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专家引领
概率与统计教学研究的背景资料
马 复
1．传统课程对概率与统计的关注不够——课程安排中或者没有设置、或者仅仅是一次性的几个课时；教学过程要么或者是法则型或者处方型的计算活动，要么是数学化地引入概率统计。于是，这个层次上的学生仍然持有他们先前的对随机现象所固有的观念和概念，而很难有机会改进他们的统计直觉。
事实上，对于随机现象（来自于欧洲的说法，包括概率和统计）的认识既有数学上的困难、也有理念和心理上的复杂性。
Garfield认为，影响概率与统计教学研究的主要因素包括：概率统计在课程结构中的作用；教学与研究之间的连接；数学教师的准备；目前评价学习的方法。
1．哲学方面的影响——唯理论与经验主义
前者如笛卡儿等，认为知识的获得是一种纯粹的推理过程——发现并演绎那些早已存在的绝对真理。知识就是演绎、就是揭示客观存在的真理，不是建立在感觉基础之上的。后者如洛克等，认为知识是建立在对事物的感觉、观察后做出的推断的基础上的。人们不能真正地认识事物，只能了解事物。即知识从感觉开始、然后归纳、建立理论。不同的认识论传统，导致了对随机现象的不同研究传统，而这些差异被带入相应的研究与教学之中，就可能产生在观念层面上的不同。
2．概率自身的发展：什么是可承认的依据？这一观念的发展对随机研究的影响是很明显的。“概率”常常被同时理解为“可信的程度”（经验的意义）和“随机事件发生的频率的稳定值”（统计的意义）。
这里就有两种观点：经典数学的——从某个起点（公理）出发，演绎出全部的结论。它是以事物的外在原因为依据，遵从“结论应当由一定的原因推导而来”，属于传统科学的“由‘初动因’推导出全部结论”的范畴；
经验的——依据现实数据或样本实验，推出全部结论。它是以事物的内在原因为依据，即从许多类似的情形中得出归纳的依据，属于“看法”的范围；属于新型科学的“从所获得的信息中归纳出结论”的范畴。
3．几个基本说法：古典概率——事件发生的每一个结果的可能性是相同的、事件发生的结果总数是有限的（等概率分布的随机模型）；事实上，“事件发生的结果总数是有限的”通常比较容易证明，而“事件发生的每一个结果的可能性是相同的”则难以证明（如无法证明：抛一枚硬币，落下后其正面或反面朝上的概率是相等的），它根本上就是一种感觉。
“大数定律”（当n越来越大时，白球出现的频率越来越接近它在盒中的比率）是其基础，但“大数定律”是一个经验规律。
频率概率——某一事件可以在相同条件下重复任意次（不要求事件发生具备等可能性，如“掷一枚不均匀的骰子”）。它是一种实用性定义，虽不确切，但合理。不同的人在做实验时，虽然可能得到不同的估计值，但那是“偶然性”所致，而非方法本身所致。
主观概率——主体对事件发生可能性大小的数量判断。通常在各种“一次性事件”中使用较多。如：投资、火星上是否有生命、2006年1月1日北京是否会下雨等。
在许多情形下，“古典概率”与“频率概率”有比较一致的结论（掷硬币、掷骰子、转圆盘等），另一些问题，“频率概率”有明显优势（掷瓶盖、掷不均匀骰子等），事实上，模拟实验都依赖于“频率概率”。
4．对有关随机现象的问题，人们是如何思考的、怎样影响人们的思维；人们的错误通常产生于：对（原始）概念的误解、概率直觉（运用朴素统计观念估计事件发生的可能性）偏差、思维过程中的谬误、推理过程（在不确定情形中）的偏差。
概率直觉——对典型性和有效性的理解。
典型性：
认为一个样本既反映了总体的特征，又有一定的偶然性（作为一个独立的个体）。
在一个有着6个孩子的家庭里，孩子性别排列状况中的男、女、女、男、女、男似乎较男、男、男、男、男、男可能性更大。
忽视样本大小对典型性的影响：掷3枚硬币出现2枚“币值”朝上的可能性，和掷300枚硬币出现200枚“币值”朝上的可能性相同（事实上，极端情形——全出现“币值”朝上，在小样本时比大样本出现的可能性更大）。
否定最近的结果（赌徒谬论），理由是保持平衡：连续掷几次小点数，则下次很可能掷出大点数；
有效性：当人们估计某些自己认为很容易猜测的事件结果时，常常是运用了有效的直觉判断。而这一类判断经常由于个人经验的局限性、不同人见解的差异性等因素导致很大的偏差。
一些经典问题：Monty难题（汽车问题） 与下面这个问题很类似：一只瓶中有2个白球、2个黑球，从中依次取出两个球，且不放回第一只球，那么：若已知第一只球是白色的，第二只球也是白色的概率是多少（）？若已知第二只球是白色的，第一只球也是白色的概率是多少（）？（想象：先摸出的那只球不看，再显示第二只球是白色的，则第一只球是白色的概率就显然了）
一个袋子里有3张卡片，其中一张卡片两面都是绿颜色的，一张卡片两面都是蓝颜色的，第三张卡片的一面是绿颜色、一面是蓝颜色的。你从中摸出一张，看到一面是蓝颜色的，那么，另一面也是蓝颜色的概率是多少？ （区别：卡与卡的面）
Monty难题：当空门被打开后，获奖的可能性就“自动”上升到，还是呢？不换还能够赢的唯一可能就是原先猜到了汽车，而这一可能性就只有。所以换了以后获胜的可能性是。
其他误解：某地区所有初中毕业生（几万名）的数学中考平均成绩是100分。随机抽取10个考生的成绩作为样本，而已知第一个考生的成绩是60分，此时，你怎样看待整个样本组的平均分？
⑴ 平均分还是100——样本反映总体情况，但如此小的样本能够反映总体情况吗？
⑵ （9×100+60）÷10=96——权重的影响：不能简单地将对“把所有样本值相加，再除以样本量”这一算法的熟练使用看作为对平均数学习的理解。
⑶ 如果是预测余下9个考生的平均成绩，那么应估计其值略高于100分，以补偿那个特别低的60分？
专题五《统计》的研修要点
省课程专家 颜峰 吕学江
初中学段数据随机性与统计过程学习的总体目标：经历收集、整理、描述与分析数据，作出决策和预测的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法。其核心是帮助学生通过活动逐渐建立起统计观念，形成尊重事实、用数据说话的科学态度。
要使学生形成统计观念，最有效的方法是让学生真正投入到统计和试验的全过程，经历收集、整理、描述和分析数据，作出决策或预测的过程，领悟用样本估计总体的思想方法，丰富对有关概念、公式、图表所蕴涵的统计背景的积累。
统计知识相对独立，统计方法与代数运算、几何推理不同，我们实际教学中可能会觉得陌生，存在困惑。
建议老师们从以下角度入手，把握本专题的学习要点：
新课标对统计教学的内容和要求做了哪些调整？
统计观念主要表现在哪些方面？
如何帮助学生正确理解个体、总体、样本、极差、方差、标准差等概念？
中考数学命题指导思想的变化对统计教学有什么启示？
如何对学生进行学习指导？如何对学生学习效果进行评价？
……
在本专题中，国家课程专家马复教授和他的团队会给我们精辟的讲解，精心的梳理，精细的指导，精彩的课例，精选的素材，请老师们认真观看视频，仔细回味反思，积极与同事交流，你就能释疑解惑，你就会受益匪浅。
专家解惑
指导教师 张敬华 问：
素质教育强调要关注每一个学生的发展，请问在一个近50名学生的班级中老师如何能做好？
省级专家姜仲平 答：
无论班额大小学生总是会有差异的，这是伴随班级教学高效同时与生俱有的一个问题。大家都在根据当地的情况作着积极的探索。素质教育强调要关注每一个学生的发展，就是要实现所有学生的共同发展，而非相同的发展。张老师要我谈谈，很是惶恐，惟以一点不成熟的看法来抛砖引玉。
要让不同层次的学生总有自己的事情做，比如学习优秀的学生，要为他们提供“自助餐”，加大“营养” 提供量，保证他们“长得更快”，学得更好，不用讲就会的提供机会教给他们自学；对学习中等的学生，可以在班内开展小组互助合作，在组内的互助促进下，帮助中等学生晋升为优秀生；对学习有困难的学生，指导更要细微，帮助更要具体，我们不要满堂灌，也不是一味要少讲，教师要会讲！善讲！要通过学生学习过程及成果的展示、互相答疑、尤其是教师的强调与点拨、以及反复的训练，推动他们早日“脱贫”奔“小康”。 总之，不能让任何一名学生成为我们教学行为的旁观者，而应是学习过程积极的参与者，目标只有一个，那就是改变学生的学习风格，要人人都在尽力做事情。
在作业的布置上，自然是要分层，这里就不赘述了。
说来说去，就是要让学生人人做自己能做好的事，这样才能激起他们的学习愿望，有何办法？说到这里记得苏霍姆林斯基《给老师的建议》中提到了一个让学生阅读的好办法；不过有了愿望，学习困难的学生还是“怎一个愁字了得”，教师要协助他们寻找适合自己的方法与技巧；另外，既然学生是有差异的，那就不要追求统一的标准，只追求让我们的学生能获得与自己期望相当的结果就好；最后一点，要让每一位学生总保持一份希望，希望能再获得这样的学习、展示、实现自我的机遇，如此学生与教师就能实现“共赢”。
絮叨这些，仍觉词不达意，一管之见，贻笑大方。
惠民县石庙镇第一中学 张德椂 问：
合情推理与演绎推理的关系怎样？如何把两者有机结合起来？
平度市云山中学 宋吉金 回复：
所谓合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段而进行的一种推理。合情推理需要从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想．联想或猜想是最终的形式。
省级专家 褚爱华 答：
