
因为，
两式相减，得，易知，
所以，则，
所以，数列的前10项和为.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的性质和已知条件得到等差数列的公差，再利用的关系式得出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式计算可得.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由两角和差公式，得：
则，解得，
所以，.
故答案为：C.
【分析】由两角和差的正弦公式得到，再结合平方关系和完全平方和公式，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由方程组，可知，
代入化简，得：
由题意，该方程有解，则
所以，该不等式对任意的恒成立，即，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】将两方程联立消去，从而得出，再结合判别式得到恒成立，再通过分离参数法结合导数求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于选项A：由方差知识，得，故选项A正确；
对于选项B：因为去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，故选项B错误；
对于选项C：因为，
所以70百分位数为第6个数9，故选项C错误；
对于选项D：因为样本点都在直线，
所以完全负相关，
则相关系数为，故选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】由方差公式、中位数公式、百分位数的定义和相关系数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，则，故选项A正确；
对于B：当时，圆心到直线的距离为，则弦长为，故选项B正确；
对于C：易知直线的一个法向量为，可知，故选项C错误；
对于D：由选项知：点的轨迹为一条与平行的直线，不妨设为直线，当时，因为，易知直线与圆无交点，
由切线可知，则，
又因为，
所以，当取最小值时，有最小值，此时，即故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据直线与和圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；空间向量基本定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，又因为是中点，所以，
则，故选项A正确；
对于B：当时，延长交延长线于，连接，两点在平面的同侧，
则线段与平面无交点，所以，点不在棱上，矛盾，故选项B错误；
对于C：由，可知：，
同理可得
因为四边形为平行四边形，所以，
由四点共面，可知存在实数，满足，
代入得：，
则，所以，
化简得：，则当时，代入解得：，故选项C正确；
对于D：因为，所以，
同理可得：，
则，
因为，可知，
由基本不等式，得：，
则，当且仅当时取等号，
则四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由等体积法和三棱锥的体积公式，则可判断选项A；通过，延长交延长线于，再判断两点在平面的同侧，从而得出x的取值范围，则可判断选项B；通过四面共面结合空间向量基本定理，从而由x的值得出y的值，则可判断选项C；由棱锥的体积公式和，结合基本不等式求最值的方法，从而得出四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】10
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：在中，
在中的常数2与中的项相乘，
在中的项与中的项相乘，
因为中项系数为，系数为，
所以，在的展开式中，含的项的系数为.
故答案为：10.
【分析】利用已知条件分别计算的展开式和的系数，从而可得含的项的系数.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，由，
可得在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由题意，，则，解得.
故答案为：.
【分析】利用绝对值定义得出分段函数的解析式，再利用分段函数各段函数的单调性得出分段函数各段函数的最值，通过大小比较得出分段函数的最小值，最后根据已知条件得出实数k的取值范围.
14．【答案】8或15
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：不妨设取出的顶点为，其中，
设与的夹角为，由，
平方可得：，
解得：，则.
法一：先考虑的情况，易知此时，
根据的取值范围，解得：，
设，因为是整数，所以，
因此满足条件的的值为，共个，
结合对称性，在整个单位圆上，满足条件的有个，
因此满足的概率为：，
化简得：，则，显然，
因为，所以或m=2，则的值为8或15.
法二：要存在的情况，，则，
以下分类讨论：
当只有两个顶点能满足条件时，，
则，此时，解得；
当只有四个顶点能满足条件时，且，
则，此时，解得；
当有超过四个顶点能满足条件时，，则，不合题意，
综上所述：的值为8或15.
法三：共有个顶点可取，假设满足条件的有个，
则，所以，则，
所以，必有被7整除，结合，只需考虑和n=15的情况，
当时，只有两个顶点能满足条件，，成立；
当时，只有四个顶点能满足条件，，成立，
则的值为8或15.
故答案为：8或15.
【分析】先根据数量积求向量模长公式结合余弦函数的图象，从而得出向量夹角的取值范围，再利用三种方法求解n的值.
方法一：先考虑的情况，易知此时，再根据的取值范围得出，再设，再利用是整数，则， 再结合正边形的对称性，从而得出的值.
方法二： 要存在的情况，则，所以，再通过分类讨论和已知条件得出的值.
方法三：根据古典概率公式和整除的性质，从而得出的值，再对n进行分类讨论，最后根据古典概率公式求出的值.
15．【答案】（1）解：由题意，得：，，
当时，；当时，，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：，证明如下：
由题意，得，
令，则，
因为，所以，则在上单调递减，
所以，，
则，
所以，则.
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间。
（2）利用构造法，令，再利用导数的正负判断函数单调性，通过作差法可判断与的大小关系.
（1）由题意：，，
当时，；当时，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）略
16．【答案】（1）解：由正弦定理，可得，
因为
代入整理，得，且，
结合，
计算可知或（舍去），
则.
（2）解：由（1）知：，则是钝角，所以，最长边为，
由题意得，因为，
所以，
则，
所以，最小角为，最短边为，
由正弦定理，得，则，
解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角结合诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式以及已知条件，从而得出的值.
（2）由（1）知，从而得出角是钝角，进而得出最长边为a，则得出a的值，再利用已知条件和两角和的正弦公式、正弦函数的单调性， 从而确定最小角为和最短边为，再由正弦定理得出c的值.
（1）由正弦定理可得
又
代入整理得，且，
结合，计算可知或1（舍去）
故.
