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第一章 特殊平行四边形
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．一组邻边相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每组邻边都相等的四边形是正方形
2．（5分）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（　　）
A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
3．（5分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠A=120°时，AC等于（　　）
A． B． C． D．2
4．（5分）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5.（5分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（　　）
A．AB=AC B．AB=BC C．BE平分∠ABC D．EF=CF
6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9cm，AD＝12cm，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E，则ED的长为（　　）
A． B． C．2cm D．
7．（5分）如图，过矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，AF平分∠BAD交EC的延长线于点F，若BD＝8，则CF的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．（5分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知，，则BF的长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．1
（5分）如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若正方形A，C的面积分别为4和3，则正方形B的面积为（　　）
A．6 B．23 C．7 D．120
10.（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=3，BC=4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＞∠B，且两锐角之差是12°，取AB中点D，连结CD，则∠ADC＝　 　 ．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC的长为 ．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．若AC＝4，AB＝5，则四边形ADCF的面积是　 　 ．
14.（4分）如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF．若点E，A，G在同一直线上，EG=8，BC=7，则△ABC的面积为 .
15．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝11，E在AB边上，F在BC边上，且BF＝3，将EF绕着点F顺时针旋转90°得到GF，连接DG，则DG的长的最小值为　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分80分）
16．（12分）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求证AE与DF的位置关系和数量关系．
17.（10分）如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝3，现将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在对点C'处，BC'交AD于点E．
（1）试说明DE＝BE；
（2）求AE的长．
18．（12分）已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，∠A＝90°．求证：四边形ABCD是正方形．
19．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若∠ACB＝60°，平行线AF与BC间的距离为，求菱形ADCF的面积．
20．（16分）如图， ABCD中，点G是线段BC的中点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠CDG＝∠FDG．
（1）若∠A＝45°，∠ADF＝75°，，求线段BC的长；
（2）求证：AB＝BF+DF．
21．（16分）如图1，在 ABCD中，点O是边AD的中点，连接BO并延长，交CD的延长线于点E，连接BD、AE．
（1）求证：四边形AEDB是平行四边形；
（2）若∠BDC＝90°，DC＝4，BC＝5，动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿EC向终点C运动，设点P运动的时间为t（t＞0）秒．若点Q为直线AB上的一点，当P运动时间t为何值时，以B、C、P、Q构成的四边形可以是菱形？
答案
一、选择题
1．【解答】解：对于选项A，
∵两组对边互相平行的四边形是平行四边形，
∴选项A不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项B不正确，不符合题意；
对于选项C，
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项C正确，符合题意；
对于选项D，
∵每组邻边都相等，且有一个角是直角的四边形是正方形
∴选项D不正确，不符合题意，
故选：C．
2.【解答】解：如图，
∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选：B．
【解答】解：连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB=BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2．
故选：D．
4．【解答】解：由图可得，∠BAC＝90°，BC＝8﹣2＝6（cm），
∵点D为线段AB的中点，
∴ADBC＝3（cm），
故选：A．
5.【解答】解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE=BC，EF=AB，
∴DE=EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形，
当EF=FC，可证EF=BF，可得四边形DBFE是菱形，
故C、D不符合题意，
故选：A．
6．【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝9cm，AD＝12cm，
∴CD＝AB＝9cm，OA＝OC，∠ADC＝90°，
设ED＝acm，
∴AE＝AD﹣ED＝（12﹣a）cm，
∵OE⊥AC，交AD于点E，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝（12﹣a）cm，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝CD2+ED2，
∴（12﹣a）2＝a2+92，
解得：a，
∴ED＝a．
故选：A．
7．【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AD∥BC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝∠OCB＝∠OBC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF∠BAD＝45°，
∴∠CAF＝45°﹣∠OAD，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠OBC，
∴∠ECO＝90°﹣2∠OBC＝2（45°﹣∠OBC）＝2∠CAF，
∵∠ECO＝∠CAF+∠CFA，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴CA＝CF＝BD＝8，
故选：C．
8．【解答】解：如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，过E作MN⊥AD于M，交BC于N，
∴∠MAB＝∠ABN＝90°，∠MDE＝∠EBN＝45°，∠DMN＝∠AMN＝90°，
∴四边形MNBA是矩形，
∴∠BNE＝90°，AM＝BN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴EN＝BN，
