资源简介

广西南宁市第三中学2025—2026学年度春季学期期中质量监测七年级数学
1．下列各数中为无理数的是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列方程中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（　　）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
6．如图，点，是直线外两点，点是直线上一点，已知，，所以与重合的理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．过一点只能作一条垂线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．两锐角之和一定是钝角
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
8．将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．1
9．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（　　）
A． B． C． D．
13．南宁青秀山某观景台地面为正方形，面积为，则其边长为　 　米．
14．若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是　 　．
15．2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
16．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为　 　．
17．计算或解方程组
（1）计算：
（2）解方程组：
18．填空并完成以下过程：
已知：点P在直线CD上，，．
请你说明：．
解：∵，（已知）
∴，（ ）
∴ ，（两直线平行，内错角相等．）
又∵，（已知）
，
，
∴ ，（等式的性质）
∴，（ ）
∴．（ ）
19．如图，若三角形．是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，且，，．
（1）画出三角形；
（2）写出点的坐标 ；
（3）直接写出三角形的面积 ；
（4）点在轴上，若三角形的面积为，直接写出点的坐标 ．
20．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路．
【猜想与证明】
（1）完成嘉嘉的证明过程；
【发现与探究】
（2）根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明；
【思考与结论】
（3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________．
21．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省__________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
22．【学习探究】我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．
（1）【实践探究】探究二元一次方程的图象．
①在表格中列出二元一次方程的解：
x … 0 b 2 …
y … a 0 1 …
写出______，______．
②将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：(______，______)，，，(______，______)，…请你在平面直角坐标系（图1）内描出以上各点；
③过这些点中的任意两点画直线，请写出你发现的一个结论：______；
（2）【拓展探究】探究方程组的解与图象的联系．
①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出方程和的图象，通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是______；
②请简单说明方程和的图象的交点坐标与方程组的解之间的联系．
23．【综合与实践】
平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，．
（1）如图1，直接写出________．
（2）如图1，若，求的大小；
（3）如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、2026是整数，是有理数，不符合题意；
B、是整数，是有理数，不符合题意；
C、是分数，是有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据无理数是无限不循环小数逐一判断解答即可．
2．【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项．
故答案为：D.
【分析】利用平移的定义（平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移）分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】因
则点 位于第四象限
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，第一象限坐标符号为正正，第二象限坐标符号为负正，第三象限坐标符号为负负，第四象限坐标符号为正负；据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意；
B、是二元一次方程，故符合题意；
C、是一元一次方程，故不符合题意；
D、含未知数的项的从次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意；
故选：B．
【分析】
按照二元一次方程的定义对每个选项逐一判断，即可得到正确结果.
5．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴减小时，减小，
故选：C．
【分析】根据对顶角相等解答即可．
6．【答案】D
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：，，
根据在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直得到与重合，
故选：D．
【分析】根据垂线的性质“ 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ”解答即可.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
B、两锐角之和不一定是钝角，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，为真命题，故本选项符合题意；
D、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等、平行线的判定和性质逐项判断解答即可．
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得：．
故选C．
【分析】
按照平移过程中坐标的变化规律点平移的坐标变化规则：“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”。列出方程，就可以求出对应结果。
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点平移后的对应点是，
∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∵点，
∴点B的对应点D的坐标是，即．
故答案为：C.
【分析】根据点A和点的坐标，可得线段平移的方式为“向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度”，据此得到点D的坐标即可．
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
所列方程组为：．
故选：C．
【分析】
结合题意，“用绳子量木条时，绳子量完还多出4.5尺；把绳子对折后再量木条，量完木条还多出1尺”，根据这两个条件就可以列出关于x、y的二元一次方程组，由此即可得到本题答案。
11．【答案】A
【知识点】平行线的性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图所示，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
【分析】根据平行线的性质可得，，，根据角的和差关系，求解即可．
12．【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数，
∴排除选项、，
接下来求的立方根：
第一步：确定位数，∵，，且，
∴，即是两位数；
第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为，
∴的个位数字是；
第三步：确定十位数字，划去后三位得到，
∵，，且，
∴的十位数字是，即；
∴．
故答案为：A.
