资源简介

河北唐山市2025—2026学年度第二学期期中学业水平评估八年级数学试卷
1．若是二次根式，则a的值可以是（　　）
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
2．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（　　）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14
6．如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
7．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （　　）
A． B． C． D．
8．已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　）
A．5 B．6 C． D．
10．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
11．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　）
A． B． C．10 D．20
13．已知，则实数的值为　 　．
14．小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为　 　．
15．如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是　 　．
16．如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为　 　．
17．计算
（1）；
（2）．
18．如图，在中，为一条对角线，点为线段的中点．
（1）的周长为多少？
（2）已知、之间的距离为4，求．
19．在图1和图2所示的网格中，已知每个小正方形的边长均为1．
（1）图1中长方形的面积是_____，与长方形面积相等的正方形的边长是_____；
（2）在图2的数轴上作出（1）中正方形所对应边长的对应数值（保留作图痕迹，不写作法）．
20．用一根长为的绳子围成，已知．
（1）的长为_____．
（2）求点到的距离．
21．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
（1）嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的_____比的大．”（填“内角和”或“外角和”）
（2）设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
22．如图，在矩形中，，，为该矩形的一条对称轴．过点作直线，交直线于点，已知．
（1）求矩形的面积．
（2）请判断点是在点的左侧还是右侧，并说明理由．
（3）若直线绕点旋转，使，请计算的长．
23．实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度．
初始状态 （图1）垂直，且，设．
实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略．
任务：
（1）求绳子的总长度；
（2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
24．如图，四边形是正方形，过点C在正方形的外侧作射线，作点D关于射线的对称点E，线段交射线于点M，连接交直线于点F．
（1）如图1，若，求和的度数；
（2）当时，先猜想是的多少倍，再加以证明：
（3）若，直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵是二次根式，
∴，
∴a的值可以是0．
故选：A．
【分析】
依据二次根式存在意义的条件，就可以算出正确结果。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
【分析】
利用平行四边形对边平行的特点，结合平行线的相关性质，就可以推导出最终结果.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 无法计算，故此选项不合题意；
B、 ，故此选项不合题意；
C、 ，故此选项符合题意；
D、 ，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵将线段水平向左平移个单位长度得到线段，
∴，
故选：A．
【分析】
先根据平行四边形的性质得到，再结合菱形的性质可以推出，求出的长度后就能得到最终结果.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，
∴A项：，不满足要求，不符合题意；
B项：，满足要求，符合题意；
C项：，不满足要求，不符合题意；
D项：，不满足要求，不符合题意，
故选：B．
【分析】
结合正方形的面积公式与勾股定理可得，在图2当中，面积较小的两个正方形的面积之和，恰好等于最大正方形的面积，依据这个结论就能选出正确答案.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选答案：B.
【分析】
首先依据平行四边形的性质，得到，再证明为的中位线，根据三角形中位线的性质可以推出，代入边长即可算出最终结果。
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，，
四边形是菱形，
，．
故选：B．
【分析】
结合作图过程可以得出，四边形ABCD是菱形，再利用菱形的性质就可以完成求解。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【分析】本题考查正方形面积公式与二次根式的混合运算，正方形的面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根。首先根据正方形面积公式分别求出m和n的值：正方形M的面积为8，所以，化简二次根式得；正方形N的面积为32，所以，化简得。再将m和n的值代入代数式，先计算括号内的减法，得到，再进行二次根式的除法运算，即，根据二次根式除法法则，（，），此处可直接约分得出结果。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
点的坐标是，
，
四边形是矩形，
，
故选：C．
【分析】
连接，先借助勾股定理计算得到，再根据矩形对角线相等的性质，即可推出.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断①；根据菱形判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②；根据有一组邻边相等的矩形是正方形可判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形可判断④.
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案：B.
