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专家引领
谈谈数学证明
马 复
1．数学证明的功能与特征
以一些基本概念和基本公设为基础，根据一些真实（假定）的命题，运用逻辑推理的规则和方法，确定某个数学命题的真实性。
数学证明的作用：确立了命题的真实性（也有证明错导致结论错、或只是证明错）；导致新的发现（七桥问题；圆桌上放棋子）增进理解（多边形外角和公式——利用内角和、运动的方式；等分图形面积问题——存在性证明与构造性证明；几何作图三大问题）
从历史上看，数学证明起始于古希腊（前6世纪）对几何定理的证明（确立了命题的真实性）；《几何原本》是标志性产物（整理知识、公理化的思想、数学证明的模式）。
2．证明与直观
数学命题难道不可以“看”出来吗？x2+y2≥0；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；三角形两条中线交于一点……
确有无法“看出”的：三角形三条中线交于一点；所有周长一定的平面封闭图形中，什么图形的面积最大；今天是星期四，1010天以后是星期几？xn-1的因式分解（每个因式中“项”的系数都是1或-1？x105-1就有例外）……
特别是到了无限的情形——自然数与整数个数；复数不可以比较大小；阶梯状的斜坡长度；
何况，直观也会欺骗我们：有两个三角形，第一个三角形的最短边比第二个三角形的最长边还要长，前者的面积一定不小于后者的面积；一个圆把平面分成两个部分，两个圆可以把平面分成四个部分，三个圆呢？四个圆呢？无数个正数相加，其和一定很大……
3．学生的证明经验——生活中的证明
例证、流行或权威的观点、（实）验证、质疑。
4．数学证明学习的意义
理性精神、证明的必要性、证明的过程（四色定理——真的证明了？2次方程求根公式——验证还是寻求）、证明的基本方法（直接与间接等）（寻求反例——三角形的三边相等→三角相等，三角相等→三边相等，对n边形呢？4边形的情形：只有正方形——它有外接圆！考虑所有具有外接圆的n边形？一般地，“对内接于某个圆的n边形而言，其n个内角相等，则隔边相等，反之亦然。特别地，当n是奇数时，等角与等边是等价的；
5．数学证明学习的心理分析——认知水平与思维方式
具体对象与抽象关系——借助图形做直观猜测，非逻辑推演；
前提真实与假设合理——分析法、反证法等；
语义与形式——逻辑关系与形式表达。
即使是语言层面的，也有“形式”与“语义”的分别（语言是两者的统一）：“形式”是外部结构，其发展遵循：从局部到全局、从细节到整体；“语义”是内涵意义，其发展遵循：从全局到局部、从整体到细节，两者不易统一、同步。
语言也分为内部语言与外部语言——个体从事证明，首先是“思考关系”，这时，用的是内部语言（个人语言），它的作用是进行思考，产生思路，但形式上不规范，也许只有自己能懂（这样……，结果……，全等了），不一定能够被别人所理解（陈同学的例子）；需要交流时，则必须使用外部语言（社会语言），它的作用是用“线性”的形式，将前因后果梳理清楚，表达出来，并且能够被他人理解。
对学生而言，有时是“因为……， 所以……”的句式对了，但条件和结论却用反了，这属于“语义”滞后于“形式”，是知识理解与语言表述不同步；也可能相反，关系、意义清晰了，表述却丢三拉四——跳跃、前后颠倒等，这属于“形式”滞后于“语义”，也是知识理解与语言表述不同步（几何证明学习之初，多见此情景，特别是图形关系复杂一些的，并非思维混乱，而是思维与表达不同步，或者是“个人语言”向“社会语言”转换时出了问题）。
如果我们的教学一开始就要求“社会语言”，会造成学习上的困难，特别是这其中既有自然语言，又有数学语言（符号）。教学上可以采用“先‘个人语言’，后‘社会语言’的形式”——三种形式的设想。
采用三种形式的另一个原因——数学符号所产生的联想要远远大于自然语言（在数学性质方面），如：“一个数的平方与另一个数的两倍的和”与“+2b”。但是，在几何方面，符号语言的形成往往开始于“图形语言”，所以，可以先让学生用类似于“个人语言”的非规范“社会语言”（如图形表示全等），然后再用规范的“社会语言”（如△ABC≌△DEF）。
6．证明的教学——教学生如何构造证明与如何展开证明
证明：存在无限多个（4K+3）型质数。
证明：先证明（4K+1）型数的积仍然是（4K+1）型数（简单）.
反设命题不成立——只有有限个（4K+3）型质数：P1，P2，…Pn，令M=4P1P2…Pn-1。若某个Pi︱M，则Pi︱1，不可能。所以任何Pi︱M。但M不是偶数，所以M的所有质因数都是（4K+1）型质数，即M是（4K+1）型数，但M=4（P1P2…Pn-1）+3，矛盾！原命题成立。
框架与思路？证明步骤的意义与来源？（为什么要证明一个“引理”，为什么要构造M，为什么要说明Pi不能整除M，M不是偶数……
构思证明的过程：反证法（所以假设只有有限个（4K+3）型质数）——构造一个新数M，使它本身或其某个质因数是一个新的（4K+3）型质数（所以验证Pi不能整除M）。技巧是M的构造。
例：猜想与反驳——证明的全过程
问一：两个三角形有相同的面积，这两个三角形一定全等吗？为什么？
答案是一致的，但在回答为什么时却有水平差异——是否知道用反例，用什么反例。
问二：两个三角形具有相同的面积和相同的周长，这两个三角形一定全等吗？为什么？
开始有不同的看法了，交流——有助于理解，问题在于如何说服自己、对方、对手。凭直觉还是推理？反例较难举？或许可以借助于等底、等高，若困难就先放一放。
问三：两个直角三角形具有相同的面积和相同的周长，这两个三角形一定全等吗？为什么？
更多的人倾向于“全等”的看法。问题在于如何证实自己的猜想——至少证明的欲望非常强烈（用解方程组的方式可以解决这个问题）。
问四：两个等腰三角形具有相同的面积和相同的周长，这两个三角形一定全等吗？为什么？
基于上述活动的经验，很多人倾向于选择“全等”——毕竟“直角”换“等腰”很合理。然而事实却非如此——难以证明，转而怀疑自己的猜想：难道不一定全等？这不是退却，而是思维的上升——仅有直觉是不足以说明道理的，逻辑证明是判定猜想正确与否的最终途径。可以想象，几乎所有的人都期望获得“最终”的正确判断。答案是否定的（37，37，24）与（29，29，40），或者（233，233，210）与（218，218，240）都是反例。
专家解读
专题四《合情推理与演绎推理的教学》研修要点
省课程专家 颜峰 姜仲平 汤华财
以往，一提起几何教学，我们首先想到的往往是“证明”——证明两条直线平行、证明两个三角形全等……那么你是如何看待“证明能力”与“几何能力”之间的关系的？
按照新课程的理念，学生的推理能力主要由“合情推理”能力与“演绎论证”能力构成。那么合情推理与演绎推理的区别、联系与互补作用是怎样的呢？
长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分强调逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起着重要的作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。
