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专家引领
专题六《概率》研修要点
省课程专家 颜峰 吕学江
今天，我们将与老师们一起研读《概率》专题。
概率在我们应用数学中占有很重要的位置，用概率的知识预测随机事件发生的可能性大小，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用。学习概率知识，无论是今后继续深造还是参加社会工作都是十分必要的。
与代数、几何、统计一样，概率的学习也是梯次递进、螺旋上升的，循序渐进达到课程目标。从学段课标要求来看，1—3年级只要求学生对数据统计过程有所体验，学会一些简单的收集、整理、描述数据的方法；初步体验不确定性，知道事件发生的可能性有大有小，会描述简单事件发生的可能性。4—6年级提高为经历简单数据的统计过程，能合理的收集、整理、描述数据并作出自己的分析与预测；能表达一些简单事件发生的可能性，对简单事件发生的可能性作出预测并说出理由。到7—9年级则要求学生从事收集、描述、分析、评价数据的全过程，体会抽样的必要性和用样本估计总体的思想；具体计算事件发生的概率，体会“大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值”，建立正确的概率直觉。
初中学段对对概率的学习分三个层次：
一、体验并明晰生活中存在着不确定现象。
事件发生的可能性是学生在现实生活中常有体验并具备一定的判断经验的，他们能够用诸如“肯定”、“不一定”、“不可能”、“偶尔”、“可能”的语言来描述。例如，从一只装有10个红球的纸盒中任意摸出一球，一定是红球吗？再加5个黑球，任意摸出一个，可能是黑球吗？可能是黄球吗？
我们教学时需引导学生用“一定”、“可能”或“不可能”表达，依据学生生活经验，也可以制作教具动手操作，让他们有直观的判断，从中验证推断的合理性。
二、知道事件发生的可能性是有大小的。
例1 从一只装有9个红球和1个黑球的纸盒中摸出一球，摸到红球、黑球的可能性一样吗？摸到哪种颜色球的可能性大些？
例2 抛出一枚硬币，落地后朝上的面一定是国徽吗？可能性有多大？
例3 某商场有奖销售，奖券中奖率为，小明摸了10张，一定能中奖吗？可能性大吗？小红摸了1张，一定中奖吗？可能性大不大？
三、定量刻画事件发生的可能性——概率。
从知道事件发生的可能性有大小之分，到具体刻画其可能性的特征量——概率，是从定性描述到定量刻画的重要过渡。教学时，要通过大量丰富的生活实例，让学生经历猜测、试验操作、收集与分析结果、合理表达的过程、体验、认可事件发生的可能性，在此基础上，会求一些简单事件发生的可能性。
例4 从一只装有5个红球和5个黑球的纸盒中摸出一球，摸到红球的可能性有多大？
例5 在一只装有若干球的纸盒中，摸到一个红球的概率为，可以怎么放球？
实际教学中，对于概率的基本概念深浅的把握，古典概率与几何概率的理解，概率题目难易的设计，大量重复试验的必要性与教学时间有限的矛盾，老师们有不同程度的困惑、无措；教材编写资源不足，学生缺乏生活积累和知识经验，老师们也会或多或少的迷茫、无助。相信通过我们观看讲座、讨论交流、体会反思、实践探索，问题会迎刃而解。
热点聚焦
热点之一
关于统计学教学中的几个困惑和思考
山东省青岛第四中学????丁军生???
省课程专家陈杰推荐，理由：丁老师对解决统计教学中出现问题的建议，值得借鉴。
指导教师吴学峰推荐，理由：较详细的分析了统计教学中出现的问题，有自己的见解，值得推荐。
1．学生学习统计学的意识不够强烈，统计学的观念没有形成。
学生认为，统计学就是一个玩的过程，很简单，重视程度不够。因此在教学中，应充分让学生理解、体会统计学的意义：（1）统计与生活实际是密切联系的，它不仅体现的是学习，更重要的是体现了分组与合作，交流与协调以及提升学生的逻辑思维能力。（2）统计的学习强调的是让学生从事简单的数据收集、整理、描述、分析，以及根据统计结果进行判断和预测等活动。（3）通过收集数据的活动，学习收集数据的方法，感受收集数据结果的不确定性和多样性。（4）通过整理和描述数据的活动，学习表示数据的方法，体会统计图表在统计工作中的作用。（5）通过分析数据并根据统计结果进行判断和预测的活动，学习分析数据的方法，感受用统计量分析数据的合理性与可行性。（6）通过从事统计全过程的活动，让学生认识统计在社会生活和科学领域中的应用，感受自然界和社会中大量的随机性以及随机性中存在规律性的统计学最基本的思想，建立统计的观念。
2．突出过程和课堂教学时间短的矛盾。
统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程。根据统计的这个特点，统计教学内容的设计应该反映这个完整的过程。首先是数据的收集，然后是对收集到的数据进行整理和描述，最后对数据进行分析。在具体内容的处理上也应突出统计的基本过程，让学生经历收集数据，整理数据、描述数据和分析数据得出结论，利用结论进行合理预测和判断的统计过程。但是课堂时间过于短少，不可能实现完全实现统计教学的完整过程，这就需要合理的分配与调整。几点想法：
（1）课堂精选例题，特别选择贴近学生生活实际的事例进行解决，力争简明扼要处理教材知识。
（2）把课本中的统计知识尽可能让学生利用课余时间完成，通过分组合作收集数据，加强学生间的交流，充分体现统计学的意图。
（3）充分利用信息技术和多媒体技术。现在信息技术发展日新月异，使收集数据和处理数据变得更方便、更快捷，我们可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件制作统计表，绘制各种统计图以及进行相关统计实验。同时利用多媒体课件上课，达到图文并茂，形象生动，动静相宜，精彩直观，一目了然，克服常态教学的不足。
