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第二章 一元二次方程
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x+y＝1 B．x2+x＝0 C． D．1﹣2x＝x
2．x2＝（﹣2）2，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
3．若关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．±3
4．设α，β是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则α+β的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
5．一元二次方程x2＝2x的根是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
6．对于一元二次方程2x2﹣x﹣4＝0，下列说法不正确的是（　　）
A．两根之和为
B．两根之积为﹣2
C．有两个不相等的实数根
D．无实数根
7．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
8．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．30%
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一次项系数是 　 　 ．
10．在△ABC中BC＝8，，AB＝b，且关于x的方程x2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根，则AB边上的中线长为 　 　 ．
11．一元二次方程（x+3）2＝1的解是 　 　 ．
12．把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2+n＝0形式，则n＝　 　 ．
13．等腰三角形一边长是5，另一边长是方程x2﹣5x+6＝0的根，则该等腰三角形的周长为 　 　 ．
14．如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为 　 　 cm．
三．解答题（共7小题，满分80分，第15题10分，第16题8分，第17题12分，第18题10分，第19题12分，第20题14分，第21题14分）
15．解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝8；
（2）x2+x＝1．
16．已知关于x的方程2x2﹣（m+2）x+5﹣m＝0的一个根为1，求它的另一个根及m的值．
17．在长为8cm、宽为5cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
18．“吸烟有害健康！”国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策，现在知道某品牌的香烟每条的市场价格为70元，不加收附加税时，每年销售110万条．若国家征收附加税，税率为x%（即每销售100元，征附加税x元），则每年的销售量将减少10x万条．要使每年对此项经营所收取附加税为168万元，问税率应确定为多少？
19．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
（2）你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案．
20．某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
21．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
（1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
（3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
答案
一、选择题
1．【解答】解；A、x+y＝1含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2+x＝0是一元二次方程，符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、1﹣2x＝x未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
∴x2＝4，
∴x＝±2．
故选：C．
3．【解答】解：∵关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴|a|﹣1＝2，
解得：a＝±3，
∴a的值为±3．
故选：D．
4．【解答】解：由条件可知α+β＝5，
故选：C．
5．【解答】解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2．
故选：C．
6．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴两根之和为，两根之积为2．
故选：D．
7．【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
8．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：25（1﹣x）2＝16，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去），
即平均每次降价的百分率为20%，
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一次项系数是﹣4．
故答案为：﹣4．
10．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4b＝64﹣4b＝0，
∴AB＝b＝16，
∵BC＝8，，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴AB边上的中线长，
故答案为：8．
11．【解答】解：（x+3）2＝1，
方程的两边都乘3，得（x+3）2＝3，
∴x+3．
∴x＝﹣3．
∴x1＝﹣3，x2＝﹣3．
故答案为：﹣3或﹣3．
12．【解答】解：原方程移项得x2+6x＝5，
两边加上一次项系数一半的平方（即9）得x2+6x+9＝14，
∴（x+3）2﹣14＝0，
与形式（x+m）2+n＝0比较，得n＝﹣14．
故答案为：﹣14．
13．【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
当x＝2时，三角形的三边为5、5、2，此时周长为12；
当x＝3时，三角形三边的长为3、3、5或3、5、5，此时周长为11或13；
综上，该等腰三角形的周长为11，12或13．
故答案为：11，12或13．
14．【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，
依题意得：（80+2x）（50+2x）＝5400，
整理得：x2+65x﹣350＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣70（舍去）．
故答案为：5．
三、解答题
15．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝8，
x﹣1＝±2，
所以x1＝1+2，x2＝1﹣2；
（2）x2+x＝1，
x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x，
∴x1，x2．
16．【解答】解：根据题意，得2﹣（m+2）+5﹣m＝0，
解得m，
设另一个根为x，
则x 1，
解得x，
∴另一个根为，
∴它的另一个根为，m．
17．【解答】解：设截去小正方形的边长为xcm，
根据题意得：4x2＝8×5×（1﹣80%），
解得：x1，x2（不合题意，舍去）．
答：截去小正方形的边长为cm．
18．【解答】解：设要使每年对此项经营所收取附加税为168万元，税率应确定为x%，
70×（110﹣10x）×x%＝168，
解得，x1＝3，x2＝8，
答：要使每年对此项经营所收取附加税为168万元，税率应确定为3%或8%．
19．【解答】解：（1）不符合．
设小路宽度均为xm，根据题意得：
（16﹣2x）（12﹣2x）12×16，
解这个方程得：x1＝2，x2＝12．
但x2＝12不符合题意，应舍去，
∴小芳的方案不符合条件；
（2）答案不唯一．
例如：
左边的图形，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；
右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．
20．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将点（25，70），（35，50）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+120；
（2）由题意得：（﹣2x+120）（x﹣20）＝600，
解得：x1＝30，x2＝50，
∵商场规定这种商品每件售价不得高于40元，
∴x＝30，
∴商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为30元．
21．【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元，
∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050．
∴x＝5或x＝25．
又∵优惠最大，
∴x＝25．
∴此时售价为100﹣25＝75（元）．
答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
（3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下：
根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，
∴x2﹣30x+200＝0．
∴x1＝10，x2＝20．
∵每件T恤衫的利润率不低于55%，
∴100﹣x﹣60≥60×55%．
∴x≤7．
∴x无解．
∴小明每天不能获得1200元的利润．

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