因此培养学生的推理能力就要从两个方面来做，一是要培养学生的合情推理能力，在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向；二是要培养学生的演绎推理能力，可以从以下八个方面入手：关注证明的基本过程和基本方法；掌握作为证明基础的几个基本几何事实——公理，并在此基础上展开对基本几何图形性质的证明；掌握综合法的证明格式和方法；恰当把握证明要求；理解证明的必要性；加强几何语言的训练与培养；对几何概念的教学注重由机械记忆转为理解与应用；关注图形变换的思想。你又是怎样看待这个问题的呢？
最后还要谈到的问题是培养学生推理能力要注意些什么？学生几何学习普遍存在着哪些方面的问题？又有何应对策略呢？
本专题就想对这些方面的问题同大家一起做一初步的探讨。
专家解惑
即墨市龙泉中学 于翠翠老师 问：
怎样把“要学生学”变成“学生自己要学”？
省级专家姜仲平 答：
最要紧的是让学生体验成功
把“要学生学”变成“学生自己要学” 是个大问题。我们总喜欢“不要学的学生”晓之以理，动之以情， 效果又总是难尽人意。
我们要给学生一个理由让他“自己要学”，这个理由就是：让学生通过学习体会到自己存在的价值。或者说要让学生感受到学习这件事情本身内在的价值与乐趣，让学生在学习的过程中有许多展示、证明自我的机会，唯此才能真正激发学生学习的动机；另一点就是要善于激励学生，是否可以这样看，学生的成绩是用来被鼓励的。一句话：最要紧的是让学生体验成功。
另一个方面，老师应是学习者的化身，要通过不断的修炼使自己成为学生心中的偶像，如此，“粉丝”必会紧紧地追随你。让学生“爱”你吧，这也是“学生自己要学”的一个前提，也是老师教育的智慧。
即墨市田横镇扬帆中学 宋鲁青老师 问：
有些学生可以把语文英语学得比较好，属于中上等水平，甚至是上等水平，可在数学方面非常吃力，对于这类学生，该怎样办？
省级专家褚爱华解答：宋老师所说的这类学生我也经常遇到，仔细分析一下可以发现，这些孩子并非各科都差，所以首先可以排除智力有问题或不学习，甚至有的还是非常用功的，但是为什么数学成绩差呢？我在分析学生数学成绩时常分为四种层次，以初中学段数学120分为例，第一层次：数学能力强且学习认真仔细，也包括部分极聪明但不是太严谨的孩子，能达到高分（108—120）；第二层次，数学学习能力中等，但非常认真努力、花费在数学学习上精力比较多，能达到中等（96—108）；第三层次，数学学习能力比较低，能认真完成作业，基础题能掌握，独立解决问题的能力较差,基本在85分左右，或者在及格边缘；第四层次，学习能力差，态度不认真，作业不能完成，则通常不及格甚至低分（48）以下。针对不同层次的学生，如何教学？如何帮助他们提升？采取的策略是不一样的。
宋老师所说的这类学生，应该属于第三层次，根据我的实践经验，这部分学生如果策略得当，能够达到96分，也有能达到100多分的，但要达到高分难度比较大。首先，他们上课能听懂，作业基本会做，但是一旦知识前后综合就解决不了了，往往会放弃去问别人，所以不具备独立分析解决问题的能力。数学题灵活多变，必须学会思考。针对这部分学生我的做法是，首先帮助他们树立信心，相信自己一定能学好数学；第二，进行归因分析，找到他们在数学学习方法上的不足，帮助改进；第三，精选一定数量有思考价值的变式训练题，往往需要大量重复，然后让他们独立尝试解决，再引导他们去对比分析，做这些工作的时候，我经常会看到学生的惊喜，他们可能从来没有体会到数学的美妙，体会到解数学题的乐趣。这种训练，坚持一段时间，会非常有效。学生的数学学习从恶性循环转化到良性循环是非常困难的，因为数学素养是一点一点积累起来的，但是只要方法得当，一定会看到学生的进步。
山东省青岛第四十二中学 齐玲华 答：
曾向即墨28中的老师学习过，有种方法挺好，与您共享：让学生给学生讲题，培养责任感与兴趣。
无棣县小泊头镇中学 张连红的做法介绍：
用心呵护“后进生”
我国著名教育家陶行知先生说过:“你的教鞭下有瓦特,你的冷眼中有牛顿,你的讥笑中有爱迪生”。这说明,我们的教育教学是谨慎的事业,要细心处理好“后进生” 的关系,点石成金,而不要弃材为废。素质教育是面向全体学生的教育,不仅要面向思想表现好,学习成绩好的学生，而且要兼顾不能认真听课，学习成绩较差或是智力上有差距的“后进生”。如何将后进生转化为合格生，这是一项重要的教学工作。
今年，我在教育后进生时注意以下几个方面：1、以平等的身份 ；2、以友好的表情；3、以关怀的心理；4、以温和的语言；5、以宽容的态度。我想，在平时的工作中只要抓住了这几点，让后进生从心理上接纳了我，后进生的转化工作会顺利许多。
首先，找出原因，制定教育措施。
要想转化后进生，应该缩短教师与学生之间在空间上和心理上的距离。教师对学生的积极情感，会自觉或不自觉的以某种方式传递给学生，从而对学生起着明显的调节作用，使学生对老师产生一种信赖感。教师的言传身教比任何方式的接受性都强，效果更好。
在日常的教育教学工作中，我努力查找导致后进生落后的原因，找出解决的方法，力争使每一个学生都能得到良好的教育。
其次，给不同的学生设置合适的目标。
一个恰当的目标可以激励学生克服惰性，不断努力。在本学期，我根据学生的自身特点，给每一个学生都提出适合于他们的目标和志向，这一目标既不太高，也不太低。这样，学生既有压力，又有奔头，用目标管理的方法，激励后进生迎头赶上。
再次，还要把握好后进生的心理。
其实“后进生”的心理活动极其微妙，尽管他们身上潜藏着这样或那样的毛病，但即使是最差的学生，也不能掩盖他们那种急欲转变、渴求上进的美好渴望。他们一方面对过去的事情深感懊悔，一方面对未来的前途又充满希望。只要教师细心观察，不难发现“后进生”身上的闪光点。抓住学生的优点多多表扬，安排学生做一些课前的准备工作。
辅导的形式：（1）学生看当天上课内容；（2）做学习与检测加评讲；（3）学生提出疑问；（4）疑点解剖；（5）检查练习。
辅导策略：1、合理定位，减轻压力；
2、了解实情，指导方法，大胆鼓励；
3、建立良好私人感情，分担忧虑，取得学生的信任；
4、合理地增加学习任务，有目的地进行辅导；
5、课下多增加学生的活动，有目的地分配任务。
让我们用锲而不舍的师爱，来挽住一匹匹脱缰的野马，用自己辛劳的汗水去浇活一朵朵形将枯萎的鲜花吧。因为每一个落后的学生将来都有可能成为优秀的人，就如同一棵小树一样，不管它今天多么弯曲，数年之后也可能成为栋梁之材。希望我们能把更多弯曲的小树变为世界的栋梁！
热点聚焦
热点之一：
发展学生空间观念的一点做法
菏泽市牡丹区十一中????李超????
省级专家褚爱华推荐，理由：李老师结合自己的教学实践，总结了发展学生空间观念的一点做法，虽然没有面面俱到，但却具有可操作性。文章所提到的结合教学内容让学生去亲身操作，走进生活中去解决问题，以及通过开放题进行变式训练，都是行之有效的方法。特别是所列举的测量池塘宽度的七种方法，有新意，若能结合图示说明会对大家有更多的启发。?