（4）结合研究性学习，加强学生收集数据，整理、分析数据，结合数据做出判断、预测的能力训练，让学生充分认识学习统计学的意义和作用，加强意识培养和能力养成。
3．统计学的教学内容是否整合？
北师大版教材中，初中三年的每一个阶段都渗透了统计学的知识，分析整个教材，发现这些知识完全可以分类整合，目前不少老师也是这样做的，比如到初二年级时，整个三年的统计知识已经全部学完了，这样有利于应付中考，节省时间，全面训练，无一遗漏。看似整合很有利。但是实际上呢？我们仔细的分析，不难发现，教材中关于统计学知识的设计非常符合学生的认知规律，循序渐进，渐次提升。整合的结果如果仅仅是为了应付考试，那实在是太可惜，完全脱离了设置统计学的目的和意义。北师版的教材在统计学的教学设置上具有严谨的科学性。我们看，“收集数据可以利用抽样调查，也可以进行全面调查；在描述数据中，可以用象形图、条形图、扇形图、直方图、折线图等各种统计图描述数据。”对统计过程中的任意一步，教材不可能在一个统计过程中全面介绍，因此教材采用得是循序渐进、螺旋上升的方式处理内容，在重复统计活动的过程中，逐步安排收集数据和处理数据内容。例如在分析数据中,将分析数据的集中趋势和离散程度采用螺旋上升的方式安排，在一个统计过程中，学习利用平均量分析数据的集中趋势，在另一个统计过程中，学习利用方差等统计量分析数据的离散程度；在利用统计图描述数据中，螺旋式安排条形图、折线图和扇形图；“频数与频数分布”在不同的时期介绍，首先数据较少，不需要分组情况下的频数与频数分布，然后数据较多，需要分组情况下的频数与频数分布等。这样在不断重复统计活动的过程中，就使收集数据、描述数据和分析数据的方法逐步完善，从而对数据的信息有更多的了解，为根据数据进行判断和预测提供更丰富的依据。
以上不成熟的思考，请各位老师指正。
关注过程 在做中学 在学中做
青岛市崂山区第四中学 陆典民
省级专家汤华财推荐，理由：统计与生活实际是密切联系的，在收集数据、处理数据以及利用数据进行预测、推断和决策的过程中包含着大量的活动，陆老师设计丰富多彩的实践活动，关注活动过程，引导学生在做中学，在学中做，认识统计在社会生活和科学领域中的应用，感受统计学最基本的思想，建立统计的观念。
赵美娟推荐，理由：我每天都很期待陆老师的文章，果然又不同凡响，读后受益匪浅，诠释了新的在学中做，在做中学，值得一读。
在统计板块的学习中我们必须遵循的原则就是：突出过程，强调活动；活动而不是概念，做而不是记忆，过程而不是结果。这也必然带来课时安排时间少，活动过程占用时间多的现象，说起来这也不算是矛盾，在工作中解决的办法有很多。
1．采用学案导学模式，先学后教。在学习本部分知识之前，首先以课题研究的形式，给学生出台导学提纲，给学生认识统计的基本概念和基本操作方法提供操作指导，为学生搭建操作支架，导学提纲中关注到学生的统计认知水平，同时设计适合学生的问题阶梯。
2．学生要建立自己的课题研究方案，其中详细介绍本课题研究的对象，抽取的样本，数据的分析方法，实践活动组织方法，考虑到影响结果的变量，人为因素的影响等，如课题《手中的零花钱》，我们针对学生“零花钱过多，乱花零花钱”的现象，设计实践统计活动课，让学生调查零花钱的来源、支出情况，分析零花钱的利弊，最后提出“培养勤俭节约，不乱花钱”的倡议和可行性方案。
课前准备阶段：学生确定研究内容，确定研究主题、研究内容。制定学生和家长的调查问卷、零花钱调查问卷、分组调查，收集相关数据、数据整理、制作课堂交流汇报材料。
课堂阶段：根据调查的方式和结果，采用多种方式准备向全班汇报交流。以小组为单位，不限形式，用自己认为最好的方法展示本小组的活动成果。结合调查数据进行科学分析，得到合理使用零花钱建议成果。课堂评价。收获体会交流。
整个教学活动紧凑，课堂富于生气，学生参与程度高，课堂效果好，学生的学数学用数学能力得到提高。
3．老师要站在全章或者知识模块的高度上，整合处理本部分的统计要求，布置统计课题实践。如果每一节课之前都有一个统计课题实践活动，显然也会增大学生的负担，甚至于因为时间问题，造成学生毛毛躁躁对待统计过程，也就失去了统计部分学习的意义。例如在《每周干家务活的时间》一章中，我布置了一个统计实践课题《调查崂山区家长对校车运营的意见和建议》，统计之处，首先让学生认识到本次统计运用到的统计知识和技能很多，让学生首先通读本章教材，结合课本，有侧重地运用本章知识进行统计分析，学生在具体统计过程中，有的重点突出抽样调查代表性，有的突出某种意见的频数和频率，有的突出数据的处理和图表的构建，甚至于学生设计了打分表，比较了不同车次服务质量高低和稳定性，真是精彩纷呈，这样老师在课堂汇总学习时，这些与本节课有关的例子，可以信手拈来，提高了学生的认知效率和课堂效果。
4．多媒体和网络的使用必不可少，有些调查统计如果能充分运用网络资源和多媒体辅助，可以很大程度地提高统计效率和科学性。现在学校微机室都能上网，实现了班班通，学生也学会了利用贴吧等途径进行简单的数据统计，也学会了使用相关软件进行数据处理，成果的展现形式也是精彩纷呈。
总之，学生对统计部分的学习积极性非常高，他们很乐意在纷杂的数据中发现规律，正所谓在学中做，在做中学，他们充分享受着这个过程。
四条措施解决课堂时间短与统计活动时间长矛盾
山东省青岛市第三十四中学????张全红
省课程专家陈杰推荐理由：张老师总结的解决“课堂时间短与统计活动时间长矛盾”的四条措施 很好，值得借鉴。
指导教师隋淑春推荐，理由：当一个老师用“心”去思考教学的话，时间就不是问题。张老师根据自己的教学经验，从四个方面阐述了如何解决教学与时间的问题，方法有效。
为解决课堂时间短与统计活动时间长这一矛盾，经过多年摸索，总结出以下四条措施：统计活动课外做、统计内容分工做、统计数据靠监督、统计数量靠合作。
