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第五章　三角函数
　任意角
(时间:45分钟　分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)(2026·楚雄高一检测)与-2 025°角的终边相同的最小正角是 (　　)
A.45° B.135°
C.225° D.2 025°
2.(5分)(2026·咸阳高一检测)-2 025°30'是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角.
3.(5分)每周一的早晨,我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式,一般需要10分钟.这10分钟的时间,钟表的分针走过的角度是 (　　)
A.30° B.-30° C.60° D.-60°
4.(5分)设集合M={x|x=45°+×180°,k∈Z},N={x|x=45°+×180°,k∈Z},那么 (　　)
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
5.(5分)若α是第一象限角,则下列各角是第三象限角的是 (　　)
A.90°-α B.180°-α
C.270°-α D.-α
6.(5分)(多选)如果角α与角(γ+45°)的终边重合,角β与角(γ-45°)的终边重合,那么α-β的可能值为 (　　)
A.90°　 B.360°　 C.450°　 D.3 330°
7.(5分)(2025·阜阳高一检测)角α的终边与65°的终边关于y轴对称,则α= (　　)
A.k·180°-65°(k∈Z) B.k·360°-65°(k∈Z)
C.k·180°+115°(k∈Z) D.k·360°+115°(k∈Z)
8.(5分)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么所有角α形成的集合为　　.
9.(5分)与-660°角终边相同的最小正角是　　;最大负角是　　.
10.(10分)已知角α=30°.
(1)求在-360°~0°范围内与角α的终边相同的角;
(2)若角β与角α的终边相同,判断角是第几象限角.
【综合应用练】
11.(5分)终边与坐标轴重合的角α的集合是 (　　)
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°,k∈Z}
D.{α|α=k·90°,k∈Z}
12.(5分)(多选)在0°~720°范围内,下列给出角度与800°终边相同的角是 (　　)
A.80°　 B.120°　 C.180°　 D.440°
13.(5分)若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=　　.
14.(10分)如图,分别写出适合下列条件的角的集合.
(1)终边落在射线OM上;
(2)终边落在直线OM上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
15.(10分)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过的角度为α,黑蚂蚁每秒爬过的角度为β(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
答案解析
【基础全面练】
1.(5分)(2026·楚雄高一检测)与-2 025°角的终边相同的最小正角是 (　　)
A.45° B.135°
C.225° D.2 025°
【解析】选B.根据角度制的运算法则,可得-2 025°=-360°×6+135°,
所以与-2 025°角的终边相同的最小正角是135°.
2.(5分)(2026·咸阳高一检测)-2 025°30'是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】选B.因为-2 025°30'=-360°×6+134°30',所以-2 025°30'与134°30'终边相同,
因为134°30'是第二象限角,所以-2 025°30'是第二象限角.
3.(5分)每周一的早晨,我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式,一般需要10分钟.这10分钟的时间,钟表的分针走过的角度是 (　　)
A.30° B.-30° C.60° D.-60°
【解析】选D.因为分针是顺时针走的,所以形成的角是负角,又分针走过了10分钟,
所以走过的角度大小为×360°=60°,综上,分针走过的角度是-60°.
4.(5分)设集合M={x|x=45°+×180°,k∈Z},N={x|x=45°+×180°,k∈Z},那么 (　　)
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
【解析】选C.由题意得M={x|x=45°+×180°,k∈+1)×45°,k∈Z},
即M是由45°的奇数倍构成的集合,又N={x|x=45°+×180°,k∈+1)×45°,k∈Z},
即N是由45°的整数倍构成的集合,则M N.
5.(5分)若α是第一象限角,则下列各角是第三象限角的是 (　　)
A.90°-α B.180°-α
C.270°-α D.-α
【解析】选C.若α是第一象限角,则k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,-90°-k·360°<-α<-k·360°,k∈Z,则-α是第四象限角,故D错误;
-k·360°<90°-α<90°-k·360°,k∈Z,则90°-α是第一象限角,故A错误;
90°-k·360°<180°-α<180°-k·360°,k∈Z,则180°-α是第二象限角,故B错误;
180°-k·360°<270°-α<270°-k·360°,k∈Z,则270°-α是第三象限角,故C正确.
