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27.2反比例函数的图象和性质
第 1课时 反比例函数的图象和性质
知识点1 反比例函数的图象
1.反比例函数 的图象的两支分别位于第 、第 象限.
2.已知反比例函数 的图象的两支分别位于第一、第三象限内，则k的取值范围是 .
3.当x>0时,函数 的图象位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
4.若反比例函数 的图象经过点(1，2)，则这个函数图象的两支分别位于( )
A.第二、第三象限 B.第一、第三象限 C.第三、第四象限 D.第二、第四象限
知识点2 反比例函数的性质
5.已知双曲线 过点(3,y ),(1,y ),则下列结论正确的是( )
D.不能确定
6.关于反比例函数 下列结论正确的是( )
A.图象分别位于第二、第四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
7.已知反比例函数的图象经过点A(3，6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点 B(2,9),C(4,5)是否在这个函数的图象上
8.关于反比例函数 下列说法不正确的是( )
A.图象经过点(1,-3) B.图象位于第二、第四象限
C.图象经过点(3,-1) D. y随x的增大而增大
9.已知点 A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数 的图象上，且 则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.若点A(x ,-3),B(x ,-2),C(x ,1)在反比例函数 的图象上,则x ,x ,x 的大小关系是( )
A. B. C. D.
11.正比例函数y=x的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是3，则k的值是 ;当-312.已知反比例函数 (k为常数,k≠1).
(1)若其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，点P 的纵坐标是2，求k的值；
(2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x ，y )，B(x ，y )，当 时，试比较x 与x 的大小.
13.已知反比例函数 的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2,a),点 B 是线段OA 上(不与点A 重合)的一点.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l，l与 的图象交于点 D，当线段BD=3时，求点 B 的坐标；
(3)如图2,将点A 绕点B 顺时针旋转90°得到点 E,当点 E 恰好落在 的图象上时，求点E的坐标.
第 2课时 反比例函数性质的综合运用
知识点1反比例函数中k的几何性质
1.如图，过反比例函数 的图象上一点A 作AB⊥x轴于点B，连接AO.若 2,则k的值为 .
2.如图,点 P ,P 在双曲线 上,矩形OAP B的面积是6,则矩形ODP E的面积是 .
3.如图，点A，B是双曲线 上的点，过A，B两点分别向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1,则
4.如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数 的图象经过点 B，则满足y≥2的x的取值范围为( )
A.0知识点2 反比例函数图象的对称性
5.双曲线 关于原点O 对称，关于直线y= 成轴对称.
6.已知反比例函数 的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于A，B 两点.若点A 的坐标是(1,2),则点 B 的坐标是 .
7.如图，一直线经过原点O，且与反比例函数 相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴,垂足为C,连接BC.若△ABC的面积为8,则k= .
8.如图，若反比例函数 的图象经过点 A,AB⊥x轴于点B,且△AOB 的面积为6,则k= .
9.如图，反比例函数 的图象经过 ABCO 的顶点A,OC 在x 轴上.若点B(-1,3),S□ABCO=3,则k的值为 .
10.如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，点A 的横坐标为-1.当 时，x的取值范围是( )
A. x<-1或x>1 B. x<-1或0C.-11 D.-111.如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线 的一支上.若点A 的坐标为求第三级阶梯的高 EF 的值.
12.如图，双曲线 经过A,B两点,连接OA,AB,过点 B作BD⊥y轴,垂足为 D,BD交OA 于点E,且E为AO的中点,求△AEB的面积.
27.2反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象
1.反比例函数 的图象的两支分别位于第 一 、第 三 象限.
2.已知反比例函数 的图象的两支分别位于第一、第三象限内，则k的取值范围是 k>2 .
3.当x>0时,函数 的图象位于(A)
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
4.若反比例函数 的图象经过点(1，2)，则这个函数图象的两支分别位于(B)
A.第二、第三象限 B.第一、第三象限 C.第三、第四象限 D.第二、第四象限
反比例函数的性质
5.已知双曲线 过点(3,y ),(1,y ),则下列结论正确的是(B)
D.不能确定
6.关于反比例函数 下列结论正确的是(C)
A.图象分别位于第二、第四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
7.已知反比例函数的图象经过点 A(3，6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点 B(2,9),C(4,5)是否在这个函数的图象上
解：(1)∵点A(3，6)在第一象限，∴这个函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
(2)设反比例函数解析式为 即
∵点B的坐标满足 点C的坐标不满足
∴点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上.