如摸到红球的概率一课，我准备做四组统计活动。
活动一：密闭盒子内五红五黑十个球，除颜色外其余都相同，摇匀，从中任意摸出一个红球的概率是多少？
活动二：五红五黑十张扑克牌，背面花色相同，背面朝上，洗匀，任意抽取一张，抽到红牌的概率有多少？
活动三：密闭盒子内三红七黑十个球，除颜色外其余都相同，摇匀，从中任意摸出一个红球的概率是多少？
活动四：三红七黑十张扑克牌，背面花色相同，背面朝上，洗匀，任意抽取一张，抽到红牌的概率有多少？
一、统计活动课外做
课堂教学中有些统计活动用时过长，则放到课外做。本节课，四组活动，活动一二四放在课前以作业形式提前完成，课堂上对活动情况给与评价。活动三当堂完成，既激发学生的课堂活动的高涨情绪，同时解决统计时间过长导致课堂时间被占用的情况。
二、统计内容分工做
学生在完成活动一二四时被分成三个小组来完成，减轻了学生的课业负担，通过课堂上对活动情况给与评价，调动学生参与活动的积极性和主动性。
三、统计数据靠监督
三组活动是不是真实，如何监督？我采取的办法是各组派一名代表到其他组监督，发现问题及时反馈，确保数据真实性。
四、统计数量靠合作
课堂上进行活动三，如果每个学生都当着全班同学的面进行摸球活动，势必占用时间，我仍然采取分组合作的方式节省时间。准备完全相同的三组实验物品，同时分三组进行，合作得到一个试验次数较大的共同的结果。课下感兴趣的学生可以用其他两组的实验物品再进行试验。
唱好“1 2 3 4 5 6 7”实现“统计课堂高效率”
菏泽市牡丹区二十二中 张存彪
省课程专家郑立平推荐，理由：从文章看，张老师应该是一位经验丰富且善于思考和积累的数学教师，这篇总结的题目新颖有趣，内容深刻有序，思路特别清晰，观点也非常独到，举例典型恰当，分析透彻，方法操作实用，给大家以思考和启示。我们所谓智慧的数学教师，首先应是像这样的反思型的教师。
指导教师李向军推荐，理由：方法得当，新颖、实用，对教材熟悉熟练把握，谈出了自己的切身感受，值得我们大家反思和借鉴！
《统计》部分核心：“数据而不是数字；活动而不只是概念；做而不是记忆；过程而不只是结果”。数据、活动、做、过程需要的是时间。而且初中学生越来越希望通过自己的探索和思考来解决问题，因此我们要留给学生足够的独立思考和探索的时间和空间，但是对于数据的收集统计时间较长，往往课上的时间不够。在教学过程中，如何解决课堂时间短与统计活动时间长这一矛盾呢？以下七点建议供大家参考。
1．精心设计与课堂教学有关的课前准备活动和课后巩固活动。如在学习“抛硬币正面朝上的概率”时，本实验需要多次进行抛硬币实验，在课上很难有多余的时间进行，所以让学生自己在家中抛50次一元硬币（统一硬币的大小），并记录下所得到的实验数据，在课上让学生展示自己的得到的数据，并将全班所有学生的数据对应相加，就得到了几千次的数据。这样既节省了时间，又符合统计学习“由被动接受变为主动探究”的特点。
2．缩短对于教材上部分内容的讲解时间。（1）统计这一部分的例题不象其它的数学问题那样有严谨的结构和固定的解题套路，实践性强，结构较松散，而且涉及的数据量较大，需要整理分析的内容多，因此对一这部分的例题的讲解不易过于详尽；（2）避免对有关术语进行严格表述，避免强化各种专业性术语和单纯的技巧性学习。这样既节省了时间，又能留给学生足够的独立思考和探索的时间和空间。
3．让学生组成“社团”去搞调查，培养学生的兴趣，让学生亲身经历一次数据的收集、整理的完整的过程。这样既节省课堂教学时间，又将问题置于实际背景中，培养学生统计方法的实际运用能力。
4．创造性的使用教材，对教材进行整合，采用类比的方法得到规律。在统计学这一部分的例题、练习题和习题中，有一部分题目对学生知识技能的训练是重复的（不是简单重复，其侧重点可能不同），而统计学的知识注重的是掌握思想和实际操作，在这种情况下，重复训练可能会给学生造成负担，并浪费教学时间。对于这种情况，我们可以对教材进行适当整合。例如：10.1统计调查一节中的问题2和问题3中，都是调查观众对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况的问题，这两个问题数据分析过程是完全一样的，只是在收集数据时所采用的抽样方法不同，如果我们把这两个问题整合在一起进行教学，不但可以缩短教学时间，而且还可以让学生对不同的问题采用不同的抽样方法的必要性有个清晰的认识。同样的，对于一些练习题和习题，它们大多是要求学生实际调查的，其劳动量很大，而且很费时，因此，我们也可以从中找几个典型的题目让学生去完成，而用学生收集到的数据去间接的完成其它题目，达到既高效完成教学任务，又让学生体验类比思想。
5．对于较复杂的问题，要指导学生通过媒体查询获得。《统计》部分教学中强调“结合现代信息技术”。如：根据往年菏泽6月份的气温记录，预测今年菏泽6月份的气温情况。这个问题比较复杂，可以指导学生通过电脑网络进行查寻。对于较复杂的数据可让学生应用计算器，减少计算时间，使学生将时间重点放在数据的整理与分析上。这也符合新课程教学内容和要求：“增加用计算器处理统计数据”。不但省时，而且培养了学生应用现代信息技术的能力。
6．对于画统计图的内容，教师可多做指导，或者画出部分图形由学生补充完整。这也符合新课程教学对统计图的要求：降低画图要求，重视理解与运用。同时可增加课堂上的互动气氛。
7． ……
总之，设计相关活动、缩短讲解时间、组成“社团”调查、类比整合教材、运用现代信技、教师辅助画图、相关知识迁移，7种“音符”完美结合，定能打造高效统计课堂。
以上是我在教学过程中的一点体会，有不恰当之处，敬请各位老师不吝赐教。
热点之二
加权平均数的教学策略之我见
滨州市滨城区第三中学????王兵???