【分析】
根据题意可得，且三个角满足和为，由此可以计算得出。接下来结合平行线的性质，能够推出，最后再利用平行线同旁内角互补的性质，得到，据此即可算出最终答案。
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD，四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，FO=OG，HO=OE，
∴四边形AHOF是平行四边形，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形AHOF是矩形，
∴AH=OF，
∵阴影部分的面积是10，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【分析】
先证明四边形AHOF是矩形，根据矩形的性质可以得到AH=OF，再结合三角形的面积公式，可以推出OG2+OE2=20，据此即可完成求解。
13．【答案】81
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：因为 ，
等式两边同时平方得，
整理得．
【分析】
要求解满足该等式的实数a，依据算术平方根的定义，对等式的左右两边同时进行平方处理，就能得到a的值．
14．【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：8．
【分析】
首先根据菱形的性质可以得到，由此可以证明是等边三角形，进而得到，最后代入菱形周长公式即可求出最终结果.
15．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】根据题意可得，，
∴四边形是菱形，
∴设和交于点O，
∴，，
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：24．
【分析】
先根据题目给出的条件推出四边形是菱形，由此可以得到对角线互相垂直，即，同时菱形对角线互相平分，因此；接下来结合勾股定理计算可得，由此可以算出对角线，最后代入菱形的面积公式就可以求出最终结果。
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：分为3种情况：
①当时，
∵为等腰三角形，是边上的高，，
∴，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
；
②当时，
则，
，
，
根据三角形外角性质得：，
这种情况不存在；
③如图所示，当时，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴，
∴，
当为等腰三角形时，或．
故答案为：或．
【分析】
需要分三种情况进行讨论：①，②，③，我们可以结合等腰三角形的性质与勾股定理完成求解。
17．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：在中， ，
∴，
的周长为
（2）解：∵、之间的距离为4，
∴ ，
∴ ，
点为线段的中点，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形对边相等的性质，可得，据此即可完成求解；
（2）先计算得出平行四边形，由此可推得，再结合点是线段的中点，即可完成求解。
（1）解：在中， ，
∴，
的周长为 ；
（2）解：∵、之间的距离为4，
∴ ，
∴ ，
点为线段的中点，
，
．
19．【答案】（1）2；
（2）解：如图，点P即为所求．
．
【知识点】实数在数轴上的表示；算术平方根的实际应用；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】
（1）
解：图1中长方形的面积是；
∴与长方形面积相等的正方形的边长是；
【分析】
（1）结合长方形面积公式，再根据算术平方根的定义，求出面积和对应正方形的边长
（2）根据圆的半径不变的性质，确定点P在数轴上的位置即可.
（1）解：图1中长方形的面积是；
∴与长方形面积相等的正方形的边长是；
（2）解：如图，点P即为所求．
．
20．【答案】（1）8
（2）解：在中，
，且 ，
，
是直角三角形，且，
点到的距离为．

【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】
（1）解：由题意得的周长为，
∵，
∴；
【分析】
（1）根据题目给出的条件，可知的周长为，结合已知的边长，就可以计算得出第三边AC的长度；
（2）计算出三边长度后，利用勾股定理的逆定理，可以证明是直角三角形，其中，据此就可以完成题目的解答。
（1）解：由题意得的周长为，
∵，
∴；
（2）解：在中，
，且 ，
，
是直角三角形，且，
点到的距离为．
21．【答案】（1）内角和
（2）解：①若，则的内角和为，
由题可得，的边数为条，
则的内角和为，
∴，解得，
即的值为2；
②由题意可得，
整理得，解得，
∴无论取何值，的值始终不变．
【知识点】整式的加减运算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
（1）解：因为的边数比多，所以的内角和比的大．
【分析】
（1）利用多边形内角和与边数的对应关系，计算得到对应结果；
（2）①先分别求出多边形和多边形的内角和，再通过作差计算得到结果；②把给定的n代入，分别计算出多边形和多边形的内角和后，可以发现计算结果和n无关，据此即可完成解答.
（1）解：因为的边数比多，所以的内角和比的大．
（2）解：①若，则的内角和为，
由题可得，的边数为条，
则的内角和为，
∴，解得，
即的值为2；
②由题意可得，
整理得，解得，
∴无论取何值，的值始终不变．
22．【答案】（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴点在点的右侧；
（3）解：①当点在点的左侧时，
在Rt中，，，，
∴，
∵，
∴；
②当点在点的右侧时，
同理，，
∴；
∴的长为2或6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算得到结果；
（2）在中，先结合直角三角形的相关性质以及勾股定理，计算得到边的长度，再据此对问题作出判断即可；
（3）需要按照题目对应的两种不同情况分别展开讨论，再借助勾股定理计算即可得到最终结果.