关于张老师的问题，宋老师在跟帖中进行了回答，我想再深入谈一点自己的看法。“几何的推理与证明”是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的。任课教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致丧失学习数学的兴趣和信心。很多学生对几何证明题，不知从何做起，甚至部分知道了答案，但不知道怎么得出，叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的过程几乎不会写。
老师们遇到这样的现象是正常的。传统几何教学过多的强调演绎推理，新课标对初中几何《证明》作了较大调整。虽然新课程理念要求推理的过程不能过繁，一切从简，但要求做到摆事实、讲道理的论证方法，方能完整。从目前新课程的实施情况看，教师对于学生何时需要严格按照公理体系、用综合法的表述方式进行证明，感到无法把握。这是大家普遍关注的问题，解决这一问题的关键是对新课标的理解与把握。
数学新课程标准将初中数学课程中的“几何”拓展为“空间与图形”，修改稿又改为“图形与几何”。第三学段现分为三个部分：（1）图形的性质；（2）图形的运动；（3）图形与坐标三部分。其中，第（1）部分大体整合了《标准（实验稿）》的第（1）、（4）部分的内容，以利于在探索、发现、确认、证明图形性质过程的过程中，体现两种推理（合情推理与演绎推理）相辅相成的关系；体现《标准（修改稿）》在总体目标中提出的增强学生“发现和提出问题，分析和解决问题”的能力的要求。
我们能够发现新课标的对几何知识的要求是不过分强调公理化体系，由纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理，更多地强调从具体情境为前提出发进行合情推理，强调引导学生观察、操作、实验、探索并进行合情推理，体现几何 “过程性”的教育价值。强调学生经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。
把握好几何直观、合情推理与演绎推理是证明教学的关键。几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。在许多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果，是由特殊到一般的过程。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）验证结论，是由一般到特殊的过程。在解决问题的过程中，合情推力有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于验证结论的正确性。
新教材在七年级强调合情推理的教学，至八年级逐渐渗透演绎推理能力的培养，这是符合学生年龄特点和学生的认知发展水平要求的，在教学中教师要把握好渗透的度，使演绎推理成为合情推理的自然延续。无疑，如果过早要求学生用综合法的表述方式进行证明，造成学习困难，而淡化了对学生推理意识的训练，则欲速而不达，影响学生思维能力的发展。
山东省莱西市第四中学 沈海萍 问：
在实际教学过程中，我经常遇到这样的问题：学生一看到稍微复杂的题目或图形，就把这个题目放过不解了，有的学生甚至连题目都不看以为这个题肯定很难，学生的“畏惧”思想怎样处理和解决？恳请专家们指点，谢谢！
省级专家谢志平 答：
个人认为，出现这种现象的原因有二：一是学生的知识储备不足；二是对数学学习没有信心，畏难情绪使然。
解决的办法：一是加大学生的数学知识储备。抓住数学知识的本质进行教学，使学生知其然，更知其所以然。二是重视对学生的解题指导。把老师的解法是如何想出来的展示出来，尤其是对那些根本不知从哪里想起的学生。三是加强解题后的自我反省。题不在多，有思则灵。让学生自觉对问题的本质进行重新解剖，反思解题过程的成败得失，思考还可能存在的新思路、寻找更好的解法等等。四是设计不同梯度的练习，加强解题指导。让学生从数学解题中体验到成功的快乐，并利用老师及时的不遗余力的表扬跟进，强化学生的成功体验。五是设置有趣味的数学题，逐步体验数学的好玩。数学大师陈省身说过“数学好玩”。
薛城区远程教育学校 刘翾
我们应用的是北师版教材，我想提的问题是：对于教材内容，怎样处理才能真正实现“课前无预习、课后无作业”，而又不使学生的成绩受到影响？谢谢！
省级专家吕学江 答：
我觉得，“课前无预习、课后无作业”而又保证质量，可以是一种教学理想或追求的极致，虽在专家报告的例证中也听到过甚至实际存在，但只是个案，没有一般性也就上升不到教学方法、教育理论。我反倒认为，课前预习、课后作业对于提高学生成绩还是非常必要的。
其一课前预习，这对指导学生主动了解学习内容，认同学习目标，较顺利进入课堂自主学习是重要前提。预习任务因学情而定，应具体明确、易操作、能验收，课前一天布置或印发，让学生独立思考并形成初步解答，上课时交流、展示。能预习是一种习惯，需要老师长期培养；会预习是一种能力，需要老师精心指导。做好预习，用足课前，不失为应对课时减少、缓解课上压力、延长课堂教学时空、提高学习成绩的好方法。
其二课后作业，曾闻上海几十个特级教师谈到提高教学质量的“高招”时，有一观点惊人的一致，那就是“得作业者得天下”。课后作业是课堂学习的延续与补充，是学生巩固与自评学习效果的手段，是教师因材施教、个别辅导的途径，也是师生沟通互动的载体。甚至有些时候，家长对一个老师的认识及评价往往是通过孩子的作业本来推断这个老师是认真的、负责的、辛苦的，迁移到认定老师对他的孩子好，会支持你。现实中我们常埋怨学生做题丢三落四，不规范不完整，书写不认真，是不是与课后作业要求不严、老师批改不仔细有关？
一家之言，权作抛砖引玉，供评点，供取舍。
回音壁
编者按：
上一期简报，即墨市龙泉中学于翠翠老师问：怎样把“要学生学”变成“学生自己要学”？省级专家姜仲平以《最要紧的是让学生体验成功》为题做了回答。老师们纷纷跟帖，发表对此问题的看法。现部分摘录如下：
平阴县刁山坡中学 张国庆
我们学校现在实行小组合作模式的教学，很能激发学生的学习兴趣，效果很好。
山东省青岛第二十一中学 周雪皎
学生的学习能力与理解能力有差别，学习习惯和学习态度也有差别，想要不同的孩子取得相同的成功是不可能的，但是要让孩子学会尽力而为，想办法争取达到自己最大的成功。
乳山市南黄镇初级中学 孙珉堂
兴趣是动力，爱好是最强的力量。在课上，有些学生从没有体验成功的快乐，又何来学习的动力呢？挨批、罚站，每次测验总是几十分，极大的伤害了这些学生的自尊心和自信心。让学生体验成功的快乐，从一丁点开始，积少成多，学生就会走上自己要学的路。
山东省青岛第二十一中学 周雪皎
非常赞成专家对学困生的辅导策略：合理定位，了解实情，落实基础，稳步提高。
东营市胜利第四中学 项在国
通过学习，感觉到促进后进生转化，关键是让学生转变数学学习的方式，使学生独立解决问题，体验到解决问题的快乐。转变学生的学习方式要循序渐进，坚持不懈。
众说纷纭
山东省青岛第五十一中学 赵之樱希望谈一谈关于数学竞赛的话题。
由一则关于要不要竞赛的话题想到的
省级专家 云鹏
关于竞赛，受大的环境的制约，为了纠偏，不搞（或者说临时不搞）是可以理解的。竞赛不是目的，培养人才才是根本。
当然，通过竞赛这个抓手进行人才培养，无疑是既有效又能体现老师价值的一个好办法。作为一线老师，在上面不搞竞赛的大背景下若还想在这个方面有所作为的话其实可以变通：如利用班级板报，定期的来个能力挑战（当然要有回音，关键是要持之以恒）；班级的比赛；校级的比赛等等。有勇气改变你能改变的，能宽容你所不能改变的，这是境界。
事实上，在培养优秀数学人才上我们可以有很多方式来实现，仅就我们的主战场——课堂，来谈谈这个问题。在课堂上我们会看到，明明学生提出了一个很有见地的问题，有时我们的老师或是考虑到要完成本节课的任务，或是考虑到不属于课标要求，而想法搪塞过去；还有就是教师自身功力不到（或临时出现盲区）自己还没有发现它潜在的价值；姑且不说应试教育这个顽疾，你不考，我就不教（因为这已是极个别现象）。在课堂上我们还会发现，老师所讲的内容本来是一个培养能力的好素材，但有的老师却“删繁就简”，在“双基训练”上做起了文章，当然这种急功近利的短视行为近年来已经少了很多。
之所以把这个问题拿出来说，是因为教师通过对高水平学生的辅导，既能为我们国家储备高、精、尖人才尽一份力，同时还能在较短的时间内提升自身数学素养。虽不能说这是作为一个人民教师的义不容辞的责任，但它的确很值得我们去做！
关于这个话题，还有些老师跟帖：
大高镇第二中学 张爱霞
数学竞赛确实能提高有能力学生的学习能力，可以搞搞。
茌平县实验中学 路倩
数学竞赛该有，能激发部分学生的学习热情。
东营市胜利第五十九中学 崔成利
数学竞赛应该搞，它对有能力的学生是个促进。
阳谷县西湖中学 秦怀峰
数学竞赛应该搞，这对某些有资质的学生是种历练。
济阳县垛石镇中学 郭振华
我支持继续搞数学竞赛。
曹县庄寨镇中学 撒留占
搞竞赛弊大于利！真是糊涂。
热点聚焦
热点之一
怎样发展学生合情推理能力？
即墨市新兴中学????刘进玉
省级专家云鹏推荐，理由：同意指导教师邱军的点评。如果3，4条再加以充实，就更好了。
指导教师邱 军推荐，理由：刘老师的文章来源于自己的教学实践，有内容归类，有举例说明，分析透彻，条理清晰。既有日常教学实践的逐步积累提炼，又有站在整个初中教学角度上的综合整理。
