资源简介

2.4 应用一元二次方程
一．选择题
1．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
2．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）
A．7m B．8m C．9m D．10m
5．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　）
A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m
7．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
二．填空题
1．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　 ．
2．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 　 　 ．
3．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是　 　 ．
4．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 　 　 人．
5．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：　 　 ．
三．解答题
1．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
2．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
3．如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．
（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝　 　 （用含x的代数式表示）；
（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
4．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP＝　 　 cm，BQ＝　 　 cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？
答案
一．选择题
1．【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
2．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
3．【解答】解：设这种植物主干长出x个枝干，则枝干上共长出x2个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
4．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
5．【解答】解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b），
而a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
∴b，而b不能为负，
∴b．
故选：B．
6．【解答】解：设BC长为xm，则AB的长为（10+1﹣x）m，
根据题意得，（10+1﹣x）x＝15，
解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去），
答：BC长为5m，
故选：C．
7．【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：D．
8．【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
9．【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，
解得：x＝6或x＝﹣8（舍去），
则x的值为6．
故选：B．
10．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
二．填空题
1．【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（9﹣2x） （5﹣2x）＝12，
故填空答案：（9﹣2x） （5﹣2x）＝12．
2．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故答案为：11．
3．【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
4．【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．
故答案为：10．
5．【解答】解：∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，
∴平均每天可售出（100+20x）箱．
依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
三．解答题
1．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
2．【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
（60﹣x+2）x＝480，
x2﹣62x+960＝0，
解这个方程得：x1＝32，x2＝30，
∵墙EF最长可利用28米，
而28＜30＜32，
∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去，
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．
3．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a；
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x 2430，
解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米．
故答案为：．
4．【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2＝3.2．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
5．【解答】解：（1）由题意，得
AP＝6cm，BQ＝12cm．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝12cm，
∴BP＝12﹣6＝6cm．
故答案为：6、12．
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
设BD＝x，
当∠PQB＝90°时，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝12﹣x，BQ＝2x，
∴12﹣x＝2×2x，
∴x，
当∠QPB＝90°时，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴2x＝2（12﹣x），
x＝6
答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；
（3）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB＝90°，
∴∠DQB＝30°，
∴DBBQ＝x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQx，
∴，
解得；x1＝10，x2＝2，
∵x＝10时，2x＞12，故舍去
∴x＝2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2．

展开更多......

收起↑