省课程专家谢志平推荐，理由：加权平均数是现代社会应用比较多的一种统计量，学生在阅读报纸、观看电视时经常会碰到。王老师对本节课的教学重、难点的把握很准确，设计了"好"的问题引起认知冲突，加强加权平均数概念的教学。值得老师们阅读，教学中借鉴。好课最基本的一个标准：好的问题和自然地过程，这节课体现比较好。
?在平均数的教学过程中，我认为加权平均数的概念及其应用是这节课的重点而不是难点，这节课的难点是对权的概念及其作用的理解。在这节课的教学中，为了突出重点，突破难点，我就我自己的教学谈一点看法：
一、回到知识的原点,为加权平均数概念的得出做好铺垫
加权平均数是平均数的一类，因此一上课师生首先共同复习平均数的概念：平均数是统计中的一个重要概念。小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。接着给出平均数的表示形式。复习这个概念的好处有两个：一则可以将小学阶段的关于平均数的概念加以巩固，二则便于学生理解用数据与其权数乘积后求和作为加权平均数的分子。
二、步步推进，在认知冲突中辨析，得出加权平均数的概念
出示问题：某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表：
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
15
0.15
B
7
0.21
C
10
0.18
（１）人均耕地面积与总面积与人口总数有什么关系？（人均耕地面积=总面积/人口总数）
【提出这样的问题，是为了让学生准确把握人均耕地面积的计算。】
（２）这个市郊的总耕地面积和总人口各是多少？你能计算出人均耕地面积吗？
（３）?小明的做法：0.15+0.21+0.18/3=0.18有道理吗？为什么？
【在平均数的概念复习的基础上，再把问题中的求人均耕地面积分解成几个小坡度的问题上层层推进，在进一步辨析小明错误的基础上得出加权平均数的定义和计算公式。初步认识权是反映数据相对“重要程度”的一个指标。】
三、在生活中找到生长点，在解决问题中发展
为了更好的理解权的作用，我在下面根据权的三种形式，百分数形式、比例形式、在求区间平均数反面的应用每种形式各让学生探究一个例题，在探究中，使学生进一步理解权的作用以及加权平均数的意义。把一个新知识内化成学生经验的一部分，是需要时间和经验作沉淀的。就其中一个例题说明一下：
某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对Ａ，Ｂ，Ｃ三名候选人进行了三项素质测试。他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
? 测　?? 试　?? 成　?? 绩
Ａ
Ｂ
创　　新
70
85
综合知识
85
85
语　　言
85
70
根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试成绩得分按４∶３∶１的比例确定各人的测试成绩，如果你是公司的决策人，此时谁将被录用？
【在此问题的解决过程中，因为创新、综合知识、语言按不同的比例确定，所以权不同，后者说各部分的重要程度不同，所以这两个人虽然三种成绩总和相等，但他们的加权平均数是不同的。在实际问题中，体会权的作用。】
四、合理使用计算器
计算器可以使平均数的计算迅速、便捷，所以在教学中，统计这一章我允许学生使用计算器，但前提是必须把加权平均数的算式先写出来，防止只用计算器，忽视计算过程，不会用加权平均数的公式（在后面的学习中，还有方差的公式）。充分发挥计算器的强大的计算功能，把运用它的弊端降到最低。
突破难点的教学策略
私立济南齐鲁学校?闫晖
省级专家褚爱华推荐,理由：有自己的见解。在分析难点成因时，对学请进行了分析，充分考虑到了学生已有知识会产生思维定势。教学设计如果能够涉及类比教学就更好了。推荐给大家学习。
指导教师谢经汤推荐，理由：对加权平均数是难点的关键所在“对权的理解”定位非常准确，所设计的帮助学生理解难点的几个实例非常恰当、实用，有智慧的策略，难点不难了。
加权平均数在教学过程中是个难点，难点之一是小学阶段学习的平均数叫算术平均数，它会对加权平均的求法带来一定的影响；难点二体现在对“权”的理解上。结合教学经历我的教学策略主要体现在两个方面，一是克服思维定势，二是体会权兼顾了解权的类型，下面具体说明。
1．克服思维定势
首先给出一个缺少条件的题目：
例：书架上经济学类书籍平均价格35元，数学类书籍平均价格为25元，问经济与数学类书的平均价格为多少元？
由于思维定势一部分同学很快反应出的是（35+25）/2=30元，有些学生可能说本题无法求解，这样同学间有争议，由此激起学生的求知欲：到底如何正确求解？如何才能找到错误的症结所在？此时需要学生思考什么是平均数，结合本题如何求平均数的定义。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。结合本题目首先要找到总价值，根据已知这是不可能完成的任务，这时犯错误的同学才能恍然大悟：这里是个陷阱！
2．通过不同类型的例子体会权
依据教材的编排和学生的情况将教材中三种类型的题目以如下方式呈现，其中在讲解时并不强调题目类型而是让学生体会权兼顾了解权的类型。重点以第二种类型为例说明采取何种策略让学生体会权。在此基础上由学生自己探索百分比型的权，对于次数型的权学生能把握，只需要找到其比重即可，锻炼了学生理论结合实际的能力。
次数型：
在前面分析的基础上让学生感受到已知的欠缺，培养学生通过平均数的定义补充已知条件的能力，比如经济学的书为5本，数学书为4本，也可以理解为经济学的书出现了5次，数学书出现了4次。学生补充条件后引入此类型。
?例：某射击运动员20次成绩如下：10环4次，9环8次，8环8次，问该名运动员的平均成绩。
?比例型：
例：某公司招聘英文翻译，对测试者进行了听说读写的水平测试，成绩如下：听85分，说83分，读78分，写75分，按照听、说、读、写成绩3:3:2:2的比确定，求其平均成绩。?
策略就是采取通俗的语言让学生理解权就是重要程度，本题中我们用数字来量化重要程度分别是3，3，2，2，说明听和说比读写要重要，这个用数字表示的重要程度在数学上我们给了它一个名称：“权”或者“权重”，英文表达是“weight”。
百分比型：
例：一次演讲比赛，评委按演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，各项成绩按百分制，然后再按演讲内容50%，演讲能力40%，演讲效果10%的比例，计算选手的综合成绩，一选手演讲内容85分，演讲能力95分，演讲效果95分，问该名选手综合成绩。
百分比型问题也属于比例型，满足比例型的公式，不难发现此时各比例之和为1。
介绍生活中的例子加深对权的理解
比如在一些体育比赛项目中，也要用到权重的思想。比如在跳水比赛中，每个运动员除完成规定动作外，还要完成一定数量的自选动作，而自选动作的难度是不同的，两位选手由于所选动作的难度系数不同，尽管完成各自动作的质量相同，但得分也是不相同的，难度系数大的运动员得分应该高些，难度系数实际上起着权重的作用。
说明：其实这里也是加深对权的理解，而且贴近学生生活，其实这些学生都熟悉，只是在没学习权之前，不知道这原来就是“权”，在学习权后学生不会意识它是“权”,但在这个过程中却加深了学生对权的理解，并让学生体会到数学和生活的联系。
有了权的概念后学生再来了解加权平均数的概念就水到渠成了。
教学策略的依据：将已有知识点算术平均数作为知识增长点，探索式学习新内容加权平均数，学生往往不重视自己的错误，通过这部分内容的学习让学生意识到错误也可以是进步的机会，换个角度看待自己的错误，你就有了意想不到的收获！
学生学习加权平均数的困惑与解决策略
巨野县龙固镇第一中学????张常玉
省课程专家罗寿果推荐，理由：张老师的难点突破，都是引用学生生活中的实例，让学生在活动中感知“权”的含义，明确“权”的意义，最后又加深巩固。由易到难，层层递进。有效地激发了学生学习的热情，具有较强的操作性！推荐学习！
指导教师孔庆龙推荐，理由：张老师先由“龙固一中九二班寒假数学平均成绩”的计算，初步使学生感知“权”的含义，然后进一步通过“元旦文艺汇演进行节目分数计算”使学生明确“权”的意义，进而通过最后一个题目对加权平均数及“权”的概念进行巩固、升华。设计目的明确，层层递进，难点各个击破！推荐了！
指导教师陈秀雪推荐，理由：叙述清楚，分析准确，方法合适，操作性强，具有实效性，值得学习。张老师的做法和认真的态度值得学习！
加权平均数是学生学习难点，难点在于：（1）对概念“权”的理解（2）对加权平均数影响的因素的理解。
难点的突破方法：
(一)?坚持统计学习的现实性和过程性原则，结合实际例子，让学生在活动中通过对比形成“权”和“加权平均数”
例如可以先让学生完成这样一个题目。
下面是龙固一中九二班寒假考试数学成绩：
85? 90? 76? 81? 85? 69? 102? 85? 90? 102? 110 ??85? 69? 81?