合情推理一个很重要的特点就是“提出猜想”，合情推理的思维严密性虽然没有演绎推理过程那么细致入微、严谨。但是它那极强的“感受性思维”，“可能性思维” 的大跨越式“猜想”却非常好地弥补了演绎推理过程中那层层叠嶂和迷雾，它可堪称为演绎推理“瞭望镜”。合情推理的实质是“发现---猜想”。
我在教学过程中发展学生合情推理能力主要有以下几方面。
?1．开展好实践活动：加强教学中的学生观察活动、实验活动、素材收集与整理活动、猜想活动、发展合情推理能力。如：在准备校运动会时，大家喜欢什么样颜色的太 阳帽？最喜欢什么色的？老师可以安排学生对全班同学进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策。这个过程就是 合情推理，这样做出的决策定能使大多数同学满意。
2．开展“意识性思维”的教学对话活动：教学中当一部分优等生形成认识、获得思路后，教师一定要舍得投入时间让学生说出自己的一些想法，强化好“说想法活动”譬如：老师可以追问：“你是怎样想到的？你是抓住了那一些关键点？是什么地方、哪些条件给你了启发？通过观察你意识到了什么？你是如何猜想到这一规律或结论 的？……”这样的一些对话活动，从很大程度上是在培养学生的“意识性思维”，“猜测性思维”，长期坚持，老师们就会发现学生的思维火星大增，思维就像是 “长上了眼睛一般”。例如：垂徑定理的教学，可以让学生结合圆的轴对称性，探索发现垂径定理及其多条推论；然后老师再与学生进行“意识性思维”的教学对话活动，以增进学生合情推理的意识和水平。
3．多提供基础规律性的探索和合情推理与思维方式的培养活动：如：开展规律探索题的学生大比武活动；适量给学生一些动态的、变化的、设计层次分明、梯度合理的题目；
4．加强数学操作活动的教学，让学生通过折叠、剪纸、捏橡皮泥等活动激发合情推理兴趣，促进个性化思维的发展。
5．充分用好“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的教学内容，切实改变过去认为只有几何证明题才能培养学生的推理能力的现 象。如：在空间与图形这部分内容中，在研究图形性质时，通过“看”“摆”“拼”“折”“画”等活动，感知图形的性质，得出一些描述性的结论。在统计与概率 的教学中，我们要让学生经历收集数据、整理数据、分析数据，然后做出推断和决策，这些都是是属于合情推理能力发展有效做法。
合情推理是创新思维的火花，观察、实践、操作探究、猜想、是合情推理的前期准备，只要我们不断总结反思，我想我们的教学必定会达到 “随风潜入夜，润物细无声”的艺术境界；使学生成为合情推理的行家里手。
发展演绎推理能力
诸城市龙源学校????范常青????
省课程专家谢志平推荐，理由：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。利用合情推理发现问题，然后利用演绎推理去证明发现的结论，这是数学发现的过程。本文结合实例给出了很好的说明。
指导教师王建光推荐，理由：精心设计例习题，以习题为载体，利用一题多变等变式训练，培养学生念的“合理推理”，进而培养学生的“演绎推理”。举例典型。读后受益匪浅。
??? 数学家波利亚说过：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”合情推理即合乎情理的推理，它依赖于形象思维与直觉思维，思维过程跳跃性强，推理的结果有待验证。因此教师要关注学生通过观察、实验、猜想、归纳出的结论。这就是学生的合情推理，其实质就是“发现”，学生合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。
?我在授课中有意识的设计一些综合性强，重在考察学生的发散思维，演绎推理能力的题型。首先指导学生认真观察、动手实验、大胆猜想，然后在此基础上作出合理的推理论证。如运用下面的例题和发散练习：
? 典型例题：如图已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。
?①观察图形，你能猜想DM和DN的数量关系吗？说明你的理由；
　②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
分析: 学生通过观察，思考，甚至有学生找来三角板动手做起了实验，很快就有学生发现了结论。（DM=DN,S四边形DMBN=1/2S△ABC）
在学生半信半疑中，我指导学生对于自己发现的结论展开证明，并提示学生证明线段相等一般可考虑三角形全等。
(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
分析：继续实验，学生很快就发现了结论，并在证明问题（1）的过程中积累了经验，很快找到了两个三角形全等。学生尝到了成功的快乐，巩固了对三角形全等的掌握，并初步感知了矩形的特征。这样通过步步深入，把较复杂的问题变得“跳一跳，够得着”?了，学生的发散思维。演绎推理的能力得到了发展。
(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
?
小结：此题的呈现形式是动态的、变化的，题目设计有层次，有梯度。在教学中我首先指导学生寻找题中的突破口，通过动手去操作，认真观察，并给学生以大胆猜想、大胆推测的空间，激发学生去自主思考、合作探究，达到共同提高的结果。这节课学生学得轻松快乐，而且记得牢。
紧接着我有安排了课后小组合作探究题目，让学生进一步体会在作出合情推理的基础上，通过自主探究、小组合作，发展学生的演绎推理能力。题目如下
（2009临沂中考题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
　总之，合情推理是创新思维的火花，操作探究是创新的基本技能，我们在教学中要充分挖掘新教材教学资源，用火花去点燃学生的学习激情，用技能去武装学生的头脑。使教学过程成为师生交流、共同发展提高的互动过程，数学课堂真正成为师生富有个性化的展示舞台和创造天地。
发展学生合情推理能力的主要活动形式
邹平县实验中学????刘政荣????
省课程专家罗寿果推荐，理由：刘老师结合自己的教学实践，谈出对学生合情推理能力的培养，很到位。特别是“做个有心的老师”，值得学习。
指导教师牛方云推荐，理由：刘老师结合自己的教学实践，对如何培养学生的合情推理能力谈了具体的做法，很实用。
只要是个有心的老师，不难发现现在新课标的教材处处存在培养发展学生合理推理能力的例子，这也是新课标对教师理念的新要求。在平时教学中注意运用以下几种方法发展学生的合情推理能力，下面简要说明一下：
一、勤动手
在现在教材中这样的例子比比皆是，例如学习线段的中点、角的平分线时，让学生通过自己画一条线段然后通过对折的方法，获得线段中点的数量关系，同样，学生把自己所画的角进行折叠，使得角的两边重合，从而认识角的平分线以及数量关系。等腰三角形的性质的得出可以让学生进行折纸，利用等腰三角形的对称性总结出性质。在研究生活中的轴对称这一章时，特别应该让学生动手进行尝试。这些操作都比较简单易行，学生乐于尝试，容易接受，勤于动手，经历、体验这是发展学生合情推理能力前提和基础。
二、勤观察
善于观察、善于发现，这是发展学生合情推理能力的重要手段。在学习比较线段的大小，可以利用直尺进行度量；角的比较可以利用量角器进行测量； 在学习圆心角和圆周角的关系时，让学生利用量角器进行度量，从而得出两者之间的数量关系。通过观察思考不难得到结论，这就是合情推理的基本方法之一。
三、勤归纳
归纳是合情推理提升的前提，例如在探索数学式子的规律，探索图形的规律，学习中应该注意的问题都可以让学生进行归纳和反思。作为教师，可以大胆放手，让学生自己试一试，在学生尝试的过程中出现的问题可以先让他们自己想办法解决，对于解决不了的问题，可以集思广益，发动大家一起解决，让大家一起经历探索问题，发现规律，总结归纳的整个过程，这正是科学探索理应经历的过程，在这个过程中，让学生体验得到结果的全过程和获得结论的乐趣。
四、弄清图形变换
例如利用平移、翻折、对称和旋转来学习三角形的全等的知识，利用圆的轴对称性让学生发现垂径定理及推论，利用圆的旋转对称性发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系。让学生认识几何的变换方式，研究的方法，变换中的各量之间的关系。弄清图形变换，才能合情结论的得出。
五、注重课题和活动的学习
在平时教学中，一定要注意课题和活动的学习，这是学生合情推理的重要方式。在学习相似三角形时，可以让学生测量学校旗杆的高度，根据自己的实际操作过程写出计划，体现具体的活动过程，自己的测量方法、理论依据。让学生经历“做数学”的全过程，体验结论的得出。
六、反思升华
没有反思也就没有进步和提升，注意给学生一定反思的时间和机会。解决问题之后的反思能够引发学生的思考，让学生重申自己解决问题的全过程。由现有的条件再得出哪些结论的问题，能够引发学生的其他联想，从而培养学生的合理推理能力。
?现在学生的生活丰富多彩，知识无处不在，“世间洞明皆学问，人情练达既文章”，只要善于发现、善于观察，运用所学得出自己结论，从合情到合理，循序渐进不断学习发展，功夫不付有心人，学生的合情推理等能力一定会不断提高。
发展学生合情推理能力的主要活动形式
东营市东营区第一中学????生金东
省课程专家姜仲平推荐，理由：能帮助发展学生合情推理能力的素材很多，这种能力的发展不是教师教出来的，那怎样促进学生去悟？如何在教学中予以重视？要创设给学生思考、探索、猜想、交流、发现、验证的活动与机会，要借助多种手段与方法，引导学生“经历观察，实验，猜想，证明等数学过程，生老师做了很多的尝试与探究，拿来与大家共赏。