指导教师李贵菊推荐，理由：观点明确，有自己的见解。
数学是一门非常抽象的学科，绝大部分教学内容都缺乏趣味性，一般都很难引起学生的兴趣。在过去的几何教学中，往往过多过早地强调计算，把直观的几何问题作为单纯的计算问题，忽视对学生空间观念和空间想象力的发展。新课标指出:“几何知识的教学,要通过观察，测量，动手操作等实际活动，加深对几何形体的认识，逐步发展学生的空间观念。”
在丰富的图形世界、视图投影、旋转、对称、三角形和四边形等章节中，都能发展学生的空间观念。我在讲授这些知识时，突出了“以学生的发展为本”的理念，引导学生经历必要的、具有一定探究性的学习过程，通过想一想、试一试、做一做等活动，增强探究活动的有效性，同时注意留给学生宽松的活动时间和空间，这样可以调动多种感官参与活动，把学生的思维从二维空间推到三维空间使他们亲身经历探索知识的全过程，在他们获取知识的同时，也发展了自己的空间观念。
例如，在“截一个几何体”这一节教学时，课前我发动学生自己想办法做模具。然后拿刀只能切一下，看得到的截面是什么图形？正方体的截面有多少种情况？第二天，在课堂上，同学们争先恐后的拿出自己的“作品”与同伴交流。随后，在比较的过程中，让他们互相交流体会。就这样他们把自己的生活空间作为研究的几何空间，借助生活实例中的几何模型去分析问题、研究问题和解决问题。在学习知识的同时，也培养了学生们的空间想象力。
此外，利用开放题，也可以发展学生的空间观念。由于开放题具有层次性、多样性的特点，这就要求学生的思维空间必须广泛。开放题涉及的知识是学生已具备的，但解题策略是非常规的，这就要求学生在解决问题过程中构建自己的思路和策略，把自己已有的知识、技能重新组合，以形成解决当前问题一种综合技能。
例如，在复习课上我出示了这样一道题：一次数学活动课，老师组织学生到野外测量池塘的宽度。请同学们根据所学知识设计几种测量方案，要求画出测量示意图，并简要说明测量方法和计算依据。这是学生比较熟悉的实际测量问题，为了给学生一种轻松的学习氛围和直观的感受。我借助了多媒体教学，并采用小组合作交流的方式进行。很快学生们就得到了以下几种测量方案：（1）利用构造全等三角形；（2）利用构造相似三角形；（3）利用三角形或梯形的中位线定理；（4）利用平行四边形；（5）利用轴对称；（6）利用直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半；（7）利用三角函数。
这道题为学生提供了广阔的探究、发展空间。在探索本题的解决策略中，没有固定的、现有的模式可循，学生充分调动自己的知识储备，多角度、多方位、多层次地进行探索，把问题进一步引申、拓广。这也就培养和锻炼了学生的空间思维能力。
如何有效地发展学生的空间观念
即墨市金口中学???黑玉峰
省课程专家吕学江推荐，理由：知识把握准确，教学安排精心。黑老师注意梳理和撷取教材中发展学生空间观念的相关素材，合理的开发或重组教学内容，设置学生身边的感兴趣的问题情境，通过动手操作、观察想象、探究交流，借助几何画板强大的作图与展示功能，力求最大限度的发展学生的空间观念，表征着教师高水平的理解与思考。
指导教师陈庆祥推荐，理由：“对数学的学习，我们都不可越俎代庖，学生自己动手去操作研究，并不是浪费时间，而是更加快速的理解和牢固的掌握知识的一个行之有效的途径”。如果通过研修老师达成共识，我想这肯定是我们最大的一个收获。
现在的初中数学教材中几何部分的知识除了原来所研究的平面图形外，还增加了一些基本的空间图形，这不仅有利于学生空间观念的培养和发展，而且可以为学生高中空间几何的学习奠定良好的基础。
我所用的北师大版的数学教材中，涉及到发展学生空间观念的知识很多。除了丰富的图形世界、图形的投影两章外，蚂蚁怎样走最近、图形的平移和旋转、轴对称和中心对称等知识中也可以发展学生的空间观念。此外，在《圆》这一章中，我们通过让学生亲手制作圆锥体以及进行相关计算也能发展学生的空间观念。
对于初中生来说，在小学部分基本就没有接触过立体图形方面的知识，因此空间观念相对薄弱。所以，在接触第一章《丰富的图形世界》的时候，一定不能急于求成。我在教学生认识几何图形时，并不单纯的让学生看着课本的图片，然后凭借生活中的经验、记忆来进行理解与观察，还借助于我和学生课前准备的各种立体图形（如球体、圆柱体，棱柱，椎体等）实物，让学生亲自去触摸、去观察。我引导学生通过观察、交流自己总结得出这些立体图形的概念，对于不正确或不完整的地方我们共同研讨弥补，这样学生对概念的掌握效果非常好，并且第一节课就充分激发了学生学习空间几何的兴趣。对于图形性质的学习，我也是采用了同样的方法，效果很好。对于截面图的处理，学生都是根据相应的几何体的性质制作了不同的模型，然后我们现场动手进行切截，学生在动手操作的过程中不仅掌握了知识，而且对于学生自主探究能力和习惯的养成有很大的帮助。这个过程中，我还制作了相应的几何画板，直观效果与展示速度得以提升。学生在愉快的气氛中熟练的掌握了知识，学习兴趣也大大提高。
有第一章的学习经历，学生对于后面所遇到的几何知识的学习都表现的很积极，在学习蚂蚁怎样走最近的时候，大多数都提前的准备了长方体、正方体、圆柱体的模型。自己动手、探究交流，课堂进行得很顺利。所以，对于这部分容易漏掉情况的、相对不简单的知识来说，我的学生学习效果还是很好的。
旋转、对称、投影等知识的处理，我一般采用几何画板制作相应的演示过程，同学生们先一起猜测会出现的结果，让后观看演示过程，随后我们在亲手操作、观察，最终自主总结、得出结论。在这个过程中，我还尝试让学生当“小老师“将给同学听，学生们为了讲好课，课前都做了精心的准备，学习效果非常好。
发展学生的空间观念，还需要给学生充分的自主学习、探究和交流的时间和空间，让他们尽情的去发挥，并适时的给他们以鼓励和支持。学生的潜力都是无穷的，不管是空间观念的发展，还是代数运算、几何推理能力的提高，教师都不可越俎代庖，学生自己动手去操作研究，并不是浪费时间，而是正确理解和牢固掌握知识的一个行之有效的途径。
如何才能更好的发展学生的空间观念
曹县磐石街道办事处回民中学????陈桂莲??
省课程专家陈杰推荐,理由:陈桂莲老师对如何发展空间观念的提出了自己的作法，值得大家关注。其实，空间观念之空间，不仅是指三维空间，也包括二维空间、一维空间。空间观念的培养，须从多角度培养，并且涵盖初中几何学习的全过程。
?发展学生的空间观念，不仅有助于学生获得后续学习必需的知识和必要的技能，而且对培养学生的创新精神和实践能力起着不可替代的作用。在我们的日常教学活动中，要使我们的教学内容尽量贴近学生实际，循序渐进、潜移默化的发展学生的空间观念，直觉思维和创造性思维。通过自己的教学实践，就发展学生的空间问题谈点自己的一些看法和观点。
一、关于空间观念
空间观念主要表现：能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化……这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的对空间与平面相互关系的理解与把握。
? 二、借助多媒体教学手段，发展学生的空间观念。
多媒体教学有助于学生从中抽象出认识几何图形；同时图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在学生大脑中形成图形空间变化的印象，帮助建立空间观念，找到不变的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。由于多媒体教学直观、生动、形象，有利于激发学生的兴趣，充分调动学生的积极性。
三、学生亲自动手操作，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识图形，强化空间观念。
在学习“长方体和正方体的展开图”时，我提前让学生准备长方形纸盒和正方形纸盒。让每位学生把正方体剪开得到展开图，并且通过多次剪得到不同的展开图，从而让学生认识到了不同的剪法得到了不同的展开图，然后再把展开图恢复成立体图，通过学生的亲自动手操作，引导学生逐步熟悉了正方体的各个面在展开图中的位置。接着又通过剪长方体纸盒，得到长方体的展开图，从中观察发现长方体相对的面在展开图上的位置。这样学生既认识了图形形成了空间概念又提高了自己的学习兴趣。
四、培养学生的直觉思维。
如看到题目的条件或题里的图形，能很快说出它的特点，隐藏的意思等的能力，培养学生的综合分析问题的能力和直观表达能力 。根据学生的心理特征和认识规律，采用直观手段，让学生在实践操作中逐步发展空间想象能力。 丰富学生的数学语言表达能力 ，发展空间想象能力观念。
五、实现有效交流，丰富学生的空间想象。
在教学中要特别重视学生间经验的积累与交流，在新知识的探究中，学生有了自己的想法与成果后，相互间分享研究资源，从而又产生了思维的碰撞，解决他们的困惑，更清楚地明确他们对空间的想法，空间观念就在合作解决问题、广泛交流的过程中不断生成，不断发展，不断提升。在教授长方体和正方体时，为了让学生对他们有一个感性认识,我就提前布置学生制作一个棱长是2厘米的正方体。在课堂上，我由让学生把不同的正方体表面展开图贴在黑板上。学生在充分动手剪、折的操作活动及广泛交流中，对几何图形的特征有了更充分的认识，从而丰富了空间感知，逐步形成了空间想象能力。
