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第一章 集合与常用逻辑用语
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.给出下列说法，其中正确的有（ ）
A. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 B. 正偶数的全体可以构成一个集合
C. 中国经济发达的城市可以构成一个集合 D.大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合
【答案】B
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可.
【详解】B中的元素具备确定性，可以构成集合，B正确.
A中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，A错误.
C中经济发达的标准不确定，所以不能构成一个集合，C错误.
D中的元素具备确定性能构成集合，D错误.
故选：B
2.设集合，，若，则实数m的值不可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果.
【详解】，，
因为，且集合中至多有一个元素，所以或或，
若，则；
若，则；
若，则；
故选：C.
3.是有理数集，是实数集，命题，，则（ ）
A.是真命题，，
B.是真命题，，
C.是假命题，，
D.是假命题，，
【答案】C
【分析】根据特值可判断命题的真假，再结合命题的否定的概念可得.
【详解】命题，，
由，，则命题为假命题，
且命题的否定为，，
故选：C.
4.《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】读懂古文的含义，根据充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件，
故选：A
5.下列是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A. B.
C.自然数都大于零 D.分数是有理数
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的特征，以及真命题判断方法结合选项逐一求解.
【详解】对于A，该命题是全称量词命题，当时，，即该命题是假命题，故A不合题意；
对于B，，其中“”是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故B不符合题意；
对于C，该命题是全称量词命题，因0是自然数，但并不大于，即该命题是假命题，故C不符合题意；
对于D，“分数是有理数”可理解为“任意一个分数都是有理数”，是全称量词命题；
因有理数是整数和分数的统称，所以分数一定是有理数，该命题为真命题，即D符合题意.
故选：D.
6.在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解.
【详解】根据题意可知集合中有两个元素，
又，，所以，
则.
故选：A.
7.“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.m<1
C. D.
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论.
【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件
为，解得，
又是的充分不必要条件，
故选：.
8.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题；
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“，”得，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.（多选题）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A.集合C的所有非空真子集个数是2 B.集合C的所有非空真子集个数是6
C.集合C的所有子集个数是4 D.集合C的所有子集个数是8
【答案】BD
【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可.
【详解】由题意，，
因为，
所以，
当时，，合题意，
当时，，，
因为，
所以或，所以或，
故．
集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，
集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.
故选：BD.
10.（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. B.所有的正方形都是矩形
C. D.至少有一个实数，使
【答案】AC
【分析】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命题.
【详解】对A：该命题的否定为，是全称量词命题，
又，故为真命题，故A符合要求；
对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求；
对C：该命题的否定为，是全称量词命题，
又，故为真命题，故C符合要求；
对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题，
故D不符合要求.
故选：AC.
11.［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（ ）
A. B. C.0 D.2
【答案】CD
【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可.
【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误；
若，则，不满足，B错误；
若，则，满足，C正确；
若，则，满足，D正确.
解法二： 当时，，所以，满足；
当时，此时，
若方程有两个相同实数根，则，
显然当时，方程根为，此时不满足，
当时，方程根为，此时满足，
若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以．
综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12.某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人．
【答案】5
【分析】利用Venn图即可求解．
【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示，
则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人．
故答案为：5.
13.已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，由，解得，符合题意
当时，或，解得；
综上，实数的取值范围为．
14.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 .
【答案】.
【分析】按定义解题即可.
【详解】由定义可知.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，则A中至少还有几个元素？
(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.
【答案】(1)两个；
(2)不是，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得.
（2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可.
（3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得.
【详解】（1）由，得，则，因此
所以A中至少还有两个元素为，.
（2）不是双元素集合．理由如下：
由，得，则，
而且，，即，，
于是，由，得，则，
因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合．
（3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且，
依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为，
则，，且，
于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为，
由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或．
此时，，，依题意，，
整理得，即，解得或或，
所以集合A中的元素为.
16.（15分）证明：，，，是等式恒成立的充要条件．
【答案】证明见解析.
【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【详解】证明：充分性：
若，，，，
则等式自然恒成立．
必要性：
由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式，
得
由此，可得，，，．
故，，，是等式恒成立的充要条件.
17.（15分）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”．
(1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由．
(2)设集合A是“好集”，求证：若，则．
(3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由．
【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)命题“若，则”为真命题，理由见解析
【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可.
【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下：
因为，，，
所以集合B不是“好集”．
有理数集Q是“好集”，理由如下：
因为，，对任意，，都有，且时，，
所以有理数集Q是“好集”．
（2）因为集合A是“好集”，所以．
若，则，即，
所以，即，命题得证．
（3）命题“若，则”为真命题，理由如下：
当x，y中有0或1时，显然有．
当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，，
所以，所以．
所以由（2）可得，同理得，
当或时，显然有．
当或时，显然有，
所以，所以，
由（2）得，所以．
综上得时，．
18.（17分）已知集合，
(1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由
(2)是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由，
(3)是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由，
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)存在；
(3)存在；
【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，得到，转化为，列出不等式组，即可求解；
（3）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则．
故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件．
（2）因为，故，故．
是成立的充分不必要条件得，故，解得，
故，即m的取值范围为．
（3）因为，故，故．
是成立的必要不充分条件得，故，解得，
故，又，故m的取值范围为．
19.（17分）设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质.
(1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由；
(2)已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可）
(3)已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10.
【答案】(1)集合不具有，集合具有，理由见解析；
(2)（答案不唯一）
(3)证明见解析
【分析】（1）根据的含义直接验证即可；
（2）写出集合并根据的含义验证即可；
（3）转化为证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个，举例，证明从每个集合中选出的元素不超过2个即可.
【详解】（1）对于集合，
因为，所以集合不具有性质.
对于集合，
因为，
所以集合具有性质.
（2）以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)：
，
，
取其中3个，
证明：满足题意，因为，，，
，，，
则具有性质，同理可证明满足题意.
（3）将集合分成如下的5个集合：
.
要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个.
以为例，该集合超过2个元素的子集有：，
因为，则这些子集均不具有性质.
其余4个集合同理.
因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个.
综上，集合中的元素个数不大于10.
【点睛】关键点点睛：本题（1）（2）问的关键是充分理解的含义，再代入证明即可.
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第一章 集合与常用逻辑用语
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 1.给出下列说法，其中正确的有（ ）
A. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 B. 正偶数的全体可以构成一个集合
C. 中国经济发达的城市可以构成一个集合 D.大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合
2.设集合，，若，则实数m的值不可以是（ ）
A. B.
C. D.
3.是有理数集，是实数集，命题，，则（ ）
A.是真命题，，
B.是真命题，，
C.是假命题，，
D.是假命题，，
4.《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A. B.
C.自然数都大于零 D.分数是有理数
6.在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.m<1
C. D.
8.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.（多选题）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A.集合C的所有非空真子集个数是2 B.集合C的所有非空真子集个数是6
C.集合C的所有子集个数是4 D.集合C的所有子集个数是8
10.（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. B.所有的正方形都是矩形
C. D.至少有一个实数，使
11.［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（ ）
A. B. C.0 D.2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12.某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人．
13.已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
14.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，则A中至少还有几个元素？
(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.
16.（15分）证明：，，，是等式恒成立的充要条件．
17.（15分）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”．
(1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由．
(2)设集合A是“好集”，求证：若，则．
(3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由．
18.（17分）已知集合，
(1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由
(2)是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由，
(3)是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由，
19.（17分）设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质.
(1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由；
(2)已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可）
(3)已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10.
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