85? 98? 85? 102? 85? 81? 102? 98? 69 ??110? 76 ?115 81? 85
90? 102 80? 69? 115? 85? 76?? 81? 110?? 85? 85? 69? 85? 90
请你依据上面的数据信息求解龙固一中九二班寒假数学平均成绩？（精确到0.01分）
可能出现的情况
学生甲：（85+90+76+81+……+90）/42=88.19.
学生乙：（85×12+90×4+76×3+81×5+69×5+102×5+110×3+98×2+80+115×2）/42=88.19.
问题设计：
（1）平均数计算公式中分子是什么、分母又是什么？
? （2）你比较赞同哪个同学的做法？为什么？
通过学生讨论，教师点拨引出“权”和“加权平均数”：
一般地，对于f1个x1，f2个x2，…，fk个xn，且f1＋f2＋…＋fk=n个数组成的一组数据的平均数为(x1f1+x2f2+…….+xkfk)/(f1+f2+……+fk)
这个平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fn叫做权，这个“权”有权衡轻重之意，通俗的说就是所占的“分量”。
（二）坚持统计学习的实践性原则，在实践中加深对加权平均数的认识，提高学生应用新知识的能力。
学生认识了加权平均数以后，可以继续举例?加深理解“权”及“权”的差异对平均数的影响。
我校举行元旦文艺汇演进行节目选拔，要求是参选学生素质得分分为三部分：普通话100分、节目质量200分、综合素质100分。每个学生演出后的得分取各个评委所给分的平均数，下面是各评委给某个参选学生的分数。
某学生普通话成绩为80分，节目成绩为90分，综合素质成绩为95分。按规定普通话成绩在总成绩中占20%，节目成绩在总成绩中占50%，综合素质在总成绩占30%。问该学生这次演出总评成绩应为多少分？
这个例子接近于学生的实际，简单明了便于学生理解，能够让学生从中体会到各权50%、30%、20%对平均成绩影响的大小，“权越大，影响越大”，从而更好地理解权的意义及“权”的差异对平均数的影响。
（三）坚持巩固性原则，引导学生在理解的基础上牢固地掌握知识和技能，长久的保持在记忆中，能根据需要迅速再现出来，以利于知识技能的运用。
现举例如下：
龙固一中九二班第一学习小组有12人，一次数学测验成绩如下：85、96、74、100、96、85、79、65、74、85、65、80，试计算这12人的数学平均分。
学生展示：
解：（解法一）利用加权平均数公式得：
平均分＝（85×3+96×2+74×2+100+79+65×2+80）/12＝82（分）；
（解法二）每个数都减去80后建立新数组为：
5，16，－6，20，16，5，－1，－15，－6，5，－15，0，则新数组的平均数为：
（5×3+16×2-6×2+20－1－15×2）/12＝2．
所以原数组的平均分＝80＋2＝82（分）．
显然解法二简单，他没有直接利用加权平均数公式计算，而是以80为基准，每个数都减去80组成一个新数组，计算出平均数后，再加上80就得到原数组的平均数，真是柳暗花明又一村。也就是说当一组数字相对比较大的数组时，可以想办法，把较大的数字先降下来，再求平均数。这种化繁为简、化难为易的做法一方面可以使学生思维更敏捷，另一方面通过灵活的方法巩固了所学的知识。
我是这样突破加权平均数的教学难点的
诸城市龙源学校????徐宝
省课程专家姜仲平推荐，理由：徐老师抓住“权”的核心，围绕其意义、形式、作用、应用多角度展开教学活动的安排设计，有效突破难点的教学。一般来讲，概念教学的基本环节是：概念的引入、概念的形成、概念的明确、概念的表示、概念的巩固和应用。徐老师的活动体现的近乎全面而有效，值得学习借鉴。
指导教师王建光推荐，理由：分析有道理，解决一个'权'字，难点就突破了。说到底，权字没有什么“难”的。
我认为加权平均数是初中阶段平均数计算中的一个难点内容，因为学生从小学甚至学前班在算平均数时用的就是求算术平均数的计算方法，经过小学六年的时间，已经在脑海中根深蒂固，所以在初中阶段遇到求平均数的问题时往往不去进行深入的分析，而是直接利用算术平均数的运算公式加以计算，这种思维定势导致了学生在求加权平均数时经常失误。在这一部分的教学中，我是这样进行处理的：
（1）加深对概念的理解，最终落脚点在一个“权”字。权即权重，它表示某个数据在一组数据中的重要程度。在理解概念的同时，必须紧跟符合学生实际并经常发生在学生身边的实例。
例如：（一）王华同学本学期期中数学成绩98分，期末数学成绩110分，一学期结束取两次的平均数作为本学期数学成绩，那么本学期王华同学的数学成绩是多少？（二）王华同学本学期期中数学成绩98分，期末数学成绩110分，一学期结束取期中成绩25%，期末成绩75%作为本学期数学成绩，那么本学期王华同学的数学成绩是多少？
（2）理解权重对加权平均数的重要性，进一步加深学生对概念的理解。
例如：（三）王华同学本学期期中数学成绩98分，期末数学成绩110分，一学期结束取期中成绩40%，期末成绩60%作为本学期数学成绩，那么本学期王华同学的数学成绩是多少？
学生从上面的（二）（三）就可以看出，同样的数据，权重不同，结果就不一样，同时又可以看到权重越大，对平均数大小的影响就越大，反之就越小。
（3）了解权重在加权平均数中的多种表达形式，杜绝与算术平均数混淆。
例如：（四）为了增强市民的环保意识，龙源学校八年级五班的50名学生在今年6月5日（世界环境日）这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况．统计数据如下表：
每户丢弃旧塑料袋的个数
2
3
4
5
户? 数
6
16
15
13
请根据以上数据回答：
（1）50户居民每天丢弃废旧塑料袋的平均个数是______个．
（2）该校所在的居民区有1万户，则该居民区每天丢弃的废旧塑料袋约_____万个．
（4）适当加大学生的练习量，进一步巩固所学知识。
以下略．
百家争鸣
加权平均数的教学不难
东营市胜利第八中学????崔晓英
省课程专家吕学江推荐，理由：其一，在学生认知结构中，多是单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平，这在他们的生活经验里习以为常，这就为加权平均数的“介入”造成障碍。崔老师设计问题情境，通过与算术平均数的“类比”与“对比”促成加权平均数“登场”，引入顺畅，概念清晰；其二，崔老师安排几个现实生活中富有挑战性的问题，引导学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，较好的实现对加权平均数的本质把握。
加权平均数应用非常广泛，“权”的意义与运用学生不好把握，成为教学的难点。但教学中如果能理清好加权平均数与算术平均数联系与区别，应该是不难讲授的。下面是我在教学中的点滴体会，与大家一起分享。
一、“加权平均数”简言之就是计算一组数据的平均数的简化计算，引入并不困难，如先设计一系列较为简单的求平均数的题目：求下列数据的平均数：
（1）2，2，3，3，3，4，4，4，4，4.