∴AM＝EN，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠MAE+∠MEA＝∠FEN+∠MEA＝90°，
∴∠MAE＝∠FEN，
在△ENF和△AME中，
，
∴△ENF≌△AME（ASA），
∴FN＝ME，，
∵∠MDE＝45°，∠DME＝90°，
∴△DME是等腰直角三角形，且，
∴，
∴FN＝1，
在直角三角形AEM中，∠AME＝90°，，ME＝1，
由勾股定理得：，
∴BN＝AM＝3，
∴BF＝BN﹣FN＝3﹣1＝2．
故选：C．
9．【解答】
解：如图，
∵A、B、C都是正方形，
∴DF=FH，∠DFH=90°，
∵∠DFE+∠HFG=∠EDF+∠DFE=90°，
∴∠EDF=∠HFG，
在△DEF和△FGH中，
，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE=FG，EF=HG，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2=DE2+EF2=DE2+HG2，
∴SB=SA+SC=4+3=7，
故选：C．
10．【解答】解：∵AB=3，BC=4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC===5，
∴AO=DO=AC=，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即3=AO×EO+DO×EF，
∴3=××EO+××EF，
∴5（EO+EF）=12，
∴EO+EF=，
故选：C．
二、填空题
11．【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＞∠B，且两锐角之差是12°，
∴∠A﹣∠B＝12°，
∴∠A＝51°，∠B＝39°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD＝39°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝78°，
故答案为：78°．
12.【解答】解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
又∵AC、BD相等且互相平分，
∴△ABO为等边三角形，
因此AC=2AO=2AB=2×2.5=5．
故答案为：5
13．【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∵AD为BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABCAB AC5×4＝10．
故答案为：10．
14.【解答】解：∵四边形ABED和四边形ACGF是正方形，
∴∠EAB=∠GAC=45°，
∵E，A，G在同一直线上，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
设AB=x,AC=y,
∵EG=8，BC=7，
∴x2+y2=72，x+y=8，
∴x+y=8，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy=64，
∴2xy=15，
∴xy=，
∴△ABC的面积=AB AC=xy=，
故答案为：．
15．【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝11，∠B＝90°
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝3，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为3的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝11﹣3＝8，
∴DG的最小值为8，
故答案为：8．
三、解答题
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
在△DAF和△ABE中，
，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
（2）解：由（1）知△DAF≌△ABE，
∴AE＝DF，∠ADF＝∠BAE，
∵∠BAE+∠DAO＝90°，
∴∠ADF+∠DAO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AE⊥DF且AE＝DF．
17．【解答】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由翻折的性质可知∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴DE＝BE．
（2）设BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，
∵∠A＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得，
∴，
∴．
18．【解答】证明：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，
∵∠A＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠CBD＝∠ABD＝45°，∠CDB＝∠ADB＝45°，∠C＝∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝90°，∠ADC＝∠CDB+∠ADB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，
又∵AB＝CB＝AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形．
19．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，且AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CDBC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝90°，AG＝4，
∵AD＝CD，∠ACB＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∠CAG＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴AC＝2CG，DG＝CG，
∵AGCG＝4，
∴CG＝4，
∴CD＝2CG＝8，
∴S菱形ADCF＝CD AG＝8×432，
∴菱形ADCF的面积是32．
21．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝45°，AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝135°，
∵∠ADF＝75°，
∴∠CDF＝135°﹣75°＝60°，
∵∠CDG＝∠FDG，
∴∠CDG＝∠FDG＝30°，
作GH⊥CD于H，如图1所示：
则DHGH，CH＝GH，CGGH，
∵CD＝DH+CH，CD＝3，
∴GH+GH＝3，
解得：GH，
∴CGGH，
∵点G是线段BC的中点，
∴BC＝2CG＝2；
（2）证明：延长DG交AF的延长线于M，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDG＝∠M，
∵∠CDG＝∠FDG，
∴∠M＝∠FDG，
∴DF＝MF，
∵点G是线段BC的中点，
∴BG＝CG，
在△CDG和△BMG中，
，
∴△CDG≌△BMG（AAS），
∴CD＝BM，
∵AB＝CD，BM＝BF+MF，
∴AB＝BF+DF．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△AOB和△DOE中，
，
∴△AOB≌△DOE（AAS），
∴BO＝EO，
∴四边形AEDB是平行四边形．
（2）解：∵∠BDC＝90°，DC＝4，BC＝5，
∴BD3，
∵四边形AEDB和四边形ABCD都是平行四边形，
∴DE＝AB＝DC＝4，
∴CE＝2DE＝8，
∵EP＝t，
∴PC＝8﹣t，
如图2，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形，且点P与点Q在直线BC同侧，则PC＝BC，
∴8﹣t＝5，
解得t＝3；
如图3，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形，且点P与点Q在直线BC异侧，则PB＝PC＝8﹣t，
∵BD2+PD2＝PB2，且PD＝t﹣4，
∴32+（t﹣4）2＝（8﹣t）2，
解得t，
综上所述，当运动时间t为3秒或秒时，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形．

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