（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴点在点的右侧；
（3）解：①当点在点的左侧时，
在Rt中，，，，
∴，
∵，
∴；
②当点在点的右侧时，
同理，，
∴；
∴的长为2或6．
23．【答案】（1）解：在图1中，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴，
绳子长度；

（2）解：在图2中，
若物体升高，则此时，
在中，由勾股定理得，
答：滑块向左滑动的距离为．

【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）先设，那么可得，结合勾股定理列出方程，就可以解出对应边长；
（2）先根据题意求出运动后的长度，再借助勾股定理算出的长度，最终就能推导出的长度，完成解答.
（1）解：在图1中，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴，
绳子长度；
（2）解：在图2中，
若物体升高，则此时，
在中，由勾股定理得，
答：滑块向左滑动的距离为．
24．【答案】（1）解：如图1，
∵点D关于射线的对称点E，
，，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
在中，，
，
．
（2）解：倍，
证明：如图2，过点C作，交于点H，
∵，点D关于射线的对称点E，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
．
（3）的长为或
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形内角和定理；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】
（3）解：由对称可知，
，，
，
当时，
由（2）可知，；
当时，
如图3，
同理可得，
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）结合轴对称的性质、正方形的性质，再通过三角形内角和定理推导得到最终结果；
（2）过点C作，交于点H，先证明，再结合等腰直角三角形的性质就可以证得对应结论；
（3）需要分两种情况分别讨论：分别是和，两种情况下都可以借助轴对称的性质和等腰直角三角形的性质计算得到最终结果．
（1）解：如图1，
∵点D关于射线的对称点E，
，，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
在中，，
，
．
（2）解：倍，
证明：如图2，过点C作，交于点H，
∵，点D关于射线的对称点E，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
．
（3）解：由对称可知，
，，
，
当时，
由（2）可知，；
当时，
如图3，
同理可得，
综上所述，的长为或．
1 / 1河北唐山市2025—2026学年度第二学期期中学业水平评估八年级数学试卷
1．若是二次根式，则a的值可以是（　　）
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵是二次根式，
∴，
∴a的值可以是0．
故选：A．
【分析】
依据二次根式存在意义的条件，就可以算出正确结果。
2．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
【分析】
利用平行四边形对边平行的特点，结合平行线的相关性质，就可以推导出最终结果.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 无法计算，故此选项不合题意；
B、 ，故此选项不合题意；
C、 ，故此选项符合题意；
D、 ，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
4．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵将线段水平向左平移个单位长度得到线段，
∴，
故选：A．
【分析】
先根据平行四边形的性质得到，再结合菱形的性质可以推出，求出的长度后就能得到最终结果.
5．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（　　）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，
∴A项：，不满足要求，不符合题意；
B项：，满足要求，符合题意；
C项：，不满足要求，不符合题意；
D项：，不满足要求，不符合题意，
故选：B．
【分析】
结合正方形的面积公式与勾股定理可得，在图2当中，面积较小的两个正方形的面积之和，恰好等于最大正方形的面积，依据这个结论就能选出正确答案.
6．如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选答案：B.
【分析】
首先依据平行四边形的性质，得到，再证明为的中位线，根据三角形中位线的性质可以推出，代入边长即可算出最终结果。
7．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，，
四边形是菱形，
，．
故选：B．
【分析】
结合作图过程可以得出，四边形ABCD是菱形，再利用菱形的性质就可以完成求解。
8．已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【分析】本题考查正方形面积公式与二次根式的混合运算，正方形的面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根。首先根据正方形面积公式分别求出m和n的值：正方形M的面积为8，所以，化简二次根式得；正方形N的面积为32，所以，化简得。再将m和n的值代入代数式，先计算括号内的减法，得到，再进行二次根式的除法运算，即，根据二次根式除法法则，（，），此处可直接约分得出结果。
9．如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
点的坐标是，
，
四边形是矩形，
，
故选：C．
【分析】
连接，先借助勾股定理计算得到，再根据矩形对角线相等的性质，即可推出.