指导教师张建营推荐，理由：教师“教会”的，是学生自己“悟”出来的。很值得老师们学习的一点。
数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，老师能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，学生能使学生学到知识，而且学生能够掌握新的思想方法。
一、在讲课中通过类比得到结论。数学教学应遵循“既教证明，又教猜想”，即“通过合情推理提出猜想，利用演绎推理证明猜想的正确或错误”.我认为合情推理能力的发展不同于一般知识与技能的获得，它是一个缓慢的过程.而且有着自身的特点和规律：它不是教师“教会”的，而是学生自己“悟”出来的。
二、教师应该根据教材内容依据“发现---猜想—验证”即先猜后证培养学生合情推理的能力。它不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生创新意识的培养和创新能力的提高。例如：“三角形内角和定理”教材中没有证明过程，而是让学生用剪纸拼接实验来加以说明，合情推理的实质是“发现---猜想”，先猜后证。
三、让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。人们通常是应用合情推理提出猜想，再运用演绎推理来证明猜想，二者的结合构成了推理的完整过程，合情推理的实质是“发现”，它是发展学生创新意识的重要途径，但传统的数学课程注重演绎推理而忽视合情推理。因此，我在教学中努力制造机会让学生先进行猜想。
让学生经历“折纸—猜想—计算”的过程，再引入乘方的概念。整堂课气氛非常活跃，学生惊讶之余，既提高了学习兴趣又锻炼了推理能力。其实在初中教学中有很多教学内容都可以锻炼学生的合情推理能力，如梯形的中位线与三角形的中位线，平行线的判定，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理等等。
教学中对问题情景不符合合情推理的,但能过设计合情推理的素材,采用恰当的操作(观察、实验、计算、折叠、旋转等)设计问题串，归纳或类比的方式得到一般数学命题结论。
四、让学生从熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认识图形的主要特征与图形变换的基本性质，发展学生的合情推理能力。例如：直角三角形三边存在的关系，在此刻通过上述过程归纳出猜想，发现三角形三边关系。在学生动手做一做，试一试，想一想的过程中发展学生的合情推理能力。
热点之二：
四边形性质教学中边探索边证明好
即墨市店集中学 王淑华
省级专家汤华财推荐，理由：王老师结合自己的教学实际，从学生的角度恰如其分地说明了四边形性质教学中边探索边证明好的理由，这样有利于保证了知识体系的完整性，以及学生的认可，分散难点，从而保障教学效果。
陈庆祥推荐，理由：从自身出发谈了自己的观点，这是大部分老师所赞同的观点。其实这里面有理解上的问题：比如讲解平行四边形的性质时，我们不妨可以从数学变化的角度让学生用自己制作的学具动手操作、探究猜想出平行四边形的对边、对角、对角线的特征分别会是什么，然后再去逐一说明，既发展了合情推理能力又训练了演绎推理的技巧，也不失为一种好的办法。
四边形的性质及证明在北师大版八上数学中就开始学习四边形了。在多年的教学中，我摸索出了自己觉得比较适用的方法——边探索边证明法。
在这个问题上有两种观点：合并教学——边探索、边证明；分开教学——全部探索完以后再证明。我非常赞成边探索边证明的方法。理由有三个方面：
1．四边形的性质是要推导出来的，这样做的好处是使知识前后衔接紧凑，更主要的原因是让学生从心里“接受”，才能相信，并且在大脑中形了完整的知识体系。在这个前提下，师用自己设计的方案让生证明或是师完成等等方式进行证明，从而给出相关的性质结论，就能使学生很快接受并形成很深刻的印象。证明过程也是在理解的接受过程，这样有利于很好地掌握相关的性质。而全部探索后证明，容易使学生把重点放在证明上而非掌握四边形的性质，喧宾夺主，不能很好地完成四边形性质的教学终极目标。
2．《八上》的证明要求不是特别深，学生只是了解基本的证明思路和方法即可，而性质的证明涉及到了全等、等量代换、平行的性质和判定、前性质为后性质服务等多方面复杂的内容，学生着力证明，难点是综合性太强，而前面的大纲要求中不需要这样太概括的证明题目，所以学生在没有弄明白新的内容的基础上就开始应用，效果就不明显了。
3．数学上讲究“循序渐进”原则，边探索边证明有利于边学边巩固，把难点分散开来进行，教学效果会更好些，老师才能更好地在课堂上有限的时间内完成或超额完成自己的教学任务。而先探索后证明的方法是把难点全部集中，不利于学生的学习，也违背了教学的基本规律。
所以综上所述，我从自身的教学体会觉得：边推理边证明的方法比较好！
四边形的性质和探索，选择“合并教学”
济南燕山学校（中学部）????张晓燕????
省课程专家陈杰推荐，理由：张老师对合与分的分析，值得关注。影响合与分须的因素很多，如学生的心智发展水平——学生逻辑思维发展水平与年龄有关。全合，证明的教学时间就要提前。全分，很多老师难便于把握教学要点和目标要求，甚至测试命题照搬“旧”题，导致第一次教实验几何时，就要求证明，学生年龄小，学习难度过大，人为造成一部分“后进生”。而等到证明时，又有相当一部分的学生感到再重复教学，索然无味！我的观点是先分后合，证明适度提前。
指导教师刘家华推荐，理由：现行的北师教材是把两者分开来进行的，不过很多老师都提倡合并教学。张老师的几点担忧确实值得我们关注。
指导教师吴志城推荐，理由：张老师从学生的认知规律和心理需求、学生数学推理能力的发等方面，进行了分析合并教学的依据，也阐述了三点担忧，很有教学实践的体验，赞同您的观点和作法，我在教学中是调整了教材课程章节顺序，进行了整合，把证明部分的章节相应地提前，排在了性质章节的后面，这样的尝试，已经有两年的推广尝试了，愿我们继续交流。
每每教学进度到了四边形性质这部分，孩子们都掩盖不住内心的兴奋，一种大展身手的激动使得课堂都活跃了更多。以我对他们的了解，或许他们已不满足只停留在认识四边形的层次，而终于获得了深入探索其性质的许可，终于得到了“突破、提高”带来的心理成就感。所以，这部分的内容总被我特别重视，课堂的设计和实施不能让孩子们失望。
谈到关于四边形性质的探索与证明，相比较而言，还是偏爱边探索边证明的合并教学方式。四边形性质探索是非常系统也应该是很条理的一个学习专题，从平行四边形到特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形），而每一种图形的研究又从边到角又到对角线，层层递进。显然，四边形性质的知识点繁多又琐碎，同时还要进一步解决性质的应用问题，发展学生的推理能力。从这样一个教学现实出发，作合并教学的选择，还是有以下原因的：
首先，考虑到学生的认知规律和心理需求。
如果我们热热闹闹的研究，就没有紧跟的证明训练了，就如同话说半句就没了下文一样。孩子们在整个探究过程中势必要闪现出很多思路和方法，从他们的心理考虑，有迫切的要求想要将个人的想法加以验证，此时配合加入性质的推理证明是探求活动的延续和升华，多么合情合理。孩子们将感知到的数学知识，在运用所掌握的数学方法验证，四边形的性质更能够被强化。
其实，考虑到学生数学推理能力的发展。
虽然我们用大量的实物教具还有多媒体演示等等给学生直观的感知，让孩子们通过图形的观察、操作、变换探究出四边形的性质发展了学生的空间观念，而对学生的训练远不止这些，引导学生对产生的想法证明，用严密的几何语言进行推理。如若不是，又谈什么几何的推理魅力？又谈什么几何的逻辑严谨？这是对学生更高的要求，促进他们数学推理能力的发展。
虽说提倡合并教学，但我还有几点担忧：
第一、课堂时间很有限，我们又要学生动手操作探究四边形的性质，同时还要尝试用严密的数学语言阐明自己的观点进行证明，在时间上能够用吗？
自主观察操作研究，需要时间研究透彻；用规范的数学语言进行推理证明，更需要时间才能统一认识。如果有哪个环节稍有状况，很可能就完不成预期的内容。这样的教学容量真得很大，必须合理安排时间，紧凑进行。
第二、同时对数学感知能力和逻辑推理能力的培养，对于层次较好的学生估计不成问题，但是学生有个体差异，我担心的是那些程度稍弱一点的孩子，怎么能让他们也跟上节奏？
因为在曾经的教学中就出现过这样的情况：部分学生在课堂良好气氛的带动下很容易发现四边形的性质，但是他们的认识却不深刻，或许他们是听别人的意见听到的，总之似是而非。而后又要进行推理验证，他们根本就无从下手。所以，实际教学还要多关注那些学习有困难的孩子，可以建立研究小组，互相带动提高。
第三、在对四边形的性质进行验证的时候，他们能严密的进行推理证明吗？
有的孩子说：“我知道怎么证明，却不知道怎么写，头脑里一片混乱”。想得出，但写不出的现实的却存在。其实我们想想，这个环节对学生真是个不小的挑战，他们既要探寻证明方法，又要组织证明的逻辑语言，还要书写的条理规范。想突破这个难点，设想可以采取分组研究、师生共同交流、板演展示等等来规范数学语言，条理分析过程。也可以给出不完善的证明过程共同纠错，达成共识，强化几何推理思路和过程的培养。
以上的几点想法希望得到各位专家老师的指导。
四边形性质的探索与证明的教学策略
胶南市宝山镇中心中学????管红叶????