【分析】根据负数的立方根是负数判断C，D错误，然后根据题目提供方法解答即可．
13．【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形观景台的边长为米，，
根据正方形的面积公式可得，
，
．
故答案为：.
【分析】本题可先设出正方形的边长，再结合正方形面积公式列出方程，最后根据边长为正的实际条件求解边长即可.
14．【答案】1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意把代入得，解得.
故答案为：．
【分析】把二元一次方程的解代入方程，解出即可得答案.
15．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由图象可得点的坐标为，
故答案为：.
【解析】根据点C的位置写出坐标即可.
16．【答案】54°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得：，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54°．
【分析】
根据图形折叠后，重合部分对应的角度大小相等，因此由折叠的性质可以得到，；再结合角平分线的定义，进一步可以推导出，最后结合矩形的性质，通过角的和差计算就可以得到最终结果。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算乘方、有理数的除法、立方根，然后加减解答即可；
（2）根据消去未知数y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值解答即可．
（1）解：
；
（2）解：
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为．
18．【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，（已知）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴，（两直线平行，内错角相等．）
又∵，（已知）
，
，
∴ ，（等式的性质）
∴，（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.
【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行得到，即可得到 再利用角的和差可得 根据内错角相等，两直线平行得到，即可结论.
19．【答案】（1）解：∵点经过平移后的对应点为，，
∴向左平移个单位，向下平移个单位，
∴，，对应点为，，，
连接即可，
如图：
∴三角形即为所求；
（2）；
（3）；
（4）或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
（2）由（）得，
故答案为：；
（3）三角形的面积为，
故答案为：；
（4）设，
∴，解，
∴或．
【分析】
（）根据平移变换的性质，分别画出点平移后的对应点，再顺次连接即可得到平移后的三角形；
（）结合所作图形中点的位置，直接写出对应点的坐标即可；
（）计算三角形面积时使用割补法：将三角形放入一个长方形中，用长方形的面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积；
（）先设出点的坐标为，再根据三角形面积公式列出方程，求解方程即可得到点M的坐标；
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
(3) 相等或互补
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
（3）解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】
（1）借助平行线的性质来完成证明；
（2）结合图形特征，利用平行线的性质就可以完成对应证明；
（3）结合第(1)问和第(2)问推导得到的结论，就可以得出最终的结果。
21．【答案】解：任务1： 29
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据题意得，
解得
∴使用“无人机”配送了20单；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据题意得，
，
解得，
∵取正整数，
∴为2的正整数倍，且取奇数，
符合要求的的取值如下
或或或
∴采购方案有：
方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；
方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；
方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；
方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台；
②方案一总载重量为：（千克）；
方案二总载重量为：（千克）；
方案三总载重量为：（千克）；
方案四总载重量为：（千克）；
∵，
∴方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台总载重量最大，最大总载重是205千克．
【知识点】二元一次方程的解；有理数混合运算的实际应用；列二元一次方程；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得，
“传统骑手”用时为（分钟），
“无人机”用时为（分钟），
（分钟），
故答案为：29；
【分析】
任务1：根据配送总时长=行驶时长+固定消耗时长， “传统骑手”的用时=固定时长10+行驶时长（路程速度60分）；“无人机”的用时=固定时长5+行驶时长（路程速度60分），计算即可解答；
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据单数为 50单 列式为x+y=50；根据总运费支出为380元列式为10x+6y=380， 解方程组，计算即可解答；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据费用列式为，表示出，然后讨论整数解，再根据取值进行确定方案，解答即可；
②根据①中的每种方案计算总载重量，然后进行比较即可解答．
22．【答案】（1）①，1；②，，1，0；图见解析；
在平面直角坐标系（图1）内描出各点如图所示：
③这些点在同一条直线上
（2）解：①如图2所示，
；
②方程和的图象的交点坐标是方程组的解.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①代入到方程，则，解得，
∴；
代入到方程，则，
∴；
古答案为：-3；1；
②由①可得到点的坐标：，，，，…
故答案为：，，1，0；
③过这些点中的任意两点画直线，
发现：这些点在同一条直线上；