10．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断①；根据菱形判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②；根据有一组邻边相等的矩形是正方形可判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形可判断④.
11．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案：B.
【分析】
根据题意可得，且三个角满足和为，由此可以计算得出。接下来结合平行线的性质，能够推出，最后再利用平行线同旁内角互补的性质，得到，据此即可算出最终答案。
12．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　）
A． B． C．10 D．20
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD，四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，FO=OG，HO=OE，
∴四边形AHOF是平行四边形，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形AHOF是矩形，
∴AH=OF，
∵阴影部分的面积是10，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【分析】
先证明四边形AHOF是矩形，根据矩形的性质可以得到AH=OF，再结合三角形的面积公式，可以推出OG2+OE2=20，据此即可完成求解。
13．已知，则实数的值为　 　．
【答案】81
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：因为 ，
等式两边同时平方得，
整理得．
【分析】
要求解满足该等式的实数a，依据算术平方根的定义，对等式的左右两边同时进行平方处理，就能得到a的值．
14．小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为　 　．
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：8．
【分析】
首先根据菱形的性质可以得到，由此可以证明是等边三角形，进而得到，最后代入菱形周长公式即可求出最终结果.
15．如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】根据题意可得，，
∴四边形是菱形，
∴设和交于点O，
∴，，
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：24．
【分析】
先根据题目给出的条件推出四边形是菱形，由此可以得到对角线互相垂直，即，同时菱形对角线互相平分，因此；接下来结合勾股定理计算可得，由此可以算出对角线，最后代入菱形的面积公式就可以求出最终结果。
16．如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：分为3种情况：
①当时，
∵为等腰三角形，是边上的高，，
∴，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
；
②当时，
则，
，
，
根据三角形外角性质得：，
这种情况不存在；
③如图所示，当时，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴，
∴，
当为等腰三角形时，或．
故答案为：或．
【分析】
需要分三种情况进行讨论：①，②，③，我们可以结合等腰三角形的性质与勾股定理完成求解。
17．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，在中，为一条对角线，点为线段的中点．
（1）的周长为多少？
（2）已知、之间的距离为4，求．
【答案】（1）解：在中， ，
∴，
的周长为
（2）解：∵、之间的距离为4，
∴ ，
∴ ，
点为线段的中点，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形对边相等的性质，可得，据此即可完成求解；
（2）先计算得出平行四边形，由此可推得，再结合点是线段的中点，即可完成求解。
（1）解：在中， ，
∴，
的周长为 ；
（2）解：∵、之间的距离为4，
∴ ，
∴ ，
点为线段的中点，
，
．
19．在图1和图2所示的网格中，已知每个小正方形的边长均为1．
（1）图1中长方形的面积是_____，与长方形面积相等的正方形的边长是_____；
（2）在图2的数轴上作出（1）中正方形所对应边长的对应数值（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）2；
（2）解：如图，点P即为所求．
．
【知识点】实数在数轴上的表示；算术平方根的实际应用；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】
（1）
解：图1中长方形的面积是；
∴与长方形面积相等的正方形的边长是；
【分析】
（1）结合长方形面积公式，再根据算术平方根的定义，求出面积和对应正方形的边长
（2）根据圆的半径不变的性质，确定点P在数轴上的位置即可.