省课程专家吕学江推荐，理由：新课程强调教师是课程资源的创造者与开发者，教学活动在源于教材、基于学情的基础上应有自己的话语权。管老师对于四边形性质的探索与证明的教学策略，是建立在反复实践论证和精准地把握学生认知规律的基础之上，具体明确，说理充分，认同度高，指导性强，凸显他的理解与思考，表征他的敬业与热情。至于合与分的选择，既无法固定也不可能统一，我想一线老师们最有发言权。在你们的教学实践中，无论经验还是教训，都是一笔原生态的财富，以此为话题说出你的得与失，与大家分享。
对于四边形性质的探索与证明，统一选取合并教学（边探索、边证明）或分开教学（全部探索完以后再证明），是不可取的，要根据内容选择不同的教学方法。
在平行四边形性质的教学中，我们需引导学生把握四边形研究的基本方法——围绕着“角与距”、“数量关系和位置关系”来研究。一猜边，二猜角，三猜对角线，使学生获得明晰的研究思路，对后继知识的学习有良好的迁移。然后再集中证明，这样对证明方法的收获也更集中，故采用分开教学。
在菱形性质教学中，我们更重要的任务是在平行四边形研究的基础上，通过“类比和对比”的思想方法探索菱形性质。也需要比较集中的探索来加强对“类比和对比”的思想方法的感知与认同，故以采用分开教学为主。对于部分独立思考能力较强的同学，可采用合并教学。
在梯形性质的教学中，由于基本研究方法学生熟知会用，他们能展开猜想并能通过类比和对比，利用已探索的结论进行证明。一探一证，这是大多数同学能够做到的，故合并教学为主。对于接受较慢的同学，仍可使用分开教学。
正方形性质的教学中，同学们已经全面了解前述四边形的内在联系，根据学生的认知规律，他们能打开思维之门对正方形性质进行探索与证明，故可选取合并教学的方式。
综上，对于四边形性质的探索与证明：
平行四边形性质——采用分开教学；
菱形性质——分开教学为主，合并教学为辅；
矩形性质——合并教学为主，分开教学为辅；
正方形性质——采用合并教学；
梯形、直角梯形和等腰梯形——合并教学为主。
在使用合并教学的后三种情况中，我们可以结合我们的教学方法，逐步放开课堂，让学生自主探索自主证明，每一次猜想以及探索与证明，都可成为一个或一组学生展示自己思维的机会，从而优化他们的思维品质，增加课堂容量。
学生们学习几何，总是在获得类似知识的合情推理和演绎推理的经验后，才能独立承担探索和证明任务。选择教学形式要看学生获得经验的具体程度，要符合学生的认知规律。几何研究最基本的思路就是在对一个命题进行合情推理后采用演绎推理进行证明，并利用“类比和对比”的思想对其类似命题进行进一步猜想与验证，完善研究体系。几何图形的性质探索，无一不是围绕着“角与距”、“数量关系和位置关系”来研究的，选择教学形式要围绕这一主线；同时，平行四边形和梯形两类图形之间性质或相同或类似，选择教学形式还要注重知识之间的内在联系。
观点争鸣
“四边形性质的探索与证明”教学方式辩论会
广饶县稻庄镇实验中学????张良鹏????
省课程专家姜仲平推荐，理由：风趣不失严谨，反正都有道理，用好已有资源，合情携手演绎。
指导教师任百义推荐，理由：张老师幽默风趣，形式新颖，论述有理有据，从学生的认知方面入手，抓住了数学学习的本质。
指导教师李培祥推荐，理由：作业形式新颖，有创新，以辩论的形式来认识问题，分析问题，形成自己独特的见解，体现了一名优秀教师的丰采。
主持人：四边形这一部分的教学，是学生学习上的难点，有着较强的条理性，分为平行四边形，特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形），梯形。本章将逐步完善学生的证明体系，培养学生合情推理和初步的演绎推理能力。在教学时，每名老师有不同的教学思路与方法，有的老师采取合并教学（边探索、边证明），有的老师采取分开教学（全部探索完以后再证明）。今天就由正方（合并教学观点）与反方（分开教学观点）进行一次小辩论。下面先请正方阐述其主要观点。
正方：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常用的思维方式，在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。但合情推理的结论不一定正确，有待证明，演绎推理恰恰能帮助我们证明结论正确性。合情推理和演绎推理之间联系紧密相辅相成。针对四边形性质的探索与证明的教学，我方认为采用合并教学（边探索边证明）好些。理由如下： 1、学生经过探索，利用合情推理得到了一些想法，但这些想法是否正确，强烈的好奇心驱使着他们想尽快地的得到验证，这时我们边探索边证明，利于帮助学生先感知再证明，加深对问题的理解与掌握；2、在合并教学中可以继续帮助学生巩固合情推理和演绎推理能力的培养，学生大胆猜测进而实验探索进行着合情推理过程，之后我们的完整的证明过程又展现着演绎推理，培养学生的证明过程；3、四边形的学习中平行四边形掌握的程度直接影响学生在特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）和梯形的学习，所以学生在学习平行四边形时经历着概念，性质和判定的猜想----归纳----证明的过程，用掌握学习到的方法进而类比学习特殊平行四边形（矩形，菱形，正方形）和梯形，将会得到事半功倍的效果。所以合并教学应该提倡。
主持人：刚才正方较好的阐述了自己的观点与依据，下面再请反方进行阐述。
反方：根据初中数学新课程标准关于空间与图形的教学适当降低知识难度，力求符合学生心理发展和学习规律的要求，我方认为采用分开教学效果好。理由如下：1、分开教学在探索部分主要让学生参与性质的探索，通过学生动手探索、感知、猜想性质结论，在探索过程中注重的是学生发现问题、提出问题的能力，注重培养合情推理的能力。这部分教材以学生熟悉的问题情境引入知识，在动手、探索和解决问题的过程中发现并提出性质，这更有利于学生接受新知，培养学生的合情推理能力。2、合情推理能力是初中阶段学生必须培养的一种能力，这种分开式教学就很好的解决了这样的问题。而证明是探索活动的延续和发展。引导学生合情推理探索出性质后，再进行证明，有利于学生对证明的全面理解。在合情推理的基础上进行证明也是学生必备的基本能力。把利用四边形的有关性质进行证明单独学习，充分给学生提供了对有关性质理解和梳理的时间和空间，学生在已有的知识储备下，也能更好的进行证明部分的学习。
总的来说，这样设计既可对前面学习进行回顾，同时对知识进行延伸，有利于学生的学习，充分考虑到了学生学习螺旋上升的过程，符合学生的学习规律。这样的设计更加贴近学生。因此，我方支持分开教学的观点。
主持人：刚才正反两方对于合并教学及分开教学进行了较为透彻的分析，两方的观点各有道理。你们能结合对方的不足再进行阐述一下吗？
正方：分开教学中规范的证明过程出现较晚造成学生学习的困难。学生在学习过程中往往会出现推理过程书写不合规范的情况，推理不是很严密。也不能把自己的思维及时表达出来，会影响学生思维的质量。所以，我方认为还是采用合并教学好。
反方：初中学生对于合情推理中的探索过程的测量、折叠、剪切、旋转等等猜想活动比较得心应手，但逻辑证明能力相对较弱，合并教学就会使学生学习负担加重。鉴于此，我方认为还是采用分开教学好。
主持人：刚才正反两方对四边形性质的探索与证明的教学方式进行了充分论证与说明，都非常有道理。在具体的教学过程中，我认为要依据教材还要创造性使用教材，最终根据具体的学情而定选择适合于学生学习的教学方法。
数学易“合”不易“分”
菏泽市牡丹区李庄中学????闫乃杰
省级专家褚爱华推荐：目前，新课标实验教材有很多种不同的版本，各有特色，但是也有不尽相同的问题。闫老师通过今天的研讨话题进一步思考了有关教材的很多问题，提出了自己的观点。对此，你是否同意？教师如何驾驭和整合、使用教材，确实还有很多问题需要我们去思考。我们先共同来分享闫老师的见解。
指导教师孙道斌推荐，理由：好一个易“合”不易“分”!深切体会,真情告白，值得一读。
看到这个作业，我心中浮现了好多想法，但因为自己的理论基础薄弱，好多年又不写文章了，不知道能不能把自己的想法表达出来。
我校现在用的是北师大版的数学教材，对于这套教材的编写，使用过程中发现了一些问题。课本中不光“关于四边形性质的探索与证明”存在分与和的问题，我觉得整套教材都存在分与和的问题。新课程标准强调发展学生的能力，为此，分散了所谓的“难点”，把数学知识弄的支离破碎，严重破坏了原有的知识系统，数学不同于其他学科，我认为，如今的教材，数学知识分的太零碎，这样学生未必就能掌握的太好。
学生的推理能力包括合情推理和演绎推理能力，好像和在一起就无法发展学生的合情推理能力了，以四边形性质的探索与证明为例，合并教学（边探索、边证明）不是同样可以发展学生的两种推理能力吗？比如我们学习平行四边形时，先展示出生活中的平行四边形，让学生仔细观察、思考、总结它是边、角、对角线的性质，自己总结出来，教师适时引导、纠正、鼓励。接着下一节课就引导学生逐步推理验证自己的猜想是否正确，这样正好及时得到印证，何必要各半年甚至一年后再让学生证明呢？
我觉得，演绎推理没有某些专家想象的那么可怕，合情推理也远没有大家想的那么神秘，原来的教师也不是不注重学生的合情推理，原来教材中也有安排学生，“看一看，仔细想一想，思考思考”。好像现在的中考题中出现了“自己探索一下，你能发现什么结论？”“这是开放性试题”等等字眼，就算注重发展学生的合情推理能力了，我觉得未必。
说了上面这么多，我做为一位一线的数学教师，就是强烈感觉到，如今的数学教材“分的太狠”“急需整合”。理由如下：
1．分散了难点，分散了知识系统，分散了学生的注意力。就像一块老碱地，三天下一次雨，五天下一次雨，次次都下不透，远不如下一次透雨对庄稼有利。
2．探索与证明分开，学习探索时，学生感觉，几何就是猜想，不管是对还是错。学习证明是，学生又感觉这些不是都学过了吗。其实，合情推理与演绎推理不能骨肉分离，而是开花与结果的关系。合情推理能力，不是教师教的，也不是学生学的，是学生“悟”出来的。
3．实际上，我感觉很多教师在进行合情推理教学的同时，大都补充上了演绎推理的内容，造成初三学证明时学生感觉是复习。
这里我有一个例子：我校两位教师同时讲授初一数学中的几何部分，一位教师认真按照课标要求，只要求学生对知识感性认识。另一位教师，擅自提高了要求，让学生使着书写证明过程，并让学生说这些规范的几何语言。考试成绩不言而喻。后者高出很多分，最可怕的是前者班里的学生感觉几何没什么内容，一塌糊涂。
合起来吧，数学不易太分！！我的观点可能落后，但是我自己真实的观点，请批评指正,谢谢！！！
因材施教是关键
聊城东昌完全中学????李博???
