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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二次函数
一、选择题:（每小题3分 共30分）
1．（本题3分）已知函数是二次函数，则m等于（ ）
A． B．2 C． D．
2．（本题3分）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（本题3分）由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小
4．（本题3分）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
6．（本题3分）已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（本题3分）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________．
12．（本题3分）二次函数，若点，是它图象上的两点，则__ ．（填<、>、=）
13．（本题3分）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米．
14．（本题3分）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____．
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接）
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．
17．（本题7分）已知抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若随的增大而减小，试求的取值范围．
18．（本题8分）某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加1元，日均销售量减少5个，设该款篮球的销售单价增加元，请回答下列问题：
(1)写出该款篮球的日均销售量（个）与（元）之间的函数关系式：_____
(2)问当为多少元时，该款篮球日均利润的（元）最大，最大日均利润为多少元？
19．（本题8分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（本题8分）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”．
(1)下列是平衡点的是______；(填序号)
①， ② ③ ④
(2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标；
(3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．
21．（本题9分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标．
22．（本题9分）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：；
②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间t（第t天） 1 2 10 20 ……
日销售量y（件） 119 118 110 100 ……
(1)直接写出y与t之间的函数解析式；
(2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
(3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二次函数
一、选择题:（每小题3分 共30分）
1．（本题3分）已知函数是二次函数，则m等于（ ）
A． B．2 C． D．
解：∵函数是二次函数，
∴，且，
∴且，
∴．选:B
2．（本题3分）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
解：∵二次函数，
∴二次项系数，
又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根，
∴，
化简得，解得，
综上的取值范围是且．选:C
3．（本题3分）由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小
解：对于二次函数，其中，，，
，
抛物线开口向上，A选项错误；
顶点式的对称轴为直线，
对称轴为直线，B选项错误；
抛物线与轴交点，令代入解析式：，
与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误；
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，D选项正确
故选：D．
4．（本题3分）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是．选:B
5．（本题3分）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
解：当实心球落地时，，
即，
解得，，
因为水平距离不能为负数，
所以舍去，
则此次实心球训练的成绩为米．选:C
6．（本题3分）已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
解：将、代入公式，得，
∴顶点横坐标，
∵，
∴当时，h取最大值，最大值为，
即该小球达到的离地面的最大高度为，
故选：C．
7．（本题3分）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
解：∵直线经过点，
∴，解得，
∴直线，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线，
联立得，
解得或，
当时，，
∴，
∴抛物线与直线相交于点和点两点，
∴当时，，
故选：B．
8．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴该图象经过点；故①正确；
由图象可知：，
∵对称轴为，
∴，
∴；故②④错误；
∵图象经过点；
∴，故③正确；
故选B．
9．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，，故B正确，
∵二次函数的图象与轴交于正半轴，
∴，
∴，故A正确
∵，
∴，故C正确，
∵图象过点，
∴，
∴，
∴，故D错误．
10．（本题3分）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
解：由顶点坐标可设二次函数表达式为，
将代入解析式得，
，
解得，
∴该二次函数的表达式是．选:D
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（本题3分）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________．
解:由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为
根据正方形面积公式，可得：
展开整理得：
由的实际意义可知，
∴．
12．（本题3分）二次函数，若点，是它图象上的两点，则__．（填<、>、=）
解：将代入得：，
将代入得：，
∵，
∴．
13．（本题3分）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米．
解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，
∴过，，
∴，
∴，
∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，
当时，函数有最大值为，
∴铅球在运行中的高度最高大约为2米，
故答案为：2．
14．（本题3分）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____．
解：∵抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，
∴方程的解为，．
故答案为：，．
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接）
解：二次函数的图象开口向下，
，
∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上，
∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，，
∵，
∴．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．
（1）解：（1）由题意，得
，且，
解得，
当时，y是x的一次函数；
（2）由题意，得
，且，
解得，
当时，y是x的二次函数，
当时，，
解得，
纵坐标为64的点的横坐标．
17．（本题7分）已知抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若随的增大而减小，试求的取值范围．
（1）解：把点，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的解析式为．
（2）解：由得，该抛物线的对称轴为，
，
当时，随的增大而减小，
∴x的取值范围为．
18．（本题8分）某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加1元，日均销售量减少5个，设该款篮球的销售单价增加元，请回答下列问题：
(1)写出该款篮球的日均销售量（个）与（元）之间的函数关系式：_____
(2)问当为多少元时，该款篮球日均利润的（元）最大，最大日均利润为多少元？
（1）解：，
由题意得，，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
，
∵
当元时，存在最大值，最大值是3125，
∴当x为15元时，该款篮球日均利润的w（元）最大，最大日均利润为3125元．
19．（本题8分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴对称轴，
∴，
∴把代入，
∴，
即抛物线的表达式为；
（2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，
则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，
则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，
则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
20．（本题8分）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”．
(1)下列是平衡点的是______；(填序号)
①， ② ③ ④
(2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标；
(3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．
（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点是“平衡点”．
故答案为：①④；
（2）解：将点代入关系式，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为.
∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”，
∴，
即或，
解得或，
则，
所以另一个“平衡点”的坐标是；
（3）解：或．
∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，
∴，
∴或，
即或
当，且时，
解得；
当，且时，
解得．
所以a的取值范围是或．
21．（本题9分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标．
（1）解：将点，代入得，
，解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：∵，
抛物线的顶点坐标为；
（3）解：，
，
设点到轴的距离为，则，
解得，
当点在轴上方时，，
解得，
点的坐标为；
当点在轴下方时，，
解得，，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标是或或．
22．（本题9分）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：；
②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间t（第t天） 1 2 10 20 ……
日销售量y（件） 119 118 110 100 ……
(1)直接写出y与t之间的函数解析式；
(2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
(3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果．
（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，
∴设y与的一次函数关系式为：，
将，代入得，
，
解得，，
∴；
（2）解：根据题意得，，
当时，
，
当时，
，
∴，
当时，
，
∵，
∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小，
时，．
当时，
，
∵，
∴W随t的增大而减小，
时，．
∵，
∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元；
（3）解：当时，，
令，
∴，
∴，，
∴符合题意；
当时，，
令，
∴，
∴时，符合题意，
∴当时，日利润不低于4000元，
∴共有：（天）．
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