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第七章　综合练习
一、选择题
1．下列四个命题中，真命题是(　　)
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱的任意两个侧面一定不平行
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2．下列结论正确的是(　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
3．若球的体积与表面积的数值恰好相等，则该球的半径是(　　)
A．2 B．3
C． D．
4．下列四个命题：
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
其中，正确的命题的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．若圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为4，则圆锥的体积等于(　　)
A．8π B．π
C．32π D．π
6．若几何体的三视图均是半径为3 cm的圆，则该几何体的体积是(　　)
A．12π cm3 B．24π cm3
C．36π cm3 D．72π cm3
7．以边长为1的正方形的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于(　　)
A．4π B．3π
C．2π D．π
8．已知圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．＋16 B．＋16
C．＋16 D．＋16
9．设正方体的表面积为24，一个球内切于该正方体，则这个球的体积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
10．若干毫升水倒入底面半径为3 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，且恰好装满，则水面高度是(　　)
A．6 cm B．6 cm
C．3 cm D．3 cm
11．若A，B是球面上相异的两点，则通过A，B两点可作的球的大圆有(　　)
A．1个 B．2个
C．无穷个 D．1个或无穷个
12．高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形的边长为1，则三棱锥A1－ABC的体积是(　　)
A． B．
C． D．
13．下面四个命题：
(1)圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个
(2)圆柱体的高等于母线长
(3)圆锥的所有轴截面是全等的等边三角形
(4)球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
14．若正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则它的斜高与高的比值(　　)
A．∶ B．2∶
C．3∶2 D． ∶1
15．若正四棱锥的侧面都是边长为2的等边三角形，则该正四棱锥的高为(　　)
A．1 B．
C． D．2
16．已知球的表面积为100π，若一平面截这个球得到直径是6的圆面，则球心到这个截面圆的距离是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
17．若将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A． B．π
C．π D．π
18．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A．8∶27 B．2∶3
C．4∶9 D．2∶9
19．把两个半径为R的铁球熔铸成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则该圆柱的高为(　　)
A．R B．2R
C．3R D．R
20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．142π平方尺 B．140π平方尺
C．138π平方尺 D．128π平方尺
二、填空题
21．若将直径为6的半圆卷成一个圆锥，则它的侧面积为________．
22．已知正方体的体积为8，它的表面积与球O的表面积相等，则球O的体积为________．
23．如图所示是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
INCLUDEPICTURE "1086-31.TIF"
第23题图
24．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．
25．如图所示，三棱锥S－ABC的底面ABC为正三角形，侧棱SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝30°，M，N分别为棱SB和SC上的点，则△AMN的周长的最小值是________．
INCLUDEPICTURE "1086-32.TIF"
第25题图
三、解答题
26．已知正方体的表面积为24，求：
(1)其内切球的表面积；
(2)其外接球的体积．
27．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，用截面截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积比．
INCLUDEPICTURE "428+2.TIF"
第27题图
28．已知正四棱锥的侧棱和底面边长均为4，求其表面积和体积．
29．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，求将三角形绕直角边AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
30．已知圆柱的底面半径为4，轴截面的面积为48，求该圆柱的体积．
答案
一、选择题
1．A　解：本题考察棱柱的定义，A表述正确．可以用正方体体来排除B、C、D.
2．D　解：A考察三棱锥的定义，可以用组合体来排除．B考察圆锥的定义，是以直角三角形的一条直角边为旋转轴所形成的几何体叫圆锥．C正六棱锥的底面为正六边形，将其对角线全部连接起来，构成六个正三角形，不可能构成六棱锥．D考察圆锥母线的定义，表述正确．
3．B　解：设球的半径为R，因为球的体积与表面积的数值相等，所以πR3＝4πR2，得R＝3.
4．B　解：考查斜二测画法，相等的线段和相等的角在直观图中都有可能不相等，而平行的线段和线段的中点不会变．
5．B　解：设底面圆的半径为r，则圆锥的轴截面面积为S轴截面＝×2r×r＝4，解得r＝2，因为母线l＝2r，h＝2，所以圆锥的体积为π.
6．C　解：这个几何体是球，因为球的半径R＝3 cm，所以球的体积为V球＝πR3＝π×33＝36π cm3.