省课程专家罗寿果推荐，理由：李老师结合自己的教学实践，说出了自己的真情实感，到底是选择“合并教学”还是“分开教学”，因材施教，适合学生发展的就是好的。相信李老师一定会成为一个学生喜欢的优秀教师。
指导教师彭士超推荐，理由：真情实感 说出了自己的经验。
作为从教时间不超过三年的新教师，对教材的把握、了解的深度广度远远不够，所以非常感谢有这样一个研修的机会能够和广大优秀教师们交流探讨，专家和指导老师的点评指导也令笔者有醍醐灌顶之感。
教学中，老师们经常用到合并教学或分开教学两种方式，这两者有利有弊，合并教学的优势在与逻辑性强，学生反复经历猜想-验证-证明的过程，夯实基础；劣势在于不能照顾到接受能力较差的学生。而分开教学的优势和劣势正好与合并教学相反，对逻辑思维能力的培养较弱但容易让大部分学生接受，接受后再进一步培养其逻辑思维能力。
个人认为，在选择教法的时候应“因材施教”。对于四边形性质的探索与证明这部分，在教学的时候采取合并教学与分开教学相结合的方式效果会更好一点。
比如平行四边形部分，其性质的探索与证明，就是要研究其“角”“边”“对角线”之间的数量与位置关系，先引导猜想“角”再猜想“边”最后是“对角线”，使学生逐步摸出一条明确的思路，然后教师再集中证明。期间，摸索部分可以采取小组讨论的形式，证明部分则师生合作共同完成，这样既培养了学生思维的灵活性，又培养了其独立思考的能力。
再比如矩形和正方形部分，大部分学生对这两种图形的掌握已经相当牢固，根据认知规律，学生已具备接受及独立探索的能力，所以可以采用边探索边证明的方式进行教学。
以上仅是个人教学工作中的一些浅见，由于本人从教时间不长，还存在各种不足，真诚期待各位专家及指导老师指正。
智慧分享
结合勾股定理教学，谈学生推理与证明能力的培养
谢志平
合情推理与演绎推理是中学阶段两种重要的推理方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果，是从特殊到一般的推理，所以结论不一定可靠，但是数学发现的推理一般都离不开合情推理。演绎推理则是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论，是从一般到特殊的推理，所以结论一定是可靠的。中学数学的每一个领域都有培养学生推理能力的任务，也都在实现着这一价值，不是只体现在几何证明中，虽然不可否认的是几何证明确实在发展学生合情推理与演绎推重方面起着重要的作用。下面我结合詹红霞老师的勾股定理的教学设计来谈一谈如何培养学生推理与证明能力。
勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。勾股定理以其简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界的和谐统一，是数与形结合的优美典范。所以在教学中突出合情推理与演绎推理二者的结合。
学生经过一年半的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。但是学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探索勾股定理时，主要通过直观的图形，利用合情推理观察归纳获得结论；再利用学生乐于接受的拼图法去验证勾股定理。“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。
附：詹红霞老师的教学设计
教学过程
问题与情景
设计意图
课前探究知识储备
请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。
《勾股定理证明方法探究报告》
方法种类及历史背景
验证定理的具体过程
知识运用及思想方法
查有关勾股定理的资料，这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有一定的了解。同时培养学生的自学能力及归类总结能力。有了课前充足的知识储备，学生充满自信地迎接新知识的挑战。
设置悬念引出课题
请同学们观看视频和图片。
提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？
为什么把这个图案作为2002年在北京召开第24届国际数学家大会会徽？——引出课题《勾股定理》
“问题是思维的起点”，用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，引领学生进入学习情境，使学生带着疑问进行教学。同时为探索勾股定理提供背景材料，进而引出课题。
画图实践大胆猜想
沿着先人的足迹，开始勾股定理的探索之旅。
活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。
（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？
地面 图18.1-1
（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?
出示毕达哥拉斯做客故事，提出问题。学生独立思考，观察隐藏的规律，提出猜想：等腰直角三角形三边满足关系。
教学活动从“数小方格”开始，起点低、趣味性浓，照顾了各个知识层面的学生，有利于实现“每一个学生的发展”。这样的设计能让学生在轻松的伟人故事中积极参与对数学问题的讨论和探索。看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理。激励学生用心观察，带领学生情绪激昂的继续探索。
（观察归纳，发展合情推理能力）
画图实践大胆猜想
由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？学生们展开
活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，（四人小组每组成员所画图形相同，派小组代表前台投影展示）
（1）以斜边为边的正方形面积可以怎样求？
（2）三个正方形面积有何关系？
（3）直角三角形三边长有何关系？
（4）请大胆提出你的猜想。
学生在网格纸上按要求画图，然后回答给出的问题。
分以下几步引领：
1．先让学生独立画图，要求小组内同学所画图形相同，便于组内交流。
2．小组内共同探索计算A、B、C的面积，求以斜边为边的正方形面积是难点，此处正是学生互相学习，充分交流的好时机，在此要给学生探索的时间与空间。
3．小组代表前台投影展示本组猜想结果，学生有了画图的亲身体验，对猜想结果印象深刻。每组所画图形不同，但探究猜想结果相同。
（归纳猜想，发展合情推理能力）
进一步追问：
是否任意直角三角形三边都满足此关系？
用几何画板直观演示。将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况。利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，形象直观，学生的印象也更深刻。
（借助几何画板进一步培养学生的合情推理能力）
由学生归纳，得出命题：如果直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，那么
尽管学生可能讲的不完全正确，但对于培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的，同时让学生经历前人发现这一结论时大致相同的思考过程，让学生在长知识的同时，也长了智慧。
学生经历特殊到一般的合情推理过程。
动手拼图定理证明
设问：这是个真命题吗？
活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边为、，斜边为，请同学们动手拼一拼。
（1）请用尽可能多的方法拼成一个正方形；
（2）请从你拼的图形中验证；
分以下几步展开活动：
1．先让学生拼图游戏；
2．让学生从拼图中通过面积找到；
3．小组代表前台展示本组验证过程。
本环节使学生认识到证明的必要性。通过学生动手拼图的探究和交流，发现利用代数观点证明几何问题的思路，同时证明过程体现步步有据。
学生体验由一般到特殊的演绎推理过程。
继续追问：
你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起分享）
介绍课本提到的赵爽弦图。赵爽用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一树立了一个典范。这种证法不是最简单的，但向学生渗透证明思想对以后的学习是很重要的。有了课前探究报告中的知识储备，在老师带领下学生非常积极的展示了毕达哥拉斯证法、美国总统证法。
动手拼图定理证明
学生们不仅建构自己对知识的了解，而且在欣赏自己作品的同时感到成功的喜悦。勾股定理的证法有三百多中，学生查阅到的比较集中的方法有十多种。此处没有全部展开，让学生把更多方法写到探究报告中。
探古博今感知勾股
被证明为正确的命题称为定理
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，那么。
分以下几步介绍勾股定理
1．请学生讲述自已知道的有关勾股定理的小故事
2．呼应课前引入的悬念
3．展示图片介绍勾股定理的历史背景及应用
学生讲解搜集的资料，丰富了学生的背景知识，体现自主的学习方式。此后介绍我国古代数学家关于勾股定理的研究，呼应课前引入的悬念，对学生进行爱国主义教育，激励学生强烈的民族自豪感和奋发向上的学习精神。欣赏丰富多彩的数学文化，展示不同文化背景下的勾股定理的应用，共同为全人类的伟大发现而骄傲。
