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微专题6 旋转与证明(一)
1.如图，将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α，连接BB'，过点D作DE⊥BB', 垂足为点E, 连接DB', CE, 求证: △DEB'是等腰直角三角形.
2. 如图,Rt△ABC中, ∠ACB= 90°, 将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC, 点D落在线段AB上, 连接BE.
(1)求证: DC平分
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由.
3. 如图, 在等腰Rt△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC, D在边CA的延长线上, E在边AB上,AD=AE, 连接DE.
(1)如图1，连接BD，CE，△ABD可以由△ACE旋转得到，请写出旋转中心、旋转方向与旋转角度；
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转，当直线DE经过BC的中点F时，连接BD，如图2，求证：BD//AE.
微专题 7 旋转与证明(二)
1.(1)如图1, 等边△ABC, 点P在△ABC的左侧, 且∠APC=30°. 将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△AQB, 画出图形;
(2)在(1)的条件下, 求证: PB=AC;
(3)如图2, 等边△ABC, ∠AMC=60°,AM=6, CM=4, 则BM的长为 .
2.(1)如图1, 点P是等边△ABC内一点, PA=3, PB=4, PC=5, 求∠APB的大小. 可以将△CPB绕点B逆时针旋转 60°得到△AP B, 连接P P, 可求出∠APB的度数, 则∠APB的大小是 ；
(2)如图2, 点P是正方形ABCD内一点, ∠APB=135°, PB=2,PC=3, 求PA的长.
3.【问题提出】 如图1, 在△ABC和△DEC中, ∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC, 点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段BF，AF，CF之间存在怎样的数量关系
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图2，当点D，F重合时，直接写出表示AF，BF，CF之间的数量关系式；
(2)再探究一般情形，如图1，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立.
微专题8 旋转与证明(三)
1. 问题背景: (1)如图1,△ABC与△DCE都是等边三角形, 求证: △ACD≌△BCE;
变式迁移: (2) 如图2, 点E为等边三角形ABC外一点, ∠BEC= 60°, 求证:
2. 已知△ABC中,AB=AC.
问题背景: (1)如图1, 点E为边AB上一点, 过点E作EF∥BC交AC于点F.
①直接写出BE和CF的数量关系 ；
②将△AEF绕点A逆时针旋转一个角度如图2，探究BE和CF和数量关系并给出你的证明.
问题探究: (2)如图3,∠BAC=120°, 点F为边AB上一动点, 点E为线段FC的中点, 过点E作ED⊥AE,连接AD,∠D=30°,求证: 点D在线段BF的垂直平分线上.
问题拓展:(3)如图4, 点E为△ABC内一点, ∠AEB=90°, 连接CE并延长交AB于点F, FE=EC，请写出线段AE与BC的数量关系，并加以证明.
1. 证明: ∵AB=AB', ∠BAB'=α, ∴∠AB'B=∠ABB'= 90°-α/ .∵∠BAD= 90°, ∴∠B'AD=α-90°.∵AD=AB', ∴∠AB'D=∠ADB'= 135° ∠EB'D=45°. ∴△DEB'是等腰直角三角形.
2. (1)证明: ∵△DCE是由△ACB旋转得到,∴CA=CD, ∠A=∠CDE. ∴∠A=∠CDA.
∴∠CDA=∠CDE. ∴DC平分∠ADE. (2)BE⊥AB.理由: 设∠A=α,∵∠ACB=90°, ∴∠ABC= 90°-α. ∵CA=CD, ∴∠CDA=∠A=α.∴∠ACD = 180°-2α. ∵∠DCE =∠ACB =90°, ∴∠BCE=∠ACD= 180°-2a.∵CB=CE, ∴∠CBE=∠CEB=α.∴∠ABE=∠ABC+∠CBE= 90°. ∴BE⊥AB.
3. (1)△ABD是由△ACE绕点A逆时针旋转90°得到的.(2)连接CE, 延长EF至点G, 使FG=FE, 连接BG.
∵BF=CF,∠BFG=∠CFE,FG=FE,∴△BFG≌△CFE, ∴∠FBG=∠FCE, BG=CE. ∵AB=AC,∠BAD= 90°-∠BAE=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE, BD =CE,∴BD=BG, ∴∠BDG=∠BGD, ∵∠DBG=∠ABD+∠ABC+∠FBG=∠ABC+∠ACB=90°, ∴∠BDG =∠BGD = 45°, ∴∠BDG =∠AED, ∴BD∥AE.
微专题7 旋转与证明(二)
1.(1)略.(2)证明:连接PQ,∵△APC≌△AQB,∴∠AQB=∠APC= 30°, ∴∠AQB=∠PQB=30°, ∵AQ =PQ, QB =QB, ∴△AQB≌△PQB, ∴PB=AB, ∴PB=AC.(3)2 9或2
2.(1)150°(2)将△ABP绕点B顺时针旋转90°,得到△CBE, 连接PE, 则△CBE≌△ABP,AP=CE, ∠BEC=∠APB= 135°, BE=BP= 2,∠PBE= 90°,. ∠PEB= 45°, ∴∠PEC= 90°, 1,∴AP=EC= 1.
(2)由(1)知∠CAF=∠CBE,BE=AD.过点C作CG⊥CF交BF于点G,
∵∠FCA+∠ACG=90°,∠ACG+∠GCB= 90°, ∴∠ACF=∠GCB.
∵∠CAF=∠CBE,BC=AC,∴△BCG≌△ACF(ASA). ∴GC=FC, BG=AF. ∴△GCF为等腰直角三角形，∴GF= CF.∴BF=BG+GF 即
微专题8 旋转与证明(三)
1. 证明: (1)∵△ABC与△CDE均为等边三角形, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE.(2)延长EB至点D,使ED=EC,连接CD,AD,过点A作AH⊥BD,交BD延长线于点H.∵∠BEC= 60°, ∴△CDE为等边三角形. ∵△ABC为等边三角形,∴同(1)可证△ACD≌△BCE,∴AD=BE, ∠ADC=∠BEC= 60°. ∵△CDE为等边三角形, ∴∠CDE= 60°, ∴∠ADH= 180°-∠ADC-∠CDE= 60°, ∵AH⊥DE, ∴∠HAD=30°, 又
2.(1)①BE=CF;②BE=CF.证明:∵∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF,∴∠BAE=∠CAF,在△BAE(ABACEM=∠CAF, ∴△AAB≌和△CAF 中,△CAF(SAS), ∴BE=CF
(2)证明: 延长DE至M使得EM=DE,连接AM,MC,BD,FD.∵EF=EC,DE=EM,∠FED=∠MEC,∴△FED≌△CEM, ∴MC =FD. ∵DE =EM, AE⊥DE, ∴AD=AM, ∵∠ADE=30°, ∴∠DAM=∠BAC= 120°, ∵AB=AC, 同 (1) ②可证△ABD≌△ACM, 则BD=CM=FD, ∴点D在线段BF的垂直平分线上.
(3) 证明：延长BE至M,使EM=BE,连接AM,CM.过A作AN⊥BC于点N, 易证△BEF≌△MEC.∴∠ABE=∠CMB,BE=EM.∵AE⊥BE,∴AM=AB=AC, ∴B、M、C在以A为圆心,AB为半径的圆上， ∵AN⊥BC, AB =AC, ∴∠BAN= ∠BAC, ∴∠CMB=∠BAN=∠ABE,∴△ABN≌△BAE,

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