这是我的一点粗浅认识，不足之处，忘专家指正。
小小正方体作用大
——借用正方体发展学生的空间观念
文登初级实验中学????曲娜
省课程专家谢志平推荐，理由：曲老师把正方体在发展空间观念上的作用可谓利用到了极致，匠心独具，值得大家学习。
指导教师徐方圆推荐，理由：曲老师是一位智慧型创新性的好老师，能从多角度多方位考虑问题，小小的立方体曲老师采取截、画、剪三种方法使它在发展学生空间观念中发挥了超乎想象的作用，值得学习，值得推荐。
我们生存的宇宙是立体空间，我们接触到的物体都占有空间的一部分。从儿童时代起，我们就观察、玩各种玩具，认识各种各样的物体现状。然后离开具体的物体，开始辨认画在纸上的物体。后来又通过学习几何知识，认识了许多几何图形。可见，我们学生的脑海中早已有了模糊的空间观念。而几何教学重心之一是发展学生的空间观念和几何直观。那如何发展学生的空间观念呢？
一、截正方体
孔企平教授曾说：“空间观念的形成，只靠观察是不够的，教师还必须引导学生进行操作实验活动”。学习“正方体的截面图”时，我让每个同学提前准备好自己做的萝卜、土豆等能切的正方体模型和平面刀。课堂上让学生自己切，鼓励学生从切截活动中去验证自己的猜想，并相互交流、探究截面的变化规律，用自身的创造活动去感受数学，感受空间观念。学生很容易总结出截面分别是三、四、五、六边形。我又提出让学生试一试，用一个平面去截一个正方体能不能得到一个七边形。最后我再让他们想象出七面体、八面体……n面体的截面是多少？学生不难答出来。在学生探索后，为拓宽学生视野，打开学生的思路，我借助多媒体辅助教学，利用课件直观演示，让学生有一种亲临操作的喜悦和美的享受油然而生，从而全面促进了学生空间观念的形成。
二、画正方体
新课标指出：“几何知识的教学，要通过观察，测量，动手操作等实际活动，加深对几何形体的认识，逐步发展学生的空间观念，由实物的形状想像出几何图形，再由几何图形想像出实物的形状”。学习“从不同的方向看”时，我用正方体粉笔盒做教具，搭出各种立体图形，引导学生观察三视图的画图技巧。然后让每个学生用自己准备的正方体纸盒小组合作，搭出各种立体图形。我给出要求让学生自己动手探究，既培养了学生的学习兴趣，也培养了学生的直观思维。让同学经历从不同方向看物体的活动过程，会画物体的三视图，是从空间物体到平面图形；反之，再由物体的三视图想象出几何体的立体图形，让学生自己想想猜猜，再量量摆摆，是从物体的三视图到空间立体图形。这样，学生初步体验了二维与三维空间是相互转换的关系，又进一步让学生在想像、联想中发展了空间观念。
三、剪正方体
著名数学家波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现。因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系”。学习 “探索正方体的展开图”时，我让每个学生准备正方体的纸盒做教具，让学生用剪刀亲自把小正方体沿着棱剪开，学生剪完一个发现和自己想象的图形不一样，又会积极想办法截出自己猜想的截面形状，当剪出的展开图总是与想像有差别时，点燃了学生的思维火花，激发了学生探究的欲望。最后通过学生们的努力，我们把各种展开图一一展示在黑板上，并总结出规律，共有四种模型“一·四·一”型；“二·三·一”型（或“一·三·二”型）；“二·二·二”型；“三·三”型。接着同学们迫不及待的把自己剪好的图形折叠回去，通过对比观察自己的剪法哪里不同，很自然的实践了图形的折叠，回归到了原来的正方体。学生又一次体验了二维与三维空间相互转换关系。这样借助空间想象的翅膀，放飞学生的思维，使学生的空间观念得到了发展，得到了升华。
热点之二：
由蜘蛛“表演”引入平面直角坐标系
文登市七里汤中学????丛海芹????
省课程专家谢志平推荐，理由：创造一个好的教学情境，确实可以起到引人入胜和画龙点睛的作用。本文以笛卡尔的一个有趣故事引入，不仅可以激发学生的兴趣，更能使学生养成注重观察的习惯。
指导教师徐方圆推荐，理由：丛老师总是那么有创意，一个有趣的故事解决了一个最重要的问题——平面直角坐标系从何而来？为什么要学习平面直角坐标系？它在现实生活中有什么作用？学生对很多知识只知其然，而不知其所以然，从老师的这个设计值得称赞。
记得我曾经看过一个讲座节目，题目是“诗化的数学”，当时我的心的确被触动了，数学一直以来就被看作是单调枯燥乏味的象征，如何诗化又谈何容易呢？刚看到平面直角坐标系这一内容的时候，对于如何引入我也没有什么想法，但心里总是疙疙瘩瘩，无意间翻了一本书看到了一个的故事，算是对我数学的教学的一点诗化吧。
恩格斯曾说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”而平面直角坐标系正是笛卡尔的一项重大的成就，正是借着一个有趣的故事我为我的学生引入了平面直角坐标系的内容。故事是这样的：有一天，笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。再讲完了这个故事之后，首先我顺势让学生回忆了一下数轴的知识。用简单的话语迅速的让学生回忆学过的数轴知识，让学生知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，在数轴上确定点用一个实数表示就可以了；然后对刚讲过的故事中如何确定蜘蛛的位置，给学生提了几个问题目的是让他们明白要在平面内确定一个点需要一对有序实数对，为后面坐标的引入作铺垫；最后以班级中学生座位的确定来距离，在班级中建立直角坐标平面，请学生确定自己所在的位置的坐标。这样下来我觉得课题引入还算比较自然。
智慧分享
中学教材中教学可以发展空间观念的内容
章丘市龙山街道办事处党家中学????党金胜
省课程专家云鹏推荐，理由：党金胜老师的作业从七个方面就中学教材中教学可以发展空间观念的内容进行了阐述，从中可以看出党金胜老师对教材有比较深入的研究，他的可贵之处还在于处理与应用环节很实用。虽然叙述比较平实，但能给老师们以启迪。
指导老师迟麦英推荐，理由：党老师列举了课本中培养学生空间观念的例子值得其他老师借鉴与学习。
1.七年级上最后部分课题学习：
制作一个尽可能大的无盖长方体形状的盒子
处理与应用：这应当是初中阶段实施新课程来学生老师第一次接触到的课题学习，课题在本出对学生的空间观念开始有渗透，最有效的方式是让学生采取动手做的方式，当然自己动手制作一个或两个之后，学生在自主探索与合作交流的氛围就能很容易形成自己的空间观念，掌握这个问题的解决方法，同时也让学生充分的体会了数形结合思想，无形中进一步淡化了学生的代数、几何的划分。
2．七年级下第二章第一节余角与补角：在介绍互补互余的定义时，这两个概念对于互余角、互补角在位置上没有进行限制；而且在课后的习题中相关的题目也需要学生具有一定的空间想象能力。处理与应用：
（1）在新知识讲解过程中可以利用三角尺，与平面上的角进行比较，通过不断变换三角尺的位置，在进一步强化新知的同时让学生空间观念的认识再进一步。
（2）练习题的处理中对于台球桌、山坡上的树学生是由生活经验回忆的，接受起来比较容易。
3.七年级下第五章第一节认识三角形在开始让学生通过观察房顶的框架图导出三角形P 139猜一猜。处理与应用：
（1）采用让学生对生活经验进行回忆、教具模型演示、描述的方法，抽象出三角形。因为此处虽然比较简单但实际上对学生的空间想象能力的锻炼应当也同样是最有效的，而且实际问题的数学模型的转化是必需的。
（2）P 139猜一猜的处理中更需要老师的讲解、描述与教具的必要反复演示相结合，才能让学生较容易的掌握。
4.七年级下第七章生活中的轴对称
整章都渗透着由实物到图形的抽象，教师应当根据不同的问题采用不同方法发展学生的空间观念。
5.八年级上册第一章勾股定理
第一节练习：折断的旗杆，
例1 ：飞机飞过男孩头顶。
第二节例1：零件的形状。
第三节：蚂蚁怎样走最近中的圆柱的侧面展开图。
课后练习：水池中的芦苇问题。
章节练习：买竹竿进电梯。
可以说本章虽然是勾股定理，是平面几何的知识但可以看出对于学生空间观念的要求一点都不低，而且有一定高度，是处理一些题目的关键入门。
处理与应用：建议在本章中也是根据不同的题目采用不同的方法进行引导，必要时可以利用手中的身边的物品作为教具进行讲解。例如：利用粉笔盒模拟池塘、电梯空间；利用卷起的纸模拟圆柱等。既能激发学生的兴趣，又利于学生能力的锻炼。
6.八年级下册第四章第七节测量旗杆的高度。
处理与应用：让学生走出教室，测一测旗杆、树木、房屋等物体，设置不同的情景，采用分组合作的方法，使学生亲身体验效果较好。
7.九年级下册第三章圆锥的侧面积。
处理与应用：自制几个不同大小扇形教具，根据不同替补进行演示讲解。
例谈初中几何解题教学
青岛育才中学????许丹????