（2）13，13，13，13，13，14，14，14，14，14.
学生讨论时会发现有简单的算法，略作引导可引入加权平均数。
二、要正确理解“权”的意义：“权”的应用非常广泛且并不陌生，常见的有：1.数据出现的次数；2.数据所占的比例；3.数据所占的百分数。
随之设计以下问题指导学生解答。
1.一个射击选手连续射击30次，成绩是：9次10环，8次9环，8次8环，3次7环，2次6环，求他射击的平均环数（精确到0.1环）。
2.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：?
应试者
听
说
读
写
甲
85
83
78
75
乙
73
80
85
82
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比例确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录取谁？
3．某校规定学生每学期的体育成绩由三部分组成：早锻炼及课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述成绩依次是92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是多少？
通过以上探究和对比，我们可以得出加权平均数三种情形的运用，这时师生加以总结，概念、公式水到渠成。
加权平均数是教学难点
巨野县实验中学????郭全文???
省课程专家罗寿果推荐，理由：分析全面，举例恰当.整个过程，环环相扣,滴水不漏,学习郭老师扎实严谨的教育态度，值得推荐。
指导教师李树良推荐，理由：思路清晰，环节流畅，举例贴切，设计合理，可以看出郭老师扎实的教学基本功以及认真严谨的态度。值得借鉴！
算术平均数在小学的时候就学习过，对于大多数同学来讲不成问题，少数有困难的同学也是稍微点拨就能过关。但是加权平均数对于学生而言却是个新鲜事物，如何让学生明确二者的关联与区别并熟练应用是本节教也是难点。例：
一班有40名学生，数学成绩平均90分，
二班有30名学生，数学成绩平均80分，
那么这两个班的数学成绩（90+80）÷2=85分就是错误的。因为两个班的人数不一样（或称权重不同），不能这样去计算。必须考虑权重。
（40×90+30×80）÷（40+30）≈85.7分.
这个例子学生还是能够理解的。类似的例子还可以举：从甲地到乙地，上坡6千米，用了1.5小时，平路4千米，用了0.5小时。问平均速度是多少？
再举个例子：
学校小记者团在八年级招聘一名小记者，招聘办法是：每人提供上学期期末考试各科平均成绩，进行现场作文比赛以及口头表达能力测试．应聘者的三项成绩按4：4：2的比例计算出个人总分，招聘按成绩录用．下表是小莹、小亮和大刚3位应聘者的各项成绩，他们测试的个人总分分别是多少?
招聘者姓名
期末各科
平均成绩／分
作文比赛
成绩／分
口头表达能力
测试成绩／分
小丽
88
96
95
小亮
91
90
95
大刚
82
82
93
这个例子的关键是“应聘者的三项成绩按4：4：2的比例计算出个人总分”，以小丽为例，她的总分应是
（88×4+96×4+95×2）÷（4+4+2）=92.6。
这个例子更加加深了同学们对加权平均数的理解。大部分学生还是能理解的。其他两同学总分可作为练习进行。?
跟踪练习：
数据25，28，32，34依次以0.4，0.2，0.2，0.2为权的加权平均数是______。
到此，基本阶段的任务完成。虽然大部分同学能够理解，但是教学经验告诉我，还是有一部分学生是在机械理解，照搬照套。如何加深对概念的理解？引入课本的一道练习题：
小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200元，其他支出为7200元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长39%，3%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600，1200，7200分别视为三项支出增长率的“权”。
（9%×3600+30%×1200+6%×7200） ÷? （3600+1200+7200）=9.3%
学生经常发生的错误：
（9%×3600+30%×1200+6%×7200）÷(9%+30%+6%)
本题的关键是谁是谁的权？这也是学生易出错的地方。类似的例子有：
某人买了两种股票如下：股票A，1000股，价格10； 股票B，2000股，价格15； 请问他手持的股票平均每股价值多少？
答案如下：算数平均 = (10 + 15) ÷ 2 = 12.5；
加权平均 = (10 x 1000 + 15 x 2000) ÷(1000 + 2000) = 13.33
这道题经常出现这样的错误：
(10 x 1000 + 15 x 2000) ÷（10+15）原因就是没有明确谁是谁的权。
其实权数在统计当中的真实意义就是频数。
比如：某人射击十次，其中二次射中10环，三次射中8环，四次射中7环，一次射中9环，那么他平均射中的环数为:
（10 ×2+8×3+7×4+9×1）÷10 = 8.1
这里，7，8，9，10这四个数是射击者射中的几个不同环数，但它们出现的频数不同，分别为4，3，l，2，数据的频数越大，表明它对整组数据的平均数影响越大，实际上，频数起着权衡数据的作用，称之为权数或权重，上面的平均数称为加权平均数，不难看出，各个数据的权重之和恰为10.
到此为止，我们应该对加权平均数有了实质性的认识，其实，在每一个数的权数相同的情况下，加权平均值就等于算数平均值。也就是说我们以前学的平均数就是指的权数都相同的情况。
最后我们再给出一个变式练习：转转盘的平均收益问题
某商店进行转盘抽奖游戏，一个转盘被平均分成20份，其中红色一份，绿色3份，黄色5份，其余为白色。转到红色奖励100元，绿色奖励50元，黄色奖励20元。平均转一次收益多少元？
?100元，50元，20元的权重分别是1，3，5。通过此题让学生进一步体会“权重”的意义。
?不当之处恳请各位浏览者留下宝贵意见!