6.(5分)(多选)如果角α与角(γ+45°)的终边重合,角β与角(γ-45°)的终边重合,那么α-β的可能值为 (　　)
A.90°　 B.360°　 C.450°　 D.3 330°
【解析】选ACD.由条件知α=γ+45°+k1·360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2·360°(k2∈Z),
将以上两式相减消去γ,得α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k1,k2∈Z,k1-k2=k∈Z),
当k=0时,α-β=90°;当k=1时,α-β=450°;当k=9时,α-β=3 330°.
7.(5分)(2025·阜阳高一检测)角α的终边与65°的终边关于y轴对称,则α= (　　)
A.k·180°-65°(k∈Z) B.k·360°-65°(k∈Z)
C.k·180°+115°(k∈Z) D.k·360°+115°(k∈Z)
【解析】选D.因为大小为115°的角的终边与大小为65°的角的终边关于y轴对称,
所以α=k·360°+115°(k∈Z).
8.(5分)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么所有角α形成的集合为　{α|n·180°+30°<α【解析】在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°,
所以所有满足题意的角α的集合为
{α|k·360°+30°<α={α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α【易错警示】注意虚实线所对应的取等问题.
9.(5分)与-660°角终边相同的最小正角是　60°　;最大负角是　-300°　.
【解析】因为与角-660°终边相同的角是-660°+k·360°(k∈Z),所以当k=2时,与角-660°终边相同的最小正角是60°.
当k=1时,与角-660°终边相同的最大负角是-300°.
10.(10分)已知角α=30°.
(1)求在-360°~0°范围内与角α的终边相同的角;
【解析】(1)与角α的终边相同的角的集合为,
令-360°<360°·k+30°≤0°,则-故与角α的终边相同的角是-330°.
(2)若角β与角α的终边相同,判断角是第几象限角.
【解析】(2)易知β=360°·k+30°,k∈Z,则=180°·k+15°,k∈Z,当k为偶数时,是第一象限角;
当k为奇数时,是第三象限角,故是第一或第三象限角.
【综合应用练】
11.(5分)终边与坐标轴重合的角α的集合是 (　　)
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°,k∈Z}
D.{α|α=k·90°,k∈Z}
【解析】选D.终边在坐标轴上的角为90°的整数倍,所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.
12.(5分)(多选)在0°~720°范围内,下列给出角度与800°终边相同的角是 (　　)
A.80°　 B.120°　 C.180°　 D.440°
【解析】选AD.800°-360°×2=80°,440°-360°=80°,AD正确,BC错误.
13.(5分)若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=　120°或30°　.
【解析】因为4α=120°+k·360°,k∈Z,所以α=30°+k·90°,k∈Z,
又因为0°<α<180°,所以当k=1时,α=120°;当k=0时,α=30°.
14.(10分)如图,分别写出适合下列条件的角的集合.
(1)终边落在射线OM上;
(2)终边落在直线OM上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
【解析】(1)终边落在射线OM上,则{α|α=45°+k·360°,k∈Z};
(2)终边落在直线OM上,则{α|α=45°+k·180°,k∈Z};
(3)终边落在直线ON上,则{α|α=60°+k·180°,k∈Z},
终边落在阴影区域内(含边界),则{α|45°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.
15.(10分)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过的角度为α,黑蚂蚁每秒爬过的角度为β(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
【解析】根据题意可知:14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=·180°,β=·180°,m,n∈Z.
由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,知2α,2β在第二象限.
又0°<α<β<180°,从而可得0°<2α<2β<360°,
因此2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°.
于是45°<α<90°,45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°,即又因为α<β,所以m即α=()°,β=()°.

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