8.关于反比例函数 下列说法不正确的是(D)
A.图象经过点(1,-3) B.图象位于第二、第四象限
C.图象经过点(3,-1) D. y随x的增大而增大
9.已知点A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数 的图象上，且 则下列结论一定正确的是(C)
10.若点A(x ,-3),B(x ,-2),C(x ,1)在反比例函数 的图象上,则x ,x ,x 的大小关系是(B)
A. B. C. D.
11.正比例函数y=x的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是3，则k的值是 9 ;当-312.已知反比例函数 (k为常数,k≠1).
(1)若其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，点P的纵坐标是2，求k的值；
(2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x ，y )，B(x ，y )，当 时，试比较x 与x 的大小.
解:(1)由题意,设点P的坐标为(m,2).∵点P在正比例函数y=x的图象上,∴m=2,
∴点P的坐标为(2，2).∵点P在反比例函数 的图象上， 解得k=5.
(2)∵在反比例函数 的图象的每一支上，y随x的增大而增大，∴k-1<0，解得k<1.
(3)∵反比例函数 的图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大.∵点A(x ,y )与点B(x ,y )在该函数的第二象限的图象上,且.
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13.已知反比例函数 的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2,a),点 B 是线段OA 上(不与点 A 重合)的一点.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l，l与 的图象交于点 D，当线段BD=3时，求点B 的坐标；
(3)如图2,将点A 绕点B 顺时针旋转90°得到点 E,当点E恰好落在 的图象上时，求点E的坐标.
解:(1)将A(2,a)代入y=3x得a=3×2=6,∴A(2,6).将A(2,6)代入 得 解得 k=12,∴反比例函数的解析式为
(2)设点B(m,3m),那么点 D(m+3,3m),∴3m(m+3)=12,解得 (舍去),∴B(1,3).
(3)过点B作FH∥y轴,过点E作EH⊥FH于点H,过点A作AF⊥FH于点F,则∠EHB=∠BFA=90°,∴∠HEB+∠EBH=90°.∵点A绕点B 顺时针旋转90°,∴∠ABE=90°,BE=BA,∴∠EBH+∠ABF=90°,∴∠BEH=∠ABF,∴△EHB≌△BFA(AAS).∴EH=BF,BH=AF.
设点B(n,3n),则EH=BF=6—3n,BH=AF=2—n,∴E(6—2n,4n—2).
∵点E在反比例函数的图象上,∴(4n-2)(6—2n)=12,解得 (舍去)。
∴E(3,4).
第 2课时 反比例函数性质的综合运用
反比例函数中k的几何性质
1.如图，过反比例函数 的图象上一点A 作AB⊥x轴于点B，连接AO.若 2,则k的值为 4 .
2.如图,点P ,P 在双曲线 上,矩形OAP B的面积是6,则矩形ODP E的面积是 6 .
3.如图，点A，B是双曲线 上的点，过A，B两点分别向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1,则
4.(2025山东)如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数 的图象经过点 B，则满足y≥2的x的取值范围为(A)
A.0反比例函数图象的对称性
5.双曲线 关于原点O 中心 对称，关于直线y= x 成轴对称.
6.已知反比例函数 的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于A，B两点.若点A 的坐标是(1,2),则点 B 的坐标是 (-1,-2) .
7.如图，一直线经过原点O，且与反比例函数 相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴,垂足为C,连接BC.若△ABC的面积为8,则k= 8 .
8.如图，若反比例函数 的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,且△AOB 的面积为6,则k= -12 .
9.如图，反比例函数 的图象经过 ABCO 的顶点A,OC 在x 轴上.若点B(-1,3),S□ABCO=3,则k的值为 -6 .
10.如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，点A 的横坐标为-1.当 时，x的取值范围是( C )
A. x<-1或x>1 B. x<-1或0C.-11 D.-111.(2025广西)如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足.BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线 的一支上.若点A 的坐标为(4, ),求第三级阶梯的高EF的值.
解：∵点A(4, 在双曲线 上， ∴反比例函数的解析式为 ∵BC=1且BC与x轴平行,AB与y轴平行,点A坐标为((4, ),
∴点C的横坐标比点A 的横坐标小1，即横坐标为3.
∵点C在双曲线 上,∴点C的坐标为(3,2).同理,DE=1,则点E的横坐标为2,
把x=2代入 则.y=3,∴点E坐标为(2,3). FG=1,则点G的横坐标为1,
把x=1代入 则.y=6，∴点G坐标为(1，6).观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标,即EF=6-3=3.
12.如图，双曲线 经过A,B两点,连接OA,AB,过点B作BD⊥y轴,垂足为D,BD交OA 于点E,且E为AO 的中点,求△AEB的面积.
解:过点A作AM⊥y轴,垂足为M,连接OB,则 ∵E是OA 的中点,即OE=AE,而DE∥AM,
即
∴BD=2AM,

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