（1）解：图1中长方形的面积是；
∴与长方形面积相等的正方形的边长是；
（2）解：如图，点P即为所求．
．
20．用一根长为的绳子围成，已知．
（1）的长为_____．
（2）求点到的距离．
【答案】（1）8
（2）解：在中，
，且 ，
，
是直角三角形，且，
点到的距离为．

【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】
（1）解：由题意得的周长为，
∵，
∴；
【分析】
（1）根据题目给出的条件，可知的周长为，结合已知的边长，就可以计算得出第三边AC的长度；
（2）计算出三边长度后，利用勾股定理的逆定理，可以证明是直角三角形，其中，据此就可以完成题目的解答。
（1）解：由题意得的周长为，
∵，
∴；
（2）解：在中，
，且 ，
，
是直角三角形，且，
点到的距离为．
21．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
（1）嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的_____比的大．”（填“内角和”或“外角和”）
（2）设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
【答案】（1）内角和
（2）解：①若，则的内角和为，
由题可得，的边数为条，
则的内角和为，
∴，解得，
即的值为2；
②由题意可得，
整理得，解得，
∴无论取何值，的值始终不变．
【知识点】整式的加减运算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
（1）解：因为的边数比多，所以的内角和比的大．
【分析】
（1）利用多边形内角和与边数的对应关系，计算得到对应结果；
（2）①先分别求出多边形和多边形的内角和，再通过作差计算得到结果；②把给定的n代入，分别计算出多边形和多边形的内角和后，可以发现计算结果和n无关，据此即可完成解答.
（1）解：因为的边数比多，所以的内角和比的大．
（2）解：①若，则的内角和为，
由题可得，的边数为条，
则的内角和为，
∴，解得，
即的值为2；
②由题意可得，
整理得，解得，
∴无论取何值，的值始终不变．
22．如图，在矩形中，，，为该矩形的一条对称轴．过点作直线，交直线于点，已知．
（1）求矩形的面积．
（2）请判断点是在点的左侧还是右侧，并说明理由．
（3）若直线绕点旋转，使，请计算的长．
【答案】（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴点在点的右侧；
（3）解：①当点在点的左侧时，
在Rt中，，，，
∴，
∵，
∴；
②当点在点的右侧时，
同理，，
∴；
∴的长为2或6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算得到结果；
（2）在中，先结合直角三角形的相关性质以及勾股定理，计算得到边的长度，再据此对问题作出判断即可；
（3）需要按照题目对应的两种不同情况分别展开讨论，再借助勾股定理计算即可得到最终结果.
（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴点在点的右侧；
（3）解：①当点在点的左侧时，
在Rt中，，，，
∴，
∵，
∴；
②当点在点的右侧时，
同理，，
∴；
∴的长为2或6．
23．实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度．
初始状态 （图1）垂直，且，设．
实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略．
任务：
（1）求绳子的总长度；
（2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
【答案】（1）解：在图1中，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴，
绳子长度；

（2）解：在图2中，
若物体升高，则此时，
在中，由勾股定理得，
答：滑块向左滑动的距离为．

【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）先设，那么可得，结合勾股定理列出方程，就可以解出对应边长；
（2）先根据题意求出运动后的长度，再借助勾股定理算出的长度，最终就能推导出的长度，完成解答.
（1）解：在图1中，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴，
绳子长度；
（2）解：在图2中，
若物体升高，则此时，
在中，由勾股定理得，
答：滑块向左滑动的距离为．
24．如图，四边形是正方形，过点C在正方形的外侧作射线，作点D关于射线的对称点E，线段交射线于点M，连接交直线于点F．
（1）如图1，若，求和的度数；
（2）当时，先猜想是的多少倍，再加以证明：
（3）若，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：如图1，
∵点D关于射线的对称点E，
，，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
在中，，
，
．
（2）解：倍，
证明：如图2，过点C作，交于点H，
∵，点D关于射线的对称点E，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
．
（3）的长为或
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形内角和定理；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】
（3）解：由对称可知，
，，
，
当时，
由（2）可知，；
当时，
如图3，
同理可得，
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）结合轴对称的性质、正方形的性质，再通过三角形内角和定理推导得到最终结果；
（2）过点C作，交于点H，先证明，再结合等腰直角三角形的性质就可以证得对应结论；
（3）需要分两种情况分别讨论：分别是和，两种情况下都可以借助轴对称的性质和等腰直角三角形的性质计算得到最终结果．
（1）解：如图1，
∵点D关于射线的对称点E，
，，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
在中，，
，
．
（2）解：倍，
证明：如图2，过点C作，交于点H，
∵，点D关于射线的对称点E，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
．
（3）解：由对称可知，
，，
，
当时，
由（2）可知，；
当时，
如图3，
同理可得，
综上所述，的长为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