学以致用体会美境
课件展示练习：
（1）求下图中字母所代表的正方形的面积。
（2）求下列图中表示边的未知数x、y的值。
（3）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__ _cm2。
（4）几何画板演示运动的勾股树。
练习设计上立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，满足部分同学渴望发展的要求。第1题第2题是基础训练，第3题变式为中考试题，由中考试题引出美丽勾股树，最后用几何画板演示运动的勾股树，让学生惊叹奇妙的数学之美。数学教学变得生机勃勃，我们的学生就会喜欢数学，热爱数学。
总结升华
完善报告
1.总结收获：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续探索的问题？
2.结束寄语：
牛顿——从苹果落地最终确立了万有引力定律
我们——从朝夕相处的三角板发现了勾股定理
虽然两者尚不可同日而语
但探索和发现——终有价值
也许就在身边
也许就在眼前
还隐藏着无穷的“万有引力定律”和“勾股定理”……
祝愿同学们——
修得一个用数学思维思考世界的头脑
练就一双用数学视角观察世界的眼睛
开启新的探索——
发现平凡中的不平凡之谜……
不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结。强调本节课的重点内容，注重知识体系的形成，培养学生回顾反思的良好习惯。通过结束寄语激励学生修得一个用数学思维思考世界的头脑，练就一双用数学视角观察世界的眼睛，发现平凡中的不平凡之谜……
总结升华
完善报告
3.拓展型作业：
把今天数学课的感受写进探究报告中，并发挥你的聪明才智，去探索、研究勾股定理，你又有什么新的发现？
下节课展示交流探究报告。
作业这样设计是为了把课前探究报告完善，课内知识向课外知识延伸，打开学生思路，给学生提供更为广阔的空间，引领学生继续探索，从而让学生真正成为学习的主人。另外也为下节课的教学奠定基础。
精彩回眸
由研修话题引发的思考
?济南第五十一中学 杨继明
今天这个话题，我们应该拓展开来讲，不仅仅局限于四边形性质的探索与证明的教学方式问题。
观点1：从直观几何到论证几何不能武断为螺旋上升
北师版课标教材空间与图形领域是引发争论最多的部分，其争论的焦点是何时引入证明的问题，我认为教材问题的根源是对螺旋上升的原则运用的过于形式化和表面化，没有充分认清直观几何与论证几何的辩证关系。在几何发展史中，直观先于论证，论证统领直观，但不是说欧基里德之后几何才有证明，直观的背后一直存在着理性的思考。而且应该警觉的是，经过教育学加工的几何，直观几何与论证几何是同一事物的两个不同的侧面，而不要简单的看成是两个不同的层次，有高层次的直观，也有低层次的论证，所以从直观几何到论证几何不能简单的武断为螺旋上升。这两个不同的侧面应该是犬牙交错的双螺旋，他们的起点可以不同，但决不能相隔太远，它们应该相辅相成，共同发展。从这个观点上看，论证几何的起点至少要提前到八年级上学期，才能更加有效的促进学生合情推理和逻辑推理的共同发展。
观点2：“四边形”在初中几何中的地位和作用发生了重大改变
在现行的六个主要版本的初中数学教材中，四边形的教学内容除人教版外都有不同程度的分章学习现象（见表1），虽然在不同版本中的具体表现略有不同，但“关于四边形性质的探索与证明的关系的问题”还是相当具有普遍意义的。
版本
四边形首次出现
实验几何到论证几何 的转折
四边形二次出现
华师
八上第16章平行四边形的认识
16.1平行四边形的性质
16.2矩形、菱形与正方形的性质
16.3梯形的性质
八下第19章 全等三角形
19.1命题与定理
19.2全等三角形的判定
19.4逆命题与逆定理
八下第20章 平行四边形的判定
20.1平行四边形的判定20.2矩形的判定20.3菱形的判定20.4正方形的判定
北师
八上第4章四边形性质探索
4.1平行四边形的性质4.2平行四边形的判别4.3菱形4.4矩形、正方形
八下第6章证明（一）
6.1你能肯定吗6.2定义与命题
6.3为什么它们平行
九上第3章证明（三）
3.1平行四边形
3.2特殊平行四边形
冀教
八下第22章四边形
22.1平行四边形的性质
22.2平行四边形的识别
22.4矩形22.5菱形正方形
八下第24章命题与证明（1）
24.1命题 24.2命题的证明
24.3平行线的判定定理
24.4平行线的性质定理
九上第32章命题与证明（2）
32.2平行四边形的性质定理和判定定理及其证明；32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
鲁教
七下第九章四边形性质探索
1.平行四边形的性质2.平行四边形的判定3.菱形4.矩形、正方形
八上第三章 证明（一）
1.定义与命题2.证明的必要性
3.公理与定理
八下第八章 证明（三）
1.平行四边形2.特殊平行四边形
3.等腰梯形 4.中位线定理
浙教
八下第5章 平行四边形
5.3平行四边形的性质5.5平行四边形的判定5.7逆命题和逆定理
八下第4章 命题与证明
4.1定义与命题 4.2证明
4.3反例与证明 4.4反证法
八下第6章 特殊平行四边形
6.1矩形 6.2菱形 6.3正方形 6.4梯形
人教
八上第13章 全等三角形
13.1全等三角形 13.2三角形全等的条件 阅读与思考为什么要证明
八下第19章　四边形
19.1平行四边形 19.2特殊的平行四边形 实验与探究 巧拼正方形
几何知识的学习，一般有两条主线：明线是几何知识的展开与学习；暗线是空间观念的发展和推理论证能力的提高．而推理论证能力的提高向来是几何教学的主要难点之一，与原大纲相比，新课程标准大大降低了对几何论证难度的要求，主要表现在如下三个方面：
一是对证明的定位有较大改变，要求“理解证明的必要性；体会证明的过程要步步有据，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值” 。并不追求掌握大量的结论和证明的技巧；二是减少了作为“证明依据”的条目，只需要掌握和平行线、全等三角形相关的4条基本原理；三是大大减少了需要证明的命题，归结为8个条目，特别是消减了相似形和圆的有关证明。
上述的安排，直接使“四边形”在初中几何中的地位和作用发生了重大改变，它成了在三角形之后唯一一个需要证明的较复杂几何模型。需要特别指出的是：全等变换是欧式几何的本质特征，全等三角形理论是欧式几何的基本工具，在此基础上，对“四边形”的研究具有“问题解决”的特征，四边形要在发展空间观念和提高推理论证能力上担负起更多的责任，这是我们对“四边形地位与作用”的基本认识。也是把四边形分章安排的原始动因之一。
各版本教材在充分理解课程标准意图的基础之上，追寻人类几何学史的发展逻辑，借鉴最新的课程理论和学习理论，对初中几何体系做出了创造性安排。有两个关键词可以体现这种安排：
①螺旋上升；
②实验几何到论证几何。
这两个关键词恰好是四边形分章学习的直接依据。这一点在北师、冀教、鲁教三个版本中体现最为明显，他们都是对四边形先进行了全面的、但浅层的、感性的认识，然后经历一个消化吸收阶段后，再安排深层的理性认识，这是符合人类认知规律的科学安排；华师和浙教两个版本在遵循上述原则的基础上，可能还有自己更多的考虑：华师版主要看到了图形性质定理与判定定理的区别以及学生在集中学习这些定理时所遇到的困难；浙教版主要看到了四边形体系的复杂性，从而先集中学习平行四边形，过一个阶段后再学特殊平行四边形。各版本教材的苦心安排，为全体学生顺利学习四边形，达到课程标准对几何学习的培养目标提供了可能性。
从表1可以看出，各版本教材在对四边形进行分章学习的同时，几乎都在两章之间安排了一个在几何中承上启下的章节，即“实验几何到论证几何的转折”这个章节．这一章很像数学史上欧几里德几何产生前后的状况，欧式几何利用几条基本原理把前人发现的几何知识串联起来，组成一个严密的演绎体系．本章对认识证明的必要性，了解作为证明基础的定义、命题、定理等非常重要，体现了《课标》“要把证明作为探索活动的自然延续和必要发展”这一课程理念.本章的安排，策应了四边形的分章学习，四边形的分章学习也使这个转折章节获得了一个最佳位置，使几何体系具有了灵魂和内在逻辑．
阐明观点：在各版本的安排中，我个人比较推崇浙教版先集中学习平行四边形，过一个阶段后再学特殊平行四边形的方式．即我支持两种教学方式的适当整合，把四边形分阶段后探索一块证明一块。
观点3：四边形分章学习引发的问题及其对策
综上所述，在新课程标准的理念和要求之下，对四边形的分章学习有其一定的必然性，但分章学习引发的最大问题是二次学习时学生已经忘记了首次学习时的内容，这一点在北师版教材中体现的特别明显，怎样做才能更好的发挥教科书的设计思想，圆满完成教学任务呢？
对策分析：
1. 四边形首次学习时坚持做中学、不要用输灌和推理论证代替学生的操作和体验
一般认为，四边形两个章节的学习方法和教学目的都是不相同的．首次学习，即经验学习阶段，应强调数学活动经验的积累和直观感受的获得，坚持做中学，利用模型制作、测量、简单说理等手段获得有关四边形的基本结论，最好让学生达到这些“结论”非这样不可的程度，千万不要用教师的输灌和推理论证代替学生的操作和体验．直观体验的亲身性和明晰性，是二次学习时顺利回忆和强化理解的源泉．
2. 有意识的提前复习，与遗忘现象作斗争