故答案为：这些点在同一条直线上；
（2）解：①通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）①把x=-2代入x-y=1求出a的值，然后把y=0代入求出b的值即可；
②根据①中点的坐标描出对应的点；
③过这些点中的任意两点作直线，观察图象可结论；
（2）①在同一直角坐标系中两条直线，并找到交点，写出焦点坐标即可；
②根据交点坐标的x。y的值满足两个方程组成的方程组解答即可．
（1）解：①代入到方程，则，
解得，
∴；
代入到方程，则，
∴；
②由①可得到点的坐标：，，，，…
在平面直角坐标系（图1）内描出各点如图所示：
③过这些点中的任意两点画直线，
发现：这些点在同一条直线上；
（2）解：①如图2所示，
通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是；
②方程和的图象的交点坐标是方程组的解．
23．【答案】（1）
（2）解：根据（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：当时，如图所示：
则，
根据解析（1）可知：，
∴；
当时，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴；
综上分析可知：或或．
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：90°；
【分析】（1）过点P作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥PQ，由二直线平行，内错角相等求出，，根据等式性质及角的构成可求出∠PMA+∠PNC=∠MPN=90°；
（2）由（1）的结论得，由平角求得∠MND=135°- ，进而代入，求解即可；
（3）分三种情况讨论：当时，由二直线平行，同位角相等推出，进而结合（1）的结论可表示出∠BGF的度数；当时，由二直线平行，内错角相等得∠PME=∠MEF=60°，根据角的构成推出∠PMF=90°，然后根据同旁内角互补，两直线平行推出PN∥MF，结合（1）的结论得出，进而根据平角可表示出∠BGF；当时，由二直线平行，同位角相等得， 根据平角表示出∠DEF，再结合（1）的结论可求出∠BGF，综上可得答案.
（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）根据（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：当时，如图所示：
则，
根据解析（1）可知：，
∴；
当时，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴；
综上分析可知：或或．
1 / 1广西南宁市第三中学2025—2026学年度春季学期期中质量监测七年级数学
1．下列各数中为无理数的是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、2026是整数，是有理数，不符合题意；
B、是整数，是有理数，不符合题意；
C、是分数，是有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据无理数是无限不循环小数逐一判断解答即可．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项．
故答案为：D.
【分析】利用平移的定义（平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移）分析求解即可.
3．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】因
则点 位于第四象限
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，第一象限坐标符号为正正，第二象限坐标符号为负正，第三象限坐标符号为负负，第四象限坐标符号为正负；据此判断即可.
4．下列方程中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意；
B、是二元一次方程，故符合题意；
C、是一元一次方程，故不符合题意；
D、含未知数的项的从次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意；
故选：B．
【分析】
按照二元一次方程的定义对每个选项逐一判断，即可得到正确结果.
5．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（　　）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴减小时，减小，
故选：C．
【分析】根据对顶角相等解答即可．
6．如图，点，是直线外两点，点是直线上一点，已知，，所以与重合的理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．过一点只能作一条垂线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：，，
根据在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直得到与重合，
故选：D．
【分析】根据垂线的性质“ 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ”解答即可.
7．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．两锐角之和一定是钝角
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
B、两锐角之和不一定是钝角，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，为真命题，故本选项符合题意；
D、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等、平行线的判定和性质逐项判断解答即可．
8．将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．1
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得：．
故选C．
【分析】
按照平移过程中坐标的变化规律点平移的坐标变化规则：“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”。列出方程，就可以求出对应结果。
9．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点平移后的对应点是，
∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∵点，
∴点B的对应点D的坐标是，即．
故答案为：C.
