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第六章　综合练习
一、选择题
1．若直线l过点(－3，－1)，且在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0
2．若直线过点A(1，3)，B(－1，－1)，则直线的斜率是(　　)
A．4 B．2
C． D．
3．过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为 (　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
4．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是 (　　)
A．3x＋2y＋1＝0 B．3x＋y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0
5．点P (2，－1)到直线l ：4x－3y＋4＝0的距离是(　　)
A．1 B．
C．3 D．3
6．若点A(1，0)和B(－3，4)，则线段AB的垂直平分线所在的直线方程为(　　)
A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
7．若直线2x－y＋C＝0与直线2x－y＋2＝0的距离为，则C等于(　　)
A．7 B．－3
C．－3或7 D．－7或3
8．若直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋3＝0平行，则实数a等于 (　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
9．若直线l1：kx－y－1＝0与l2：x＋2y＋1＝0的交点在第三象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－1，－)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－1)或(－，＋∞)
10．直线3x＋4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的位置关系是(　　)
A．相交不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
11．若圆心为(1，－3)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是 (　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝9
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝1
12．若直线x＋2y＋5＝0与圆x2＋y2＝25相交于M，N两点，则弦长|MΝ|等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
13．如果方程x2＋y2＋x＋y＋k＝0表示一个圆，那么实数k的取值范围是 (　　)
A．k＞ B．k＜
C．014．已知直线2x－y＋1＝0与以点(1，－2)为圆心的圆交于A，B两点，且|AB|＝4，则此圆的标准方程是 (　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝16
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝16
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9
15．在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．∪
C．[－，]
D．
二、填空题
16．已知点A(1，1)与点B(2，m)在斜率为1的直线上，则实数m＝______________．
17．点(3，2)到直线x－y－3＝0的距离为________．
18．设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是____________．
19．如图所示，过点(0，4)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角(锐角)为________．
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第19题图
20．过点P(3，4)与圆x2＋y2＝25相切的直线方程为________．
三、解答题
21．已知两点A(－7，4)，B(－5，6)，求线段AB的垂直平分线方程．
22．三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).求：
(1)AC边所在的直线方程；
(2)AC边上的高所在的直线方程；
(3)经过AB和BC中点的直线的方程．
23．已知圆的圆心在直线y＝－2x上，且与直线x＋y＝1在点P(2，－1)处相切，求圆的标准方程．
24．已知直线l在y轴上的截距为－1，直线x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交点到直线l的距离为，求直线l的方程．
25．已知圆C：x2＋y2＝8内有一点P(－1，2)，直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为α.
(1)当α＝135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
答案
一、选择题
1．C　解：因为在x轴上的截距为－2，所以直线过点(－2，0)，由题意得k＝1，所以直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
2．B　解：k＝＝2.故选B.
3．B　解：直线x－2y＋3＝0的斜率为k＝，所以所求直线的斜率为，又因为过点(－1，3)，所以由直线的点斜式方程得y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.
4．C　解：直线2x－3y＋4＝0的斜率为k＝，由题意知所求直线的斜率为－，又过点(－1，2)，所以直线方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
5．D　解：由点到直线的距离公式解得d＝3.
6．B　解：线段AB的中点为(－1，2)，线段AB所在直线的斜率为－1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为1，所以直线方程为x－y＋3＝0.
7．C　解：由d＝，当直线2x－y＋C＝0与直线2x－y＋2＝0的距离为时，即＝，解得C＝－3或7.
8．D　解：两直线平行，斜率相等，与y轴的截距不相等，所以－＝－，且－≠－，解得a＝2或a＝－1.
9．A　解：因为两直线相交，所以k≠－，根据题意，联立方程组得解得因为交点在第三象限，所以解得k＜－1.
10．B　解：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径为1，圆心到直线的距离为d＝0＜1，所以直线与圆相交且过圆心．
11．B　解：由题意知：圆心为(1，－3)，半径为3，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝9.
12．C　解：圆心O到直线的距离为d＝＝，半径r＝5，利用弦长公式得2＝2＝4.
13．B　解：若方程x2＋y2＋x＋y＋k＝0表示一个圆，则1＋1－4k>0，k<.
14．B　解：圆心(1，－2)到直线2x－y＋1＝0的距离为，＝2，所以半径为3，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
15．D　解：在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx，由题意可得≤1，即3k2≤1，则－≤k≤.
二、填空题
16．2　解：由斜率的概念知＝1，m＝2.
17．　解：利用点到直线的距离公式得d＝＝.
18．±　解：圆(x－1)2＋(y－3)2＝4的圆心(1，3)，半径r＝2，圆心(1，3)到直线x－my－1＝0的距离d＝，依题意，2＝2，则4－＝1，解得m＝，所以实数m的值是±.
19．60°　解：由题意得，圆的圆心C(2，0)，半径为，则点D(0，4)到C(2，0)的距离为2，所以sin ∠ADC＝，则∠ADC＝30°，∠ADB＝60°.
20．3x＋4y－25＝0　解：因为点P(3，4)在圆上，所以圆的切线方程为3x＋4y－25＝0.
三、解答题
21．解：因为斜率kAB＝＝1，AB的中点为(－6，5)，所以所求直线的斜率为k＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－5＝－(x＋6)，即：x＋y＋1＝0.
22．解：(1)由A(4，0)，C(0，3)，可得kAC＝＝－，由斜截式方程可得：y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.
(2)因为AC边上的高垂直于AC，由(1)已知kAC＝＝－，
所以高所在的直线方程斜率为，又AC边上的高过点B(6，7)，故所求直线方程为y－7＝(x－6)，故AC边上的高所在的直线方程是4x－3y－3＝0.
(3)因为经过AB和BC中点的直线平行于AC，所以可设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.由已知线段AB的中点为，所以3×5＋4×3.5＋m＝0.解得：m＝－29，故经过AB和BC中点的直线方程为3x＋4y－29＝0.
23．解：设圆心O的坐标为(a，－2a)，半径为r，
则圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2，
由题意知 　　
解得a＝1，r＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
24．解：由题意可设直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0.因为直线x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交点为(1，2)，所以＝，所以k＝1或k＝－7，所以直线l的方程为x－y－1＝0或7x＋y＋1＝0.
25．解：(1)当α＝135°时，直线l的斜率k＝－1，所以直线l的方程为：y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝，
又圆的半径r＝2，
所以|AB|＝2＝2＝.
(2)当弦AB被P(－1，2)平分时，OP⊥AB，
因为kOP＝＝－2，所以kl＝，
所以直线l的方程为：y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
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