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1.2 菱形的性质与判定
一、选择题
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，若AB=5，AO=3，则BD的长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
3.如图，菱形ABCD中，若∠C=110°，则∠ABD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．35° D．45°
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．28
6．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　）
A． B． C．12 D．24
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（　　）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
二、填空题
1．如图， ABCD的两条对角线相交于点O．已知 ABCD的面积为24，BD的长为8，当AO的长为　 　 时， ABCD是菱形．
2．如图，在菱形ABCD中，已知AD＝5，DE⊥AB交AB于点E，且DE＝3，则线段DB的长为　 　 ．
3．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　 ．
4．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF，则对角线BD的长为 　 　 .（结果保留根号）
三、解答题
1．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
2．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝ODBD，
∵AB=5，AO=3，
∴OB＝=4
∴BD=2OB=8，
故选：B．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C+∠ABC=180°，∠ABD=∠CBD=∠ABC，
∵∠C=110°，
∴∠ABD=35°，
故选：C．
4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCDAC BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝4.5，
故选：B．
5．【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∵EF，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OAAC，OBBD＝2，
∴AB，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
6．【解答】解：如图，设AC，BD相交于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE1（cm），
∴CE＝BE＝1cm，
∴AC＝AB＝2cm，
∵OA＝1cm，AC⊥BD，
∴OB（cm），
∴BD＝2OB＝2cm，
∴AC：BD＝1：．
故选：D．
7．【解答】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AOAC8＝4，
BOBD6＝3，
由勾股定理得到，AB5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB DHAC BD，
即5DH8×6，
解得DH．
故选：A．
8．【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：C．
二、填空题
1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，
∵菱形ABCD的面积AC BD＝24，BD＝8，
∴AC＝6，
∴OAAC＝3，
∴当AO的长为3时， ABCD是菱形．
故答案为：3．
2．【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
∵AD＝5，DE＝3，
∴AE4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝1，
由勾股定理得到DB．
故答案为：．
3．【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC AE＝23＝6．
故答案为：6．
4．【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH，
∴DB＝2，
故答案为2．
三、解答题
1．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE＝6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG＝BE sin60°＝63，
∴S菱形BCFE＝BC EG＝6×318．
2．【解答】解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GEAE＝1，AGGE，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG，
∴ABBG

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