【分析】根据点A和点的坐标，可得线段平移的方式为“向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度”，据此得到点D的坐标即可．
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
所列方程组为：．
故选：C．
【分析】
结合题意，“用绳子量木条时，绳子量完还多出4.5尺；把绳子对折后再量木条，量完木条还多出1尺”，根据这两个条件就可以列出关于x、y的二元一次方程组，由此即可得到本题答案。
11．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图所示，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
【分析】根据平行线的性质可得，，，根据角的和差关系，求解即可．
12．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数，
∴排除选项、，
接下来求的立方根：
第一步：确定位数，∵，，且，
∴，即是两位数；
第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为，
∴的个位数字是；
第三步：确定十位数字，划去后三位得到，
∵，，且，
∴的十位数字是，即；
∴．
故答案为：A.
【分析】根据负数的立方根是负数判断C，D错误，然后根据题目提供方法解答即可．
13．南宁青秀山某观景台地面为正方形，面积为，则其边长为　 　米．
【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形观景台的边长为米，，
根据正方形的面积公式可得，
，
．
故答案为：.
【分析】本题可先设出正方形的边长，再结合正方形面积公式列出方程，最后根据边长为正的实际条件求解边长即可.
14．若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意把代入得，解得.
故答案为：．
【分析】把二元一次方程的解代入方程，解出即可得答案.
15．2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由图象可得点的坐标为，
故答案为：.
【解析】根据点C的位置写出坐标即可.
16．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为　 　．
【答案】54°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得：，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54°．
【分析】
根据图形折叠后，重合部分对应的角度大小相等，因此由折叠的性质可以得到，；再结合角平分线的定义，进一步可以推导出，最后结合矩形的性质，通过角的和差计算就可以得到最终结果。
17．计算或解方程组
（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算乘方、有理数的除法、立方根，然后加减解答即可；
（2）根据消去未知数y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值解答即可．
（1）解：
；
（2）解：
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为．
18．填空并完成以下过程：
已知：点P在直线CD上，，．
请你说明：．
解：∵，（已知）
∴，（ ）
∴ ，（两直线平行，内错角相等．）
又∵，（已知）
，
，
∴ ，（等式的性质）
∴，（ ）
∴．（ ）
【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，（已知）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴，（两直线平行，内错角相等．）
又∵，（已知）
，
，
∴ ，（等式的性质）
∴，（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.
【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行得到，即可得到 再利用角的和差可得 根据内错角相等，两直线平行得到，即可结论.
19．如图，若三角形．是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，且，，．
（1）画出三角形；
（2）写出点的坐标 ；
（3）直接写出三角形的面积 ；
（4）点在轴上，若三角形的面积为，直接写出点的坐标 ．
【答案】（1）解：∵点经过平移后的对应点为，，
∴向左平移个单位，向下平移个单位，
∴，，对应点为，，，
连接即可，
如图：
∴三角形即为所求；
（2）；
（3）；
（4）或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
（2）由（）得，
故答案为：；
（3）三角形的面积为，
故答案为：；
（4）设，
∴，解，
∴或．
【分析】
（）根据平移变换的性质，分别画出点平移后的对应点，再顺次连接即可得到平移后的三角形；
（）结合所作图形中点的位置，直接写出对应点的坐标即可；
（）计算三角形面积时使用割补法：将三角形放入一个长方形中，用长方形的面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积；
（）先设出点的坐标为，再根据三角形面积公式列出方程，求解方程即可得到点M的坐标；
20．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路．
【猜想与证明】
（1）完成嘉嘉的证明过程；
【发现与探究】
（2）根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明；
【思考与结论】
（3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
(3) 相等或互补
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
（3）解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】
（1）借助平行线的性质来完成证明；
（2）结合图形特征，利用平行线的性质就可以完成对应证明；
（3）结合第(1)问和第(2)问推导得到的结论，就可以得出最终的结果。
21．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省__________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
【答案】解：任务1： 29
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据题意得，