省课程专家姜仲平推荐，理由：教育需要有心人，教师的成长首先源于教师对教育的执着，许老师多角度对几何思维的培养策略予以精辟的分析，对几何解题教学独到的见解以及认真的态度无不透出她教育的智慧，推荐学习。
指导教师徐靖推荐，理由：许老师的这篇文章从四个方面阐述了几何题的教学，实例性强，很佩服许老师平日教学中如此用心积累，希望会对老师们有所启发，推荐！
初中平面几何是初中数学教学过程的重要组成部分。它既是空间几何学习的基础，又是学生养成逻辑推理能力和空间想象能力的最初体现。几何学习一方面是以一定思维发展水平为前提，另一方面几何学习又能大力促进思维发展。因此，几何解题教学不再是单纯地教给学生每道题的解法而是应该教会学生如何根据题目去寻找合理的解题途径，促进学生的几何思维。
一、自主探索定理，数学思维从这开始
早在公元前300年，欧几里得编写了《几何原本》，此书从原始定义出发列出5条公理，通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了第一个公理化体系。而这种研究问题的方法被称为欧几里得方法。 1687年牛顿在撰写《自然哲学的数学原理》时，也曾受过这种方法的启迪，有人说进化论乃至美国的独立宣言都深受欧几里得的方法影响。我们所用的北师大版教材选用了6条命题为公理，其它的所有定理都需要学生自主探索。本套教材的知识是螺旋上升的，如在讲到八年级下册时，我们又要重新证明七年级已经学过的定理。本以为学生重拾旧知会觉得无聊，学过的定理为什么还要证？可是并非如此，学生探究的积极性非常高。如：三角形内角和定理，这条定理学生甚至在小学就知道，但这并没有减少学生的学习积极性，学生在证明该定理时想出来很多方法，作为老师也体会到了这种研究问题方法的价值。下面介绍一下学生的几种方法：
方法1（如图1）:延长BC到D，过C作CE∥BA
方法2（如图2）：过点A作PQ∥BC
方法3（如图3）：在BC边找一点P作PQ∥AC，PR∥AB
方法4（如图4）：在△ABC内找一点P过点P分别作MN∥AB，ST∥AC，QR∥BC
方法5（如图5）：在△ABC外找一点P过点P分别作MN∥AB，ST∥AC，QR∥BC
图1 图2 图3
图4 图5
这条定理证明方法虽多，其实是一种思路，就是把三角形的三个角凑成一个平角。学生自主探索定理的整个过程充分体现了初中生的思维活跃，而他们也正处于形象思维向逻辑思维过度的重要时期。传统的数学教学认为数学活动是从下定义开始的，数学研究是从定义出发的，这种观点只注意到数学概念及其定义是更深入地进行数学思维的基础，而忽略了概念和定义本身已经是思维的结果。通过对于三角形内角和180°这条定理的探索，我们现在体会到：远在定理产生以前就已经存在着一种生动的思维过程了。
二、充分利用题目条件，解题思路注重变通
数学教学中存在两种思维活动，即教师的思维活动和学生的思维活动。教师的思维过程主要展现思路的寻找过程，从而调控和指导学生的思维过程。对于几何问题我们可以先从已知条件出发，根据已学过的定义、公理、定理，逐步推出要证的结论．
记得九年级一次考试有这样一道选择题：如图1，已知在正方形ABCD中，点E、点F分别为BC，CD边中点，正方形边长为2，连接DE，BF，形成如图所示的阴影，试求阴影的面积。
这是一个稍有难度的题目，考试结果全班54名学生只有9人做对了。应该说这道题不至于难到这种程度，可为什么该题目的准确率如此低呢？这足以说明大部分学生对该题没有思路，无从下手，学过的定理、定义更是不知如何用？其实这是一个典型从条件入手的题。在讲授该题时，我设计了这样的问题：已知点E、点F分别为BC，CD边中点，这是一个突破口，由这个条件你能得到什么结论呢？
学生1：根据三角形中位线定理知道EF∥BD，EF=1/2AB.
学生2：若BF与DE相交于点O，连接BD，EF（如图2），则可以证明出△EOF～△BOD.
学生3：这两个三角形的相似比是1：2. 分析到这，课堂变得安静了，学生没有了思路。几秒钟的思考过后，我问：“回到已知点E、点F分别为BC，CD边中点，你除了想到中位线，你还能证明出其它结论吗？
学生4：△BFE和△EFC的面积相等。我赶紧鼓励到：太棒了！他换了一个思路。由这个思路你还能得到什么结论呢？
学生5：如果△BOE和△EOF分别以BO，FO为底，那么他们的高是相同的，这样这两个三角形的面积比就是BO与FO的比，这恰恰是三角形△BOD与△EOF的相似比1：2.
学生6：设△EOF的面积是x，则可列式x+2x+3x=1/2×2×1,x=1/6. 所以空白部分的面积=8x=4/3，阴影面积=2×2-4/3=8/3.
通过这道题的解题说明，一个条件由一个思路可以证明出几个结论，但不能说明这个条件就用完了，依然是这个条件用另一个思路，还能证明出其它结论。的确，有些几何问题初看似乎难于思考，但只要我们善于抓住问题特点，充分利用已知条件，就总会出奇制胜。
三、从结论出发，证明过程注重精炼
从待证的结论出发，逐步逆推至使结论成立所需的条件正是题中的已知条件；或者在从结论着眼的同时结合题目已知条件，当需要和条件吻合时，问题也就解决了。这种方法是证明题常用的方法，它可以培养学生的逆向思维。对于某些问题，从结论往回推，倒过来思考或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，这也是逆向思维的魅力。
如图1，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A逆时针旋转,旋转角为，试证明B1D=CD1.

这道题我们可以从结论出发，要证明两条线段相等，我们会想到哪些方法？
学生1：三角形全等，等角对等边．
学生2：线段垂直平分线，角平分线。这时大部分学生说出用三角形全等来做。
学生3：应该证△B1DE≌△CD1E．我接着问:“条件够吗？
学生4:不够，只有∠B1=∠C, ∠DEB1=∠D1EB．
学生5：可以证明B1E=CE．连接AE，证明△AB1E≌△AC1E．这时全班笑了，还是少一个条件。那么咱们怎么办？全等的方法还行得通吗？
学生6：可以证明△ABD≌△AC1D1，则AD=AD1，因为AC=AB1，即：B1D=CD1.
学生7：和这个思路相同，我们也可以证明△AB1D1≌△ACD，则AD=AD1，AB1=AC. 因为AB1=AC，所以B1D=CD1.