加权平均数因何“沦为”教学难点？
章丘市文祖镇中心中学????高毅驹????
省级专家褚爱华推荐，理由：应该说就整个数学教学来讲，加权平均数算不上教学难点。但是作为一个统计数学概念，学生对于加权平均数的理解也确实存在一定的困难。高老师谈出了自己的观点，从主、客观两个方面谈了自己的做法，没有人云亦云，值得推荐。
指导教师王兴武推荐，理由：高老师很有自己的观点，说理清晰，有理有据，层次分明，可以供大家讨论交流。
我认为加权平均数不应该成为教学难点，只能算作教学重点，那么为什么会存在这样的问题呢？个人认为原因有以下两点：
1．加权平均数在教材中出现的位置引发了这样的问题。北师大版教材加权平均数出现在八年级上册第八章“数据的代表”，也就是最后一章，本章共三节，平均数；中位数和众数；利用计算器求平均数。第三节完全可以忽略（中考不作要求），第二节内容较为简单，重在找的过程，重点内容全部集中在第一节，而平均数学生小学就接触过，最后只剩下加权平均数了，这也就造成了教师、学生对于这一章节的不重视，往往教师会匆匆结束这一章节转入复习，大概两三节课吧（个人以前是这样做的……），于是造成学生对于加权平均数的认识不清楚或者是根本没有足够的时间进行深入理解。
2．加权平均数概念本身的原因。加权平均数的理解是一个难点，而计算却很简单，大概有以下几种常见的实际问题，例如：1、打靶问题，打中10，9，8，7环的分别4，5，4，6次，求平均数；2、成绩计算，如某位同学的成绩计算时，平时测验20%，期中测验30%，期末测验成绩50%计算总成绩；3、职员录用问题，北师大教材中有相应例题，将创新、综合知识和语言三次测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩决定录用人选。教师只要将常出现的典型问题进行总结并告知学生计算方法就可应对考试，于是教师和学生都放松了对于加权平均数的理解，当时的效果理想，过后遗忘就严重了。
对于加权平均数的教学，我认为完全可以从以上两个原因出发：
1．重视加权平均数的教学，态度决定一切，教师要起到带头作用。
2．充分联系现实生活加深学生对于加权平均数的理解。教师在总结典型题目时，要充分利用实际情景加深学生对于“权”的认识，在这一过程中，教师做恰当的引导，一切要靠学生的“悟”了。也可以引导学生联系同种类型的现实问题，我想对于学生的理解也会有很大作用。
以上是我的一点浅显的认识，望诸位老师多提宝贵意见。我想只要教师教前重视，教时用心，是完全可以化解一个又一个教学难关的。
案例选登
争当优秀的“迷你”鞋店小老板
即墨市金口中学????房中庆
省课程专家云鹏推荐：理由：一个完整且有意义的课例。说它完整在于他把统计的过程在不知不觉间呈现了出来，说它有意义在于他能从学生身边一个小事例里看到了统计的应用。
指导教师王玉英推荐，理由：房老师的教学设计，由一个统计活动作为主线，引领学生经历统计的过程，对所得统计量进行分析、取舍，达到了以点带面的效果。
一、创设情景，导入新课：
各位同学，大家好！在当今商品经济时代，许多同学都有一个梦想，那就是将来当一个老板，应该说这个想法是不错的，但仅有想法是远远不够的，今天这节课就让我 们小试牛刀，运用我们所学的统计知识，人人积极参与，争当优秀的“迷你”鞋店小老板【投影仪出示课题】，大家有没有兴趣？有没有信心？
二、引导学生发现、提出问题
我 们知道，鞋是每一位同学最为关心的日常穿戴用品之一，除睡觉外，我们几乎时刻都要穿鞋，当你到鞋店买鞋时，除了关心所买鞋的品牌、样式、质量、颜色和价位 等因素外，你还应该特别关心的是什么？【学生思考后回答，然后教师将答案统一到尺码上来】，那么，如果你是一个青少年用鞋专卖店的老板，外出进货时，相同 品质【品牌、样式、颜色】的不同尺码的鞋的进货量是否应该一样呢？【必要的话向学生讲清进货量的含义）】，为了弄清楚这个问题，让我们先一起来进行一组数 据的统计。
三、? 指导学生收集整理数据
? 1．将学生根据性别分成两大组，然后各大组再分成5—6个小组，指定出大、小组长，男子组分布在教室一边，女子组分布在教室另一边。【为节省时间可课前由课代表安排好】
? 2．由各小组长牵头统计出本组同学所穿鞋的尺码，然后做好记录并按尺码由小到大【或由大到小】的顺序进行频数统计。【一般填写在课前制好的统计表中)】
? 3．由各小组长协同大组长合并统计出各大组的各可能的尺码相应的频数，其他组员协同计算并督促观察数据合并是否有误。
四、? 提示学生分析数据并根据分析结果作出决策
? 由各小组长抄回本组【男或女】统计出的数据并在小组内组织讨论以下问题：【投影仪出示】
? 1．穿不同尺码鞋的同学数是否一样多？最多的是哪一个尺码？其次呢？最少的是哪些尺码？男同学与女同学穿鞋尺码的分布情况是否一致？
? 2．你认为哪个统计量能够简单、明确地反映出每一大组中最大和最小尺码间的差异？
? 3．你能较快计算出统计尺码的平均数吗？【学生可能会想到用加权平均数的计算公式，也可能想到用计算器等】平均数在这里有无实际意义？
? 4．上面的统计分析结果对你进货量有无参考价值？如果有，你认为对你最有参考价值的数据是什么？【平均数、众数、中位数、极差】你有什么初步决策？【一般的，学生能说出哪个或哪几个尺码的鞋应多进，哪些尺码的应少进即可】
? 五、? 组织学生交流结果并对结果进行评价和改进
? 1．结果交流：在各小组充分讨论分析和计算后由同学代表、小组长或大组长发公布分析结果并统一意见，然后让学生根据以下问题对争当小老板的情况进行评判：【多媒体出示】
你认为你的决策合理吗？同学是如何评价的？如果你周围的大部分同学对你的评价很高，你就争当了优秀小老板。【让学生组内或邻近组间再次交流评价后让争当了优秀小老板的同学站起来并用掌声向他们表示祝贺】
? 2．评价和改进：教师引导学生讨论交流以下问题【投影仪出示】
? ①在解决本节所提出的问题时，你认为所获得的统计分析结果是否具有广泛性和代表性？如果没有，在你力所能及的范围内可如何改进？【学生可能会说出如一个班级的调查统计面太窄，偶然性较强，可适当扩大调查面或在一定范围内进行随机抽样调查等，只要合理就应予肯定】
②除用列表的方法对数据进行统计分析外，你认为哪些方法更加形象直观，让人一目了然？【学生可能会说出画扇形统计图、条形统计图或频率分布直方图、折线统计图等】
六、小结与知识价值回顾
?刚才，我们每一位同学都积极参与了争当优秀小老板的课堂学习活动，可以看出，统计在解决许多生活、生产、科学研究等实际问题中具有十分重要的作用，你能再举几个简单的例子来说明一下吗？【学生的举例只要合理就应予以肯定)】
七、作业布置? 【投影仪出示】
确定一个简单的你认为可用统计方法解决的问题并写出你的调查统计过程和分析结论【重要数据、统计图、频数分布直方图等】及解决问题的策略。
学员心声
冠县梁堂乡中学 李文庆