7．A　解：所得旋转体为圆柱，且圆柱的底面半径r＝1，母线长l＝1，则S圆柱表＝S侧＋2S底＝2πrl＋2πr2＝4π.
8．C　解：由题意知，圆柱底面圆的周长为4，母线为4，即2πr＝4，r＝，则圆柱的表面积为S表＝2S底 ＋S侧＝2πr2＋4×4＝＋16.
9．D　解：设正方体棱长为a，则6a2＝24，即a＝2，因为正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2R＝a，所以R＝1，所以球的体积V球＝πR3＝π.
10．C　解：圆柱形器皿中水的体积V柱＝πr2h＝54π cm3，设圆锥底面圆的半径为R，因为圆锥形器皿轴截面是正三角形，所以R＝h，因为圆锥形器皿的体积即为水的体积，所以πR2h＝54π，所以h＝3 cm.
11．D　解：当AB是球直径的端点时，过两点的大圆有无数个，当AB不是球任意直径的端点时大圆只有一个．
12．D　解：V棱锥＝Sh＝××1××3＝.
13．C　解：圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形，所以(3)不对．
14．A　解：设正四棱锥棱长为a，则斜高为a，高为a，所以斜高与高的比值为：.
15．C　解：设正四棱锥底面对角线交点为O，如图所示，则OC＝，OP＝＝.
INCLUDEPICTURE "1814-39.TIF"
16．C　解：设球的半径为R，则由S球＝4πR2＝100π，可得R＝5，又因为r＝3，所以球心到这个截面圆的距离是d＝＝4.
17．A　解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则球的直径等于1，所以球的半径R＝，则球的体积V＝πR3＝.
18．C　解：设两个球的半径分别为R1、R2，因为两个球的体积之比V1：V2＝8：27所以πR：πR ＝8：27，所以R1：R2＝2：3，所以S1：S2＝4πR：4πR＝4：9.
19．D　解：两个球的体积等于圆柱的体积，所以2×πR3＝πR2h，求得h＝R.
20．C　解：将该几何体补形为长方体，外接球的直径2R即为长方体的体对角线，即(2R)2＝52＋72＋82＝25＋49＋64＝138，故其表面积是4πR2＝138π平方尺．
二、填空题
21．π　解：半圆的面积就是圆锥的侧面积S＝πr2＝π×9 ＝π．
22．　解：由题意可知正方体的棱长为2，则6×22＝4πR2，解得R＝，则球O的体积为πR3＝.
23．9　解：该几何体是三棱柱，底面是直角三角形，两条直角边分别是3和2，高是3，所以体积为V＝Sh＝×3×2×3＝9.
24．　解：由题意知，球的半径为1，球心到圆柱底面圆的距离为0.5，所以底面半径为，所以圆柱的体积V＝.
25．　解：由两点之间线段最短可知，周长的最小值即为侧面展开图A点及其对应点A′的平面距离，因为SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝30°，所以△SAA′为等腰直角三角形，所以AA′＝.即△AMN的周长的最小值为.
三、解答题
26．解：因为正方体的表面积为24，所以正方体的棱长为2，所以正方体的内接球的直径为2，外接球的直径为2，所以内切球的半径为1，外接球的半径为，所以内切球的表面积4π，外接球的体积为4π.
27．解：设DD1＝a，DC＝b，A1D1＝c，因为VC－A1DD1＝VA1－DD1C，又因为该几何体为长方体，所以A1D1即为棱锥的高，所以VA1－DD1C＝××abc＝abc＝VC－A1DD1，因为剩下的体积V＝V长方体－VC－A1DD1＝abc，所以棱锥的体积与剩余部分的体积比为1∶5.
28．解：因为正四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，所以斜高为h′＝2，高为h＝2，所以正四棱锥的表面积为S表＝ch′＋S底＝×4×4×2＋4×4＝16＋16，体积为V＝×42×2＝．
29．解：由题意可知，该几何体为圆锥且底面圆半径r＝4，高h＝3，母线l＝5，则表面积S＝S底＋S侧＝πr2＋πrl＝36π，体积V＝πr2h＝16π.　
30．解：设圆锥母线为l，底面半径为R，由题意知2×4×l＝48，所以l＝6，所以圆柱的体积S＝πR2l＝96π.
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