学生8：其实我们选择证△B1DA≌△CD1E也可以，可以连接B1C（如图2）,证明△B1EC是等腰三角形，从而证B1E=CE.
学生异口同声地说：“麻烦。”的确，学生在证明时，往往都会绕弯路，就这道题还有的同学证明两次全等，不仅书写篇幅长，更是浪费了很多时间。虽然条条大路通罗马，但我们需要找到最近的一条路。我想推理能力的培养应不拘泥于形式，不局限于几何部分，而是结合数学书中适宜的内容自然地进行。只有这样，才能发展学生的理性思维，使学生的思维水平得到应有的发展。
四、几何动点问题，注重基本图形
动点问题是中考压轴题目，也是学生眼里的难题，下面介绍的是一道相对来说中等难度的动点题。
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，
N分别在边AD，BC上运动，并保持
MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足
分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值；
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
这个题目的解题关键是学生是否对于此题出现的基本图形等腰梯形有清楚的认识。题目虽3个问，但是重要的是解第一个问，根据已知我们应马上想到做等腰梯形的高，从而利用相似求出答案。
几何和图形有着密不可分的关系，而教师也会常常利用图形的呈现使学生了解几何概念、定理等。有研究表明，学生在解几何问题时，回忆其所应用到的几何定理时，同时也会联想定理所对应的图形。从具体到抽象，由感性到理性，是我们传授知识的重要原则。因此，我们要求学生对定理图形不能只停留在实体的形象上，而是让学生在看到复杂图形时能形成或唤起表象，这对我们解决问题起着很大作用。

初中几何教学中如何激发学生的兴趣
即墨市第二十八中学 崔帅
省课程专家颜峰(副组长)推荐，理由：兴趣是最好的老师，要让学生有兴趣，就要让学生体验成功，崔教师灵活的教法、智慧的教学值得学习。
指导教师邱 军推荐，理由：文章介绍了教师在实际教学中的四个做法，看出崔老师是一位能悉心钻研、不断学习总结的高素质教师，做法有理论高度，也有实践层面，给老师们很好的启发，生活中的简单图形入手培养学生兴趣，直观实践结合激发学生兴趣，动手探索感悟方法获自信，变式练习掌握规律融汇贯通，谢谢崔老师为大家提供了高水平、可借鉴的做法。
初中学生初学几何，定会感到新奇，再加上日常生活中各种几何图形随处可见，这样的新奇感能使他们对学习几何产生强烈的兴趣，从而产生学习的动力，现介绍我在初中几何教学中的一些做法。
1．根据几何图形的各自特点，形象设计，使之有趣生动，第一堂课几何课的简单诱导：先确定几何研究的对象，平面图形，举实例图形，仔细观察。首先确定使学生发现我们生活在图形的世界中，儿时玩的积木，大多可根据各自图形找到它们的名称，我们生活在三维的世界中，随时看到和接触到的物体都是立体的，如石头、植物呈现不规则的奇形怪状，有较为规则的，如自然界存在的橙子、苹果、西瓜，有人类创造的如：中国传统建筑、钟楼、埃及金字塔、易拉罐、蛋筒冰淇淋。我们的教室、住房都是规规矩矩的长方体或正方体；各种现代化的立交桥是由直线、圆等图形组合而成的。即使是我们用的小小铅笔，都是圆柱体或者是一个六棱柱。教室里悬挂的日光灯管，那也是一个圆柱体，使学生了解一些常见的几何图形，从而得出在这个大千世界中的各种图形都可以分解成最简单的面、线、点组成，从而引导学生几何就是从这些最简单的图形入手的，激发学生学习几何的兴趣。
2．直观教学和实践教学是教学中的一个重要环节。
通过观察实物图形如实心球、校舍建筑，一些石膏制作的几何体，找出图形相似的实物，从中揭示图形的组成，还有让学生自己动手剪一些三角形纸片，折叠三角形的三个内角，得出三角形三个内角和定理，剪一个直角三角形纸片，使两锐角的顶点与斜边上的中点重合，得出直角三角形两个锐角互余，剪一个等腰三角形纸片，把两个底角重合在一起，得出等腰三角形两底角相等，利用欧拉公式数出一些多面体的顶点数、棱数和面数，从而激发学生学习几何的兴趣，还可让学生制作一些多面体，如圆柱体、三角锥、正方体等，还可让学生利用三视图法画一些立体图形，从而使学生了解几何的基本图形是点和线组成。总之，让学生在这些活动中增长知识，掌握理论。
3.发展学生的主观能动性，诱导学生在学习几何的过程，进行探索。
利用课外阅读材料、“七巧板”的制作，揭示几何图形的奥秘。
用分割图形方法探索“多边形内角和定理”，通过从具体到抽象，从特殊到一般的推导，很顺利地得出多边形内角和定理为：n边形的内角和等于（n-2）· 180°，使学生在克服困难中完成学习任务，学到方法，获得自信，提高学习积极性。
4．注重练习的多样性和解题方法的多样化，一个几何题目往往有着不同的解题方法，可采用一些一图多用、一图多变、一题多解的方法，从而使学生真正理解几何的多变、多样化。
一题多解既是巩固基础知识与训练基本技能的一种有效手段，探求一题多解，可使初中几何获得理解的效果。从而使学生在并不感到繁复的前提下，逐步深化，紧紧扣住心弦，掌握几何题型的多变，并使学生达到“乐学—学懂—更乐学”的良性循环，使学生能主动挖掘题意，掌握几何问题的规律。使学生学习几何的动机更加持久，兴趣更加强烈，从而使之对几何这一门学科的兴趣更加深浓。使几何难这一切工作问题能迎刃而解，尝到解几何题的成功喜悦。
自制教具，让学生在动手观察中发展空间思维能力
平度西关中学????姜增珍
省课程专家吕学江推荐，理由：空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；根据语言描述或通过想象画出图形等。发展学生空间观念教材资源丰富，观察、操作、探究、想象途径多样，而姜老师只选取七年级《丰富的图形世界》一章，创新教具，开发资源，匠心独具，用心良苦，做了许多有益的探索，积累了成熟的经验，我们看到了一个教师的执着和投入。再梳理思路，补充图片，扩大战果，呈现给大家分享。
初中七年级教材《丰富的图形世界》一章中的内容，能够很好的发展学生的空间思维能力。我在教学中以让学生在观察、操作、想象、交流等大量的活动中积累经验为目的，自己制作了多个教具，帮助学生观察、想象，取得了明显的学习效果。
一、制作《点动成线、线动成面、面动成体演示器》。
我用EDL发光二极管，通过编程把点、线、面整和在一起，可以把点动成线、线动成面、面动成体单独演示，也可以连续演示，EDL发光二极管的光电效应很有直观也很有吸引力。同时这个小发明能对启迪学生的创造力，并且简单易行，没有太高的技术含量及太高的成本。
二、用彩色卡纸制作各种卡片让学生演示《展开与折叠》。
人们对色彩是很敏感的，初中学生也不例外，我用彩色的卡纸和学生一起制作正方体的侧面展开图，让学生在动手操作中，弄清楚了正方体侧面展开的十一种情况、各种展开图的对面是谁、一个正方体要裁几刀可以侧面展开等问题。
三、制作《截一个几何体镂空演示体》。
在《丰富的图形世界》一章中，把一个正方体“截一个几何体”是个难点，学生用平面截正方体截出三角形、矩形、平行四边形、梯形基本没有困难，但是要截出一个五边形、六边形、正六边形，学生操作、想象都很困难，我们原来用萝卜、土豆等正方体让学生切，在各个棱上取点困难，效果不好。我制作的这个镂空演示体就很好的解决了这个困难，演示器一种是棱上带外置钩，一种是内置嵌槽，学生可以用线绳或是橡皮筋勾嵌在所取的点处，这样一个多边形就可以形象的呈现在面前，同时学生也知道为什么截不出七边形的原因了。
四、制作《正方体组合、分离块》演示“从不同的方向看”。