感谢培训，让我们结识了这么多志同道合的同行；感谢培训，让我们聆听了这么多名师的教导，真希望这个平台能一直保留着，可以方便我们一线教师在教学过程中互相交流，及时取长补短。
定陶县马集镇中学 万鲁光
通过几天的学习，我的体会是：在搞好教学工作的同时，要多反思自己成功的经验和失败的教训，并把它们写下来，只有坚持这样做，才能不断地提高自己的教学水平，才能使自己成长为一名智慧型教师、科研型教师成为可能。
平度市蓼兰镇何家店中学 侯海燕
每天阅读我们的数学简报，真的很受益。专家的讲解、解疑；同行们的优秀的文章，真的是为我们提供了一个丰富多彩的数学世界，虽然天很热，老师们的学习热情更热。
底阁中学 齐雁林
八月的骄阳似火，也比不过我们研修的热情。
研修，给我们提供了一个崭新的平台，让我们与新课程共同成长。
研修，给我们提供了一个神奇的链接，让我们与省内的专家，广大教师互动交流。　　
研修，给我们提供了国内高质量的课程资源，让我们体会分享智慧的幸福。　　
研修，像一个富有磁力的“场”，将我们紧紧地吸引在一起，体验着这个“场”的魅力。　
研修，改变着我们的学习方式、教学方式和专业发展方式。
高区神道口中学 万彩玲
在培训时间里，来自名师的谆谆教诲，来自同行们的倾情相助汇成了一股股沁人肺腑的暖流、汇成了一阵阵催人奋进的号角，支持、激励着我始终不敢有丝毫的懈怠和停留。
平阴县孔村中学 李庆恩
早上起来第一件事，打开电脑，然后开始例行活动。活动完毕，坐在电脑前，点击山东教师教研网，进入研修页面，开始看简报。这样的程序，几天下来已成为模式。阅读简报，看着专家们的分析、点评、问题解答和同行们的精彩作业，自己的疑惑又少了一些，自己的认识又提高了一些。新的一天开始了，希望我们有更多的收获。
历城区锦绣川中学 周勇
每日清晨，面对内容丰富的课程简报，拜读专家的学习指导和同行们的优秀佳作，回顾昨日知识与观点，我们又开始了新的启程。
乳山市怡园中学 东静
第一次的研讨活动已尽尾声了，但各位老师的热情不减，仍在激烈的研讨着，真希望这个平台能一直保留着，可以方便我们一线教师在教学过程中互相交流，及时取长补短。
高密市柏城镇柏城初级中学 王君莹
培训的深入，刚开始的迷茫和畏惧，已被头脑的充实所淹没，那么多的同行似乎已经忽视了假期的消闲。视频前、电脑旁，我们快乐的聚在一起，相互交流，相互鼓励。一篇篇的作业，一贴贴的评论中包含着我们的辛勤和努力，承载着我们的幸福与收获。感谢培训，让我们结识了这么多志同道合的同行；感谢培训，让我们聆听了这么多名师的教导。

每日之星

学员每日之星
评选标准：作业被指导教师推荐，并且积极参加交流讨论，得到大家认可。
山东省青岛第四十八中学 江亚宁 评论数183
曹县磐石街道办事处回民中学 王秀凤 评论数145
邹平县实验中学 张海英 评论数128
胶州市第十八中学 刘妍君 评论数113
青岛经济技术开发区(黄岛区)第六中学 杨红艳 评论数106
胶南市灵山卫街道办事处中心中学 丁召光 评论数95
山东省青岛第四十七中学 窦建伟 评论数90
平度市白埠镇白埠中学 葛学鹏 评论数90
即墨市第二十八中学 黄义东 评论数85
枣庄市峄城区阴平镇阴平中学 邵明洲 评论数84
昌乐县实验中学 耿献忠 评论数83
九户镇九户中学 刘秀梅 评论数82

指导教师每日之星
指导教师
评论数
推荐数
张怀山
981
29
王厚涛
906
24
吴志城
742
27
谢经汤
649
30
姚桂菊
622
28
彭士超
555
26
祝学昌
584
28
孔庆龙
614
27
陈玉华
683
23
孙长智
526
28

班级关注度统计
班 级
学员数
作业数
资源数
关注度
青岛市初中数学15班
92
457
0
319
青岛市初中数学1班
89
445
3
228
青岛市初中数学18班
92
454
1
215
青岛市初中数学22班
96
476
0
202
青岛市初中数学17班
93
460
1
200
菏泽市初中数学7班
80
377
2
197
青岛市初中数学24班
93
465
0
195
青岛市初中数学11班
94
469
0
187
潍坊市初中数学7班
99
483
1
182
青岛市初中数学25班
90
445
2
182

优秀班级简报链接
滨州1班简报
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4116
威海数学2班 第5期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4153
东营数学1班 享受研修每一天
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3707
济南数学一班简报 第五期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4046
青岛7班简报
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3896
青岛市4班 第6期 —— 真情告白！
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4195
潍坊4班 第6期 盛夏的收获
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4132
青岛13班 第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3920
青岛14班 第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3519
青岛15班 第八期 晒晒我们的成果
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3863
济南5班 第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3617
枣庄数学1班 第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4101
枣庄数学2班 第四期
http://cz2010.qlteacher.com/Article/view/25971
潍坊7班 第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4235
菏泽9班 第8期 研修纪实
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3836
菏泽6班 第5期 点燃梦想，收获希望
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3633

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