（2）由（1）知：，即是钝角，
故最长边为，由题意得，
因为，所以，
则，
所以最小角为，最短边为，
由正弦定理得，则，解得.
17．【答案】（1）证明：因为点在以为直径的圆上，则，
又因为平面，平面，则，
因为，平面，则平面，
又因为平面，则，
因为平面，
则平面，
又因为平面，则.
（2）证明：因为平面，
则平面，所以是平面的一个法向量，
又因为平面，所以是平面的一个法向量，
则平面与平面所成的夹角即为与间的夹角，
因为平面与平面所成角范围为，
所以，平面与平面所成角的大小与相等.
（3）解：，
，
，则，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴、轴，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设是平面的一个法向量，直线与平面所成角为，
则，
取，解得，
，
则直线与平面所成的角为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1） 先证平面 ，再利用线面垂直的判断定理证出平面，再根据线面垂直的定义证出.
（2）先证出、分别是平面、平面的一个法向量，再根据法向量的夹角与平面间夹角的关系证出平面与平面所成夹角的大小与相等.
（3）以为坐标原点建系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再根据数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成的角.
（1）略
（2）略
（3），
，
，即，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴、轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设是平面的一个法向量，直线与平面所成角为，
则，取，解得，
，
即直线与平面所成的角为.
18．【答案】（1）解：由题意可知，焦点到渐近线的距离为，
因为，所以，则，
所以，双曲线方程为.
（2）解：当时，
因为是中点，可知，
设，又因为所以，
因为在双曲线上，所以，
联立，解得，
则的面积.

（3）解：由题意，得：直线，
联立方程组，则，
可得：，
由韦达定理，得：，
因为，所以，代入化简得：，
可知点的坐标为：，
同理可得，点的坐标为：，
则，
所以，存在实数满足题意.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦距定义得出c的值，再根据双曲线方程得出双曲线的渐近线，再利用焦点到双曲线渐近线距离公式和已知条件，从而求出的值，由求出a的值，从而得出双曲线C的标准方程.
（2）由点是中点求出，设，则，再将圆的方程与双曲线方程联立求出的值，再利用得出的面积.
（3）将直线方程与双曲线方程联立，再由韦达定理求出两点、的坐标，再根据两点求斜率公式得出存在实数满足题意.
（1）由题可知焦点到渐近线的距离为，
又，所以，
则，所以双曲线方程为；
（2）当时，由于是中点，可知，
设，因为
所以，
因为在双曲线上，所以，联立，解得，
则的面积；
（3）由题意：直线，
联立方程组：，
可得：，
由韦达定理：，
由于，即，代入化简得：，
可知的坐标为：，
同理可得，的坐标为：，
则，
即存在实数满足题意.
19．【答案】（1）证明：由题意，的值等于中所出现的次数，
因为共项，
所以，所有数字的出现次数之和为，
则.
（2）解：满足条件的数列有两个：
①；
②.
推导过程：
由（1）知：，
先考虑，很明显3最多出现1次，
则只能为0或1，
若，
则中有一个为3，且，
∵出现了，
则，此时0出现了2次，矛盾，
则，此时且，
则或.
①当时，0只出现了1次，
则均不为0，且，
若，则1出现了至少两次，矛盾，
所以，此时满足条件；
②当时，0出现了2次，
则或，
∵出现了，
则，此时满足条件；
综上所述，
满足条件的数列为：或
（3）解：由（1）知：，
设中有个不为个为0，
则.
考虑除以外的个不为0的值，至少为1，
假设存在某个值大于等于3，
则，矛盾，
因此，
则，
这表明在中，均未出现，
则中至多有1个值非零(即可能位于当中的)，
若，
则非零的值仅可能为，最多3个，
因此，
因为均未出现，所以，
则，这与矛盾；
因此在中，仅有，其余均为0，
因为，
所以，则，此时，
若，则1至少出现2次，矛盾，所以，
则，此时非零的值共有4个，，
综上所述：
当时.

【知识点】反证法的应用；数列的通项公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件和的值等于中所出现的次数以及该数列是“自洽”的定义，从而证出结论.
(2) 由（1）知的值，先考虑，从而得出只能为0或1，再分类讨论得到的值，再从而分类讨论写出所有满足条件的数列.
(3) 由（1）知，再利用反证法得到，再根据反证法得到的值，从而得出的值，进而得出此时非零的值共有的个数，再根据，从而得出当时的该数列的通项公式.
（1）略
（2）满足条件的数列有两个：
①，
②.
推导过程：
由（1）知：，先考虑，很明显3最多出现1次，即只能为0或1，
若，则中有一个为3，且，
∵出现了，则，
此时0出现了2次，矛盾，故，
此时且，故或2；
①时，0只出现了1次，故均不为0，且，
若，则1出现了至少两次，矛盾，故，此时满足条件；
②时，0出现了2次，故或，
∵出现了，
故，此时满足条件；
综上，满足条件的数列为：或；
（3）由（1）知：，
设中有个不为个为0，则.
考虑除以外的个不为0的值，至少为1，
假设存在某个值大于等于3，则，矛盾，因此，
故，这表明在中，均未出现，
故中至多有1个值非零(即可能位于当中的)，
若，则非零的值仅可能为，最多3个，
因此；而均未出现，故，则，这与矛盾；
因此在中，仅有，其余均为0.
因为，则，即，
此时，若，则1至少出现2次，矛盾.故，则，
此时非零的值共有4个，.
综上：当时.
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