“从不同方向看”有机的把三维空间和二维空间进行转换，一个立体的图形可以从不同的侧面看成主视、俯视、左视的平面图。教师在讲台上搭成立体块讲解，大多学生不可能看到俯视图，都到前面不方便，老师若整体扳倒所搭的立体块就“散架子”了。我制作的这个《正方体组合、分离块》各个侧面装有特制的磁铁，找准N、S极后，各个小快就紧紧吸附在一起，再加上我把各个对面用了不同的颜色，学生自动就看清楚了主视图、左视图。教师把整体翻转过来学生就看清楚了主视图。由于磁铁的作用各个小块不散开，若要用各个小块搭几何体，分开用就可以，简便适用。
精彩回眸
空间观念的培养绝非立体几何的专利
济宁学院附属中学 丁传亮
关键词：观 承 思 悟 变换
摘要：如果说“思”是一个结茧的过程，则“悟”就是一个脱茧而出的阶段。记得前一阶段我在网上看到这样一句话“学我者生，似我者死”，对于专家的报告如果仅仅是拿来主义，那么要么是东施效颦，不伦不类，要么囫囵吞枣，食不知味。我认为对于专家的报告必须结合自己的教学实际，有机生成自己的教育教学理论，并指导自己的教学实践。悟变则生，照搬则死。仔细想想，空间观念的培养何处不在？
正文：通过2个多小时视频，我们聆听了几位专家老师关于空间观念与几何直观的教学的精彩分析。对此，自己在认真学习的基础上，结合自己的教学实践深刻反思。下面结合专家的经典评析谈谈自己学习的体会和对这一问题的认识。抛砖引玉，不对之处，敬请批评指正。
一、观
上午，我们有幸观看了王丽老师、赵琳琳老师、杨静老师和济南历城二中的一位老师为我们展示的四堂课的教学片断，严格的说应该是欣赏了。一个多小时的教学实况和案例赏析，只觉得时间过得太快了。自己深深被各位老师与其学生的精彩表演所吸引，王丽等老师的情境创设极具趣味性、感染力，引人入胜；老师的教态极具亲和力，使学生倍感亲切，亲其师方可信其道；过程设计处处体现新理念，体现了学生的主体地位；赵琳琳先进的现代教学手段的运用，使变化的鱼，召之即来，挥之即去，师生俨然是魔术师。一个多小时，始终聚精会神，唯恐漏掉一丝一毫，老师的精彩表演，就象海水不停地冲击礁石卷起朵朵浪花。四节精彩的教学片段也充分说明我们山东的教改已走向中国的前端乃至顶峰。因为本文主要想谈谈空间观念的发展，所以将兴奋的心情和精彩的视频暂时精心收藏，留待以后慢慢欣赏。
二、承
欣赏完老师的教学片断，马复教授和其他三位老师又对新课标关于空间图形的知识给我们居高临下的指导。在专家老师的报告中，对空间图形认识的，专家老师定位是：通过对空间图形的观察，能识别一些简单的空间形体，并能对他们进行简单的分解与组合，感知他们的展开与折叠、切与截、从不同方向观察的结果以及视图与投影。
关于空间观念，专家老师阐述空间观念主要表现：“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”。
对于空间观念在分析和抽象层次上的表现，专家老师告诉我们“能从较复杂的图形中分解出基本的的图形”，“能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的相互关系”等等。
三、思
我在自己认真反思的基础上，查阅了网上与此相关的数百个信息。发现似乎总是有一种呼声，空间观念就是几何图形的专利。再次查阅自己的笔记，发现专家老师这样告诉我们：“许许多多的发明创造都是以实物呈现的，首先呈现在设计者头脑中的是设计物的实物形态，但表现出来的往往是其平面图形——设计图纸，然后工人师傅根据图纸制作出相应的模型（实物形态），再根据模型修改设计，直到最终完善成型。在这一充满丰富想象和创造的探求过程中，人的思维是必要不断的在二维空间和三维空间之间转换，空间观念在这一过程中起着至关重要的作用”。其实我们的教学过程中，不是也到处充满着由空间图形抽象出平面图形的实例吗？所以，我的观点，空间观念绝非单靠第一章丰富的图形世界和九年级视图投影培养。
四、悟
如果说“思”是一个结茧的过程，则“悟”就是一个脱茧而出的阶段。记得前一阶段我在网上看到这样一句话“学我者生，似我者死”，对于专家的报告如果仅仅是拿来主义，那么要么是东施效颦，不伦不类，要么囫囵吞枣，食不知味。我认为对于专家的报告必须结合自己的教学实际，有机生成自己的教育教学理论，并指导自己的教学实践。悟变则生，照搬则死。仔细想想，空间观念的培养何处不在？思维的浪花千万朵，下面仅仅采撷几朵供大家斧正。
1．联系生活发展空间观念
记得在讲正方形这节课时，不少老师都是这样引入的，观察生活中图形，你能看到哪些熟悉的图形？我们生活的世界是三维空间，生活中的都是立体图形，如瓷砖等，而我们抽象出来的都是平面图形如正方形，这里实际上就是一次发展空间观念的好机会。然后老师得到正方形后往往会再问你能再举一些正方形的例子吗？再次由二维到三维的转换，再次发展了学生的空间观念。其实从我们开始学习最简单的直线到角、平行线、三角形、平行四边形、圆等何处离开过三维、二维的相互转换。数学离不开生活，生活离不开空间观念。
2．创设情境发展空间观念
记得我们济宁学院附中一次开公开课，讲了一节直线和圆的位置关系，老师创设了这样一个情境。同学们你们看过日出吗？我们一起欣赏一幅日出的动画。请思考，如果将太阳抽象为圆，接触的海平面抽象为线，你能画出共有几种不同的情况？上午，历城二中的老师在讲确定圆的条件时，创设了这样一个情境，马王堆出土了一块破碎的圆盘残片，你能帮考古专家画出这个残片所在的圆吗？要解决这个问题，首先就要从实物图抽象出平面图形。在这里就是由实物抽象出平面图形的过程，再次发展了学生的空间观念。
3．借助教具发展空间观念
为了直观形象，我们常常自作一些教具，我校一位老师在讲四边形的不稳定性用木条制作了一个活动的四边形教具，直观形象的说明了问题。在这里又是一次空间观念的体现。
4．数学的应用离不开空间观念
数学离不开应用，而应用常常要与生活中图形联系。如解直角三形的知识广泛应用于测量等实际问题，我们一般会将实际问题转化为数学模型和运用数形结合的思想方法．在这里测量也好、计算也好都离不开实物到平面图形的转化。还有勾股定理的应用等，基本都是空间观念的体现。
5．在数学活动中发展空间观念
我们用的初中教材鲁教版课题学习中有 “有趣的七巧板”是一次实践活动。利用七巧板拼图是我国一种传统的数学游戏。教材安排这次实践活动，可以使学生在有趣的活动中感悟平面图形的特点，培养学习兴趣，发展空间观念。在这节课的教学中通过拼图形，发展了学生的空间观念。
6．巧借变换发展学生的空间观念
上午的报告中，马复教授告诉我们，图形变换包含平移、轴对称、旋转、相似（位似）四种变换，无论是全等变换还是相似变换，实质上就是图形的位置或大小的变换，还有实物图与几何平面图形的转换。另外变换也绝非几何所特有，反比例函数、二次函数的图象在其图形变化的过程中，处处有平移、轴对称或旋转的身影。
总之，发展学生的空间观念，要贯穿于我们整个初中教学的始终，这不仅仅是为高中立体几何打基础，这也是培养学生分析问题、解决生活实际问题的能力的有效手段。
研修感言
指导教师 杨传厚
火火的八月火火的人，火火的激情火火的心；如火的平台如火的网，如火的专家来引领；如火的学员细聆听，如火的研修进行中。。。
明集镇初级中学 项龙江
今天的收获真的有点意外了。没有想到在交流学习平台上能学习到由老师的听课心得，真的很详细、深刻、到位，虽然我没有听这节课，但却有身临其境之感受！由老师的文采非常出彩——由衷的佩服！我又学习了一种写听课心得（反思）的新格式和手法！谢谢！
乳山市南黄镇初级中学 孙珉堂
“专家引领、专家解惑、百家争鸣、热点聚焦”学习栏目的认读，收获颇丰，同时解惑了心中的几个问题，对一些知识的理解又增进了一个层面，真好。要想使教学过程最优化，必须先解决“教的最优化”，作为一名教师就必须不断地提高自己的业务水准，坚持不断的学习和反思，来增加“内存”，提升自我。