遗忘现象是自然规律，及时复习是增加记忆与理解的重要手段．由于学生的学习任务比较繁重，教师的教学习惯一般是当时教什么，就布置什么内容的作业，实际上这一习惯可以适当改变一下，作业中既应该有巩固性习题，也应该适时布置一些复习性习题，特别是需要衔接的那些知识，应该有意识的提前复习．比如四边形二次学习的前几周或前几天，让学生有计划的回忆四边形首次学习的内容，这样就可以在少浪费课时的情况下，得到良好的教学效果．
3. 强化“实验几何到论证几何”转折章节的学习，提升对几何的整体认识
在各版本教材中，转折章节都是在前面对几何结论已经有了一定的直观认识的基础上编排的，基本属于几何证明阶段的第一步，主要介绍几何证明中的一些基本概念，激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心.需要阐明的是：本章的任务有局部和全局之分，从局部来看，这一章安排的知识并不是很难，大部分学生都能比较顺利的掌握；但是从几何教学的全局来看，转折章节要担负起理解几何精神、对几何有一个整体认识的重任.转折章节全局观下的任务是否可以包括：了解几何的演绎体系，尽可能把知识进行串联，优化知识结构；了解几何的主要研究对象，主要工具和方法；有意识渗透一点逻辑学的基本知识，合乎逻辑的思考和展开论证等任务.即强化“实验几何到论证几何”转折章节的学习，提升对几何的整体认识.在这里，我们有很多机会让学生自然地回顾四边形首次学习的那些命题和逆命题.本章的充分甚至过度学习，可以使我们在更高的观点上学习和掌握四边形二次学习的相关内容，这样处理的效果应该优于把四边形一股脑全学完的效果．
最后，再次提醒我们的老师，学生在几何知识的学习过程中，遇到的困难要超乎我们的武断和想象，与代数相比，学生更不能自发的学好几何，几何的学习，更加依赖于教师自身对几何的理解和教学艺术．所以，当我们遇到教材编排方面的困惑时，应该研读课程标准的要求，领会教材的编写意图，搭建教材和学生之间的桥梁，以帮助学生顺利达成课程目标，而不能仅限于困惑和埋怨。
研修感言
培训有感
曹县实验中学 郑素敏
的确暑期教师远程研修是现代教育手段下，促进教师学习和专业成长的有效平台，加强了教师间、教师与专家之间思想与思想、方法与方法的交流。通过几天学习特别是带着问题学习，建立自己的学习资源库，通过研修切实解决影响教育教学的突出问题。深深体会到研修对实现个人的专业成长的重要性。
我们一定在网络宽阔的海洋里去汲取同伴们、专家团队们新生成的、有价值的知识。珍惜这次学习机会，认真学习，积极思考，主动交流，深入钻研，不断地提高自身素质和教育教学能力,努力提高自己的教学水平。
研修学习有感
曹城街道办事处中学 高会生
我们已经学习三天了，老师们都学习的非常认真。我们学校的老师每天上午8点准时到学校集合，在自己的教研组集中收看视频，并进行研讨交流，各自发表自己的学习心得，不管是老教师还是中青年教师都能认真的进行学习，学习积极性非常高涨。收获很大，同时，我每次都能及时的完成自己的作业，学习效果不错，领导给我们提供这样的学习平台真是是太好了，在以后的几天里我会更加努力学习的。
学员心声
乳山市怡园中学 东 静
通过学习，感觉自己的业务能力在逐渐的提升，以后有这样的学习机会一定还参加，使自己成为一个理论与实践相结合的老师。
平阴县第四中学 柏丽华
今天下午一直在阅读我们的数学课程简报。真的太好了，三个小时一动没动。专家们的精辟论述、培训老师们的精彩点评、被推荐的精彩之作，都深深地吸引着我，尤其是我们济南数学六班和谢经汤老师每期都榜上有名，我为是济南数学六班的一员而自豪！感谢各位专家，感谢谢经汤老师和赵鹏老师，你们辛苦了！
青岛市崂山区第三中学 周建
看完简报，收获很大。专家和同行们对如何提高学生学习数学的兴趣和学习主动性的论述，很受启发。尤其是褚爱华老师对学生数学水平划分的四个层次，以及针对这些学生的转化方法，获益匪浅。
平度市郭庄镇郭庄中学 陈希德
迫不及待的打开简报，当一篇篇带着热气的文章扑面而来时，整个人像被融化了。太深刻了，太巧妙了，太有才了，太形象了， 太有说服力了，太令人惊叹了……
平阴县店子中学 杜广军
在农村中学任教一十六载，每次大的教育改革，都是令我激动不已，如2001年开始的新课程改革、教师的集中培训，动用了大量的人力、财力，教师们更是四处奔波，去各地学习，那时看见电脑就觉得很稀罕。今年的远程教育培训，更是体现了我们国家经济的巨大发展，10年来，我们农村中学也有了校园网，教师们也是个个有电脑，虽远隔千里，但同行们就像在一个班里，你说我学，共同提高，还有省级专家予以辅导，呵呵，快哉！！
胶南市第六中学 魏宗宝
火热的八月，我们聚在网际的两端，在研修的舞台上，用那跳动的键盘，宽广的网络，记录着我们挥洒的热情，共同饱览研修道路上的美丽风景，收获幸福，收获友谊，收获快乐，收获希望。
胶南市琅琊镇中心中学 吴云华
让我们把握现在：从现在开始，认认真真地完成每一份自己的作业；从现在开始，认认真真地做好每一项自己的工作；从现在开始，让我们不断地从成功走向成功。
即墨市通济中学 周春丽
通过阅读其他老师对教学的观点和方法，使我对教材处理，课堂教学和学生思维兴趣的培养等方面都有了新的认识和提高，这些收获，只凭借自己埋头教学是无法得到的。所以作为一名一线上的教师，一定要多走出去看看学学，丰富自己的教学方法，在以后的教学中更好的服务与学生，也能更好的提高教学质量。
每日之星

学员每日之星
评选标准：作业被指导教师推荐，并且积极参加交流讨论，得到大家认可。
利津县盐窝镇中心学校 王建民 评论数140
邹平县实验中学 张海英 评论数122
菏泽市牡丹区二十一中学 田 云 评论数111
胶南市第四中学 王教福 评论数101
文登市葛家中心校 吕世友 评论数96
文登初级实验中学 姚歌丽 评论数92
山东省青岛第四十七中学 徐 坤 评论数84
山东省青岛第五十九中学 李 颖 评论数81
胶州市第十五中学 王 芳 评论数79
山东省青岛第五十中学 赵 英 评论数75
菏泽市牡丹区李庄中学 闫乃杰 评论数73

指导教师每日之星
指导教师
评论数
推荐数
张怀山
798
23
王厚涛
831
18
吴志城
580
20
姚桂菊
533
22
谢经汤
541
21
王世明
448
24
祝学昌
484
22
吴学峰
481
22
李树良
479
22
陈玉华
577
17

班级关注度统计
班 级
学员数
作业数
资源数
关注度
青岛市初中数学15班
92
364
0
214
青岛市初中数学1班
89
356
3
163
青岛市初中数学17班
93
372
1
153
青岛市初中数学22班
96
380
0
150
青岛市初中数学18班
92
364
0
147
菏泽市初中数学7班
80
308
1
145
青岛市初中数学24班
93
372
0
145
青岛市初中数学25班
90
356
2
142
青岛市初中数学13班
94
375
0
139
青岛市初中数学14班
93
369
2
138

优秀班级简报链接
青岛市4班 简报第6期 —— 真情告白！
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4195
滨州1班 简报
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4116
威海数学2班 简报第5 期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4153
东营数学1班简报 享受研修每一天
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3707
济南数学一班 简报第五期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4046
青岛7班 简报
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3896
潍坊4班 简报第6期 盛夏的收获
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4132
青岛13班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3920
青岛14班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3519
青岛15班 简报第八期 晒晒我们的成果
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3863
济南5班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3617
枣庄数学1班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4101
枣庄数学2班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/Article/view/25971
潍坊7班 简报第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4235
菏泽9班 简报第8期 研修纪实
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3836
菏泽6班 简报第5期 点燃梦想，收获希望
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3633

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