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2.3 二次根式
一．选择题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．x3 x2＝x6
C．（﹣3x3）2＝9x6 D．（a﹣b）2＝a2+b2
2．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列二次根式的化简，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≤0 D．x≥0
5．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是（　　）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
6．若1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x B．x C．x D．x
7．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（　　）
A．2a B．2a C． D．
8．若x2+y2＝1，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
10．若是二次根式，则下列说法正确的是（　　）
A．x≥0，y≥0 B．x≥0且y＞0 C．x，y同号 D．0
二．填空题
1．若与最简二次根式能合并，则m的值为　 　 ．
2．已知是整数，则正整数n的最小值为　 　 ．
3．若3﹣x，则x的取值范围是　 　 ．
4．计算：的结果为 　 　 ．
5．已知1＜x＜2，，则的值是　 　 ．
三．解答题
1．计算
（1）（21）2+（2）（2）
（2）（2）6．
2．已知x＝2，y＝2，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
3．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
4．观察下列各式：①2，②3；③4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　 ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　 ；
（3）请证明（2）中的结论．
5．【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：
∵a2，a﹣2．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：　 　 ；
（2）计算： 　 　 ；
（3）若a，求3a2﹣12a﹣1的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：根据同类二次根式的合并规则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项分析判断如下：
对选项A，∵与不是同类二次根式，不能直接合并相加，∴A错误；
对选项B，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得x3 x2＝x3+2＝x5≠x6，∴B错误；
对选项C，∵积的乘方，将每个因式分别乘方，得（﹣3x3）2＝（﹣3）2 （x3）2＝9x6，∴C正确；
对选项D，∵根据完全平方公式，得 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2+b2，∴D错误．
故选：C．
2．【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数是小数，即可以化为分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数1，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：A．原式，故本选项不符合题意；
B．原式，故本选项不符合题意；
C．原式，故本选项不符合题意；
D．原式＝5，故本选项符合题意．
故选：D．
4．【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3．
故选：A．
5．【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：D．
6．【解答】解：由题意可知：
解得：x
故选：C．
7．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴
＝a（a）
．
故选：D．
8．【解答】解：因为x2+y2＝1，
所以﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
因为，
其中y﹣2＜0，所以x+1≤0，
又因为﹣1≤x≤1，
所以x+1＝0，x＝﹣1，
所以y＝0，
所以原式
＝2+0
＝2．
故选：C．
9．【解答】解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，
∴x＜0，
∴原式
|x|
（﹣x）
．
故选：D．
10．【解答】解：依题意有0，即0．
故选：D．
二．填空题
1．【解答】解：由题意可得：
与是同类二次根式，可得m+1＝2，
解得m＝1．
故答案为：1．
2．【解答】解：∵是整数，n是正整数，
∴n+5是完全平方数，
∵大于5的最小完全平方数是9，
∴n+5＝9，
解得n＝4．
故答案为：4．
3．【解答】解：∵3﹣x，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
4．【解答】解：原式＝3，
，
＝1，
故答案为：1．
5．【解答】解：∵（）2＝x﹣1﹣2
＝x3，
又∵，
∴（）2＝4，
又∵1＜x＜2，
∴0，
∴2．
故填：﹣2．
三．解答题
1．【解答】解：（1）原式＝12﹣41+3﹣4
＝12﹣4
（2）原式23
＝363
＝﹣6．
2．【解答】解：（1）∵x＝2，y＝2，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；
（2）∵x＝2，y＝2，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝4×（﹣2）
＝﹣8．
3．【解答】解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；
（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
4．【解答】解：（1）5；
（2）（n+1）；
（3）
＝（n+1）．
故答案为：（1）5；
（2）（n+1）．
5．【解答】解：（1）1．
故答案为：；
（2）原式......
1......
1
＝10﹣1
＝9．
故答案为：9；
（3）∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2

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