平阴县店子中学 张桂莲
曾经参加过不少的培训，但这次培训让我感动，感动的不止专家、指导老师们兢兢业业的工作态度，还有参加培训老师们的夜以继日的学习热情。它比以前的培训更真实，更现实，更符合一线教师的口胃。聆听专家老师的讲解 就象干涸的苗木得到了雨露的浇灌，感谢教育厅给我们提供的这次学习的机会，感谢所有专家老师、指导老师付出的艰辛，我们所有的学员都会珍惜这次来之不易的学习机会，努力提高我们的教学素质、业务水平。
青州市海岱学校 崔玉菁
两天的学习，让我浮躁的心得以静谧，自己学习、同事讨论、看专家点评，特别是简报上上的专家引领，对我触动很大。自己教学时忙忙碌碌，静不下心来想，知识有限也想不到，通过学习，感受颇深。
临朐县冶源镇初级中学 刘俊明
这次远程培训使我认识到把教师局限在一个固定的范围内，他的知识面也会受到影响，于是网络给我们搭建了一个快捷高效的平台。感谢专家和我的同仁们的精彩点评，它使我受益匪浅。愿我们共同努力，共同提高。
学员心声
平阴县孔村中学 王道俊
这个暑假，我过的很充实，很快乐，每天我都来这里阅读简报，学习，使我有很大收获。能够有机会学习就是一种人生幸福。
在8月5日的在线研讨，更是我们学习的良机！我在期待！
菏泽市牡丹区二十一中学 郭红梅
这个假期，我过的很充实，每天我都来这里阅读简报，使我有很大收获。真正的感觉到了我在教学中的不足，和其他教师的差距，我要珍惜这次机会，为我今后的教学大基础。
即墨市龙泉中学 于翠翠
期待8月5日的在线研讨~~
乳山市怡园中学 东静
虽然已经学习两天了，但是由于自己思想上的不重视，感觉收获不大，但是看了第三期的简报，专家的敬业精神和对问题深入透彻的剖析，及欣赏了专家推荐的优秀作业后，感触很深，下定决心从现在开始一定认真对待这次学习，争取学习结束时，自己能有最大的收获。
即墨市通济中学 林云岗
随着研修的进行越来越感觉到自己所欠缺的东西太多了，刘姥姥进了大观园肯定也是这种感觉，珍惜机会，努力加油吧，别让自己真成了数学大家庭中的“刘姥姥”。
青岛市崂山区第五中学 颜雪梅
在数学教学过程中，我们要将数学教学拓宽到生活的空间，充分借助学生已有的经验，利用适宜的情景，运用正确的方法，让学生产生深刻的体验，从而丰富学生的想象力，让学生的空间观念在我们搭建的观察平台中得到最好发展。每位老师都会尽力做的。
诸城市龙源学校 夏术清
远程研修，给我们创造了学习交流的机会，这种方式彻底改变了以往假期培训班的冗长和无聊，让大范围的老师们实际的交流一下，非常好。我觉得，交流的问题最好是每个人的真实感受，如观点、困惑等，不在字数多少，至于教学设计之类的内容不必太多，因为谁手中的好设计都很多，实际意义不大。
高区神道口中学 万彩玲
这样的培训形式感觉很好，每天上网似乎都感觉到了一个大家庭里面，有班主任的留言，有同学的文章，有指导老师的点评，虽然是一个人在电脑前，但是感觉一点不孤单，感觉有很多人和你一起在学习。
泽市牡丹区沙土镇新兴中学 李翠环
把我对平时工作中的一些不懂和疑惑解决了，尤其是刘志军老师提的那个问题，我也有同感。现在有了专家的解答，我就能够清醒的知道在教学中应该怎么做了。谢谢专家的解答。
山东省青岛第五十九中学 马虹桥
有了仰望，有了研修的切磋，有了门外的启叩，就会打开数学殿堂之门。 我们坚信这次远程培训，能够带给我们终身的记忆；也坚信通过研讨与交流会创造多彩的教育。
诸城市龙都街道吕标初中 王维军
几何学中图形的变换包括“保距”“保角”两种。听了马教授的报告使我豁然开朗，同时还明白了很多道理。通过几何学的教学，使学生不断形成空间观念。在学生不断形成几何空间观念的过程中发展了思维培养了能力，特别是创新能力的培养，起到了潜移默化的作用。
每日之星

学员每日之星
评选标准：作业被指导教师推荐，并且积极参加交流讨论，得到大家认可。
即墨市南泉中学 马宗仁 评论数125
商河县玉皇庙中学 王德线 评论数94
山东省青岛第四十一中学 刘 鹏 评论数92
章丘市明水街道办事处绣江中学 马素强 评论数84
山东省青岛第五十一中学 赵之樱 评论数83
文登市七里汤中学 张 红 评论数83
莱西市望城街道办事处中心中学 苏广文 评论数83
即墨市通济中学 林云岗 评论数82
定陶县南王店中学 甘永军 评论数81
曹城街道办事处中学 崔继贞 评论数75
临朐县五井镇五井第二初级中学 马 羚 评论数74
昌乐县唐吾镇中学 陈荣华 评论数74
章丘市实验中学 韩庆师 评论数72
胶州市第十八中学 刘妍君 评论数72
诸城市相州镇相州初中 王金亮 评论数72
平度市马戈庄镇马戈庄中学 刘志财 评论数71

指导教师每日之星
指导教师
评论数
推荐数
张怀山
541
17
王厚涛
574
12
谢经汤
364
18
吴志城
358
17
姚桂菊
341
17
孔庆龙
371
15
吴学峰
346
16
王世明
273
18
陈秀雪
302
16
陈玉华
381
12

班级关注度统计
班级
学员数
作业数
资源数
关注度
青岛市初中数学15班
92
274
0
132
青岛市初中数学1班
89
267
2
111
菏泽市初中数学7班
80
228
1
102
青岛市初中数学22班
96
285
0
99
青岛市初中数学13班
94
281
0
97
青岛市初中数学25班
90
267
2
97
青岛市初中数学2班
97
290
0
96
青岛市初中数学10班
94
277
1
96
青岛市初中数学24班
93
279
0
96
潍坊市初中数学7班
99
284
1
95
优秀班级简报链接
青岛24班 第四期 我们在前进
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-2389
东营1班简报
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3239
济南初中数学一班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-2989
威海一班 在研修中成长
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3280
威海二班 破茧
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3268
威海三班 接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3256
济南初中数学六班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3401 枣庄市数学1班 简报 第三期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3227

通知

关于征集第二次“在线研讨话题”的通知
各位学员：
大家好！8月5日进行第一次在线研讨，研讨话题已由专家团队确定，并进行了公告。
8月10日将进行第二次“网上在线研讨”。为使“研修话题”更加贴近老师们的需求，真正解决大家在教学实践中遇到的问题、困惑,尤其是急需解决的热点问题。现向全体学员征集“研修话题”，应征话题在本期及以后几期《课程简报》后面跟帖即可。我们将精选后的话题及提供话题学员的名单刊登在《课程简报》上，第二次“网上在线研讨”话题将从入选《课程简报》的话题中选用。
作为“2010年初中教师新课程远程研修”整个团队中的一员，您的支持将给我们整个团队不断向前发展提供不竭的动力。
期待您的参与！
省课程团队
2010年8月3日

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