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2.2 一元二次方程的解法
一．选择题
1．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
2．用配方法解方程x2-2/3x﹣1＝0时，应将其变形为（　　）
A．（x-1/3）2=8/9 B．（x+1/3）2=10/9
C．（x-2/3）2＝0 D．（x-1/3）2=10/9
3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜9/4 B．m≤9/4 C．m＞9/4 D．m≥9/4
4．x=(-5±√(5^2+4×3×1))/(2×3)是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0
C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
5．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
6．已知a+1/b=2/a+2b≠0，则a/b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定
7．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
8．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2
9．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b^2-4ac=(2ax_0+b)^2；
⑤若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
12．一元二次方程x2＝2x的根是　 　 ．
13．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则1/a+c的值等于　 　 ．
14．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　 　 ．
15．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝　 　 ．
三．解答题
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
17．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
20．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　 法达到　 　 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．





答案
一．选择题
1．【解答】解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．【解答】解：∵x2-2/3x﹣1＝0，
∴x2-2/3x＝1，
∴x2-2/3x+1/9=1+1/9，
∴（x-1/3）2=10/9．
故选：D．
3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜9/4．
故选：A．
4．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x=(-5±√(5^2-4×3×1))/(2×3)，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x=(5±√(5^2-4×3×1))/(2×3)，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x=(5±√(5^2+4×3×1))/(2×3)，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x=(-5±√(5^2+4×3×1))/(2×3)，符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．

6．【解答】解：两边同乘以a，得到：a2+（1/b-2b）a﹣2＝0，
解这个关于a的方程得到：a＝2b或a=-1/b，
∵a+1/b≠0，
∴a≠-1/b，
∴a＝2b，即a/b=2．
故选：C．
7．【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
8．【解答】解：把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程，
∵关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，
∴x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2，
∴x1＝0，x2＝5，
即方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝5．
故选：B．
9．【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
解得：x＝4或x＝2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选：A．
10．【解答】解：根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系逐项分析判断如下：
①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的根，方程有实根，因此判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确，符合题意；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则该方程判别式Δ_1=0^2-4ac=-4ac＞0，即﹣4ac＞0；
对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac，
∵b2≥0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
因此方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，代入得ac2+bc+c＝0，整理得c（ac+b+1）＝0；
当c＝0时，等式成立，但ac+b+1＝b+1不一定等于0，故③错误，不符合题意；
④若x0是方程ax2+bx+c＝0的根，则ax_0^2+bx_0+c=0，两边同乘4a得4a^2 x_0^2+4abx_0+4ac=0，
配方整理得b^2-4ac=(2ax_0+b)^2，故④正确，符合题意；
⑤若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac＞0；
当c＝0时，方程cx2+bx+a＝0变为bx+a＝0，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误，不符合题意；
综上，正确的说法共3个．
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞1/2且k≠1．
故答案为：k＞1/2且k≠1．
12．【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
13．【解答】解：根据题意得：
Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：c﹣2=-1/a，
则1/a+c＝2，
故答案为：2．
14．【解答】解：设a+b＝x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8＝0，
整理，得16x2﹣8x﹣8＝0，即2x2﹣x﹣1＝0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x1=-1/2，x2＝1．
则a+b的值是-1/2或1．
故答案为：-1/2或1．
15．【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案为：6．
三．解答题
16．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±√13，
∴x1＝3+√13，x2＝3-√13；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴x1=2/3，x2＝2．
17．【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
18．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
19．【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，
解得m＜6且m≠2；

（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8＝0，
∴（3x+4）（x+2）＝0，
∴x1=-4/3，x2＝﹣2．
20．【解答】解：（1）换元，降次

（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．

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