解得
∴使用“无人机”配送了20单；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据题意得，
，
解得，
∵取正整数，
∴为2的正整数倍，且取奇数，
符合要求的的取值如下
或或或
∴采购方案有：
方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；
方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；
方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；
方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台；
②方案一总载重量为：（千克）；
方案二总载重量为：（千克）；
方案三总载重量为：（千克）；
方案四总载重量为：（千克）；
∵，
∴方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台总载重量最大，最大总载重是205千克．
【知识点】二元一次方程的解；有理数混合运算的实际应用；列二元一次方程；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得，
“传统骑手”用时为（分钟），
“无人机”用时为（分钟），
（分钟），
故答案为：29；
【分析】
任务1：根据配送总时长=行驶时长+固定消耗时长， “传统骑手”的用时=固定时长10+行驶时长（路程速度60分）；“无人机”的用时=固定时长5+行驶时长（路程速度60分），计算即可解答；
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据单数为 50单 列式为x+y=50；根据总运费支出为380元列式为10x+6y=380， 解方程组，计算即可解答；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据费用列式为，表示出，然后讨论整数解，再根据取值进行确定方案，解答即可；
②根据①中的每种方案计算总载重量，然后进行比较即可解答．
22．【学习探究】我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．
（1）【实践探究】探究二元一次方程的图象．
①在表格中列出二元一次方程的解：
x … 0 b 2 …
y … a 0 1 …
写出______，______．
②将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：(______，______)，，，(______，______)，…请你在平面直角坐标系（图1）内描出以上各点；
③过这些点中的任意两点画直线，请写出你发现的一个结论：______；
（2）【拓展探究】探究方程组的解与图象的联系．
①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出方程和的图象，通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是______；
②请简单说明方程和的图象的交点坐标与方程组的解之间的联系．
【答案】（1）①，1；②，，1，0；图见解析；
在平面直角坐标系（图1）内描出各点如图所示：
③这些点在同一条直线上
（2）解：①如图2所示，
；
②方程和的图象的交点坐标是方程组的解.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①代入到方程，则，解得，
∴；
代入到方程，则，
∴；
古答案为：-3；1；
②由①可得到点的坐标：，，，，…
故答案为：，，1，0；
③过这些点中的任意两点画直线，
发现：这些点在同一条直线上；
故答案为：这些点在同一条直线上；
（2）解：①通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）①把x=-2代入x-y=1求出a的值，然后把y=0代入求出b的值即可；
②根据①中点的坐标描出对应的点；
③过这些点中的任意两点作直线，观察图象可结论；
（2）①在同一直角坐标系中两条直线，并找到交点，写出焦点坐标即可；
②根据交点坐标的x。y的值满足两个方程组成的方程组解答即可．
（1）解：①代入到方程，则，
解得，
∴；
代入到方程，则，
∴；
②由①可得到点的坐标：，，，，…
在平面直角坐标系（图1）内描出各点如图所示：
③过这些点中的任意两点画直线，
发现：这些点在同一条直线上；
（2）解：①如图2所示，
通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是；
②方程和的图象的交点坐标是方程组的解．
23．【综合与实践】
平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，．
（1）如图1，直接写出________．
（2）如图1，若，求的大小；
（3）如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）解：根据（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：当时，如图所示：
则，
根据解析（1）可知：，
∴；
当时，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴；
综上分析可知：或或．
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：90°；
【分析】（1）过点P作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥PQ，由二直线平行，内错角相等求出，，根据等式性质及角的构成可求出∠PMA+∠PNC=∠MPN=90°；
（2）由（1）的结论得，由平角求得∠MND=135°- ，进而代入，求解即可；
（3）分三种情况讨论：当时，由二直线平行，同位角相等推出，进而结合（1）的结论可表示出∠BGF的度数；当时，由二直线平行，内错角相等得∠PME=∠MEF=60°，根据角的构成推出∠PMF=90°，然后根据同旁内角互补，两直线平行推出PN∥MF，结合（1）的结论得出，进而根据平角可表示出∠BGF；当时，由二直线平行，同位角相等得， 根据平角表示出∠DEF，再结合（1）的结论可求出∠BGF，综上可得答案.
（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）根据（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：当时，如图所示：
则，
根据解析（1）可知：，
∴；
当时，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴；
综上分析可知：或或．
1 / 1

展开更多......

收起↑