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第2章 有理数及其运算
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）计算：3×（﹣4）＝（　　）
A．﹣7 B．﹣12 C．7 D．12
3．（3分）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．6
4．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
5．（3分）数轴上与2的距离等于3个单位的点表示的数是（　　）
A．0或5 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣5 D．﹣2或5
6．（3分）下列各组数中，结果相等的是（　　）
A．﹣12与（﹣1）2 B．与（）3
C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2） D．（﹣3）3与﹣33
7．（3分）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记“+”，低于80分记“﹣”，将某小组五名同学的成绩简记为+10，﹣4，﹣7，+11，0，这五名同学的平均成绩应为（　　）
A．81分 B．82分 C．90分 D．92分
8．（3分）若实数a满足|a|＝a，则a是（　　）
A．正数 B．正数和零 C．负数 D．负数和零
9．（3分）若，则ab的值为（　　）
A． B． C． D．﹣8
10．（3分）计算（﹣2）÷（）×（﹣2）的结果是（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
11．（3分）下列说法中：①两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；②立方等于本身的数是±1；③一个数的倒数小于这个数；④任何一个有理数的2倍大于这个有理数；⑤下列代数式：a+1，a2，a2﹣1，|a|，a2+1，（a+1）2，1﹣（﹣a）3中值一定为正的只有一个．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（3分）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图．|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|的结果为（　　）
A．﹣2b B．2b C．0 D．﹣2b﹣2c
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
1．（3分） 　 　 ．
2．（3分）某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得﹣1分，不选得零分，王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是 　 　 ．
3．（3分）已知|x|＝3，|y|＝7，且|x+y|＝x+y，则y﹣x的值为　 　 ．
4．（3分）已知a+b+c＝0，abc≠0，则代数式的值为 　 　 ．
5．（3分）计算：　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分49分）
1．（4分）把下列各数填在相应的大括号内：
5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159，，0.1010010001……（每两个1之间逐次增加一个0）．
正数集：{　 　 …}；
非负整数集：{　 　 …}；
负分数集：{　 　 …}；
有理数集：{　 　 …}．
2．（5分）在如图所示的数轴上表示下列各数：，﹣2.5，﹣4，0，3，并用“＜”号将这些数连接起来．
3．（8分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．（8分）数轴上的定点A，B表示的数分别是a,b,且满足（a-6）2+|b+4|=0．
（1）a= ，b= ；A，B间的距离为 ；
（2）数轴上一点C距点A为7个单位长度，其表示的数c满足|ac|=-ac.求点B，C之间的距离.
5．（6分）元朝时期人们已经把正负数作为一个专门的数学研究科目，朱世杰在《算学启蒙》一书中还写出了正负数的乘法法则，这是人们对正负数研究迈出的新的一步．小云学习了有理数的运算后，在计算（﹣5）﹣（﹣5）（﹣5）时，她的解法如下：
解：原式＝﹣5﹣（）÷（）①
＝﹣5﹣1②
＝﹣6③
请回答：
（1）小云的解法有错误，错误处是 　 　 （填序号），错误原因是 　 　 ；
（2）请写出正确的解答过程．
6．（8分）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +10 ﹣12 ﹣4 +8 ﹣1 +60 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 　 　 个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 　 　 个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，小明妈妈这一周的工资总额与原来相比 　 　 ．（填“增加了”“减少了”“不变”）
7．（10分）阅读下列材料：
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝|x1﹣x2|．根据上述材料，解决下列问题：已知数a、b、c在数轴上表示的数分别是点A、点B、点C，且a，b，c满足a＝﹣b，|a+1|+（c﹣4）2＝0．
（1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ；并在数轴上表示出A、B、C三个点；
（2）AC＝ 　 　 个单位长度；若点M在A、C之间，则|m+1|+|m﹣4|＝ 　 　 ；
（3）若|m+1|+|m﹣4|＝8，则m＝ 　 　 ；
（4）代数式|m+1|+|m﹣1|+|m﹣4|的最小值等于 　 　 ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：的相反数是．
故选：B．
2．【解答】解：3×（﹣4）＝﹣12．
故选：B．
3．【解答】解：|﹣5|＝5，|﹣1|＝1，|2|＝2，|6|＝6．
1＜2＜5＜6，
∴表示﹣1的点距离原点最近．
故选：B．
4．【解答】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
5．【解答】解：当点在表示2的点的右边时，表示的数是2+3＝5，
当点在表示2的点的左边时，表示的数是2﹣3＝﹣1．
故选：B．
6．【解答】解：A、﹣12＝﹣1，（﹣1）2＝1，所以选项结果不相等，
B、，（）3，所以选项结果不相等，
C、﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，所以选项结果不相等，
D、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，所以选项结果相等，
故选：D．
7．【解答】解：80+（10﹣4﹣7+11+0）÷5＝80+2＝82．
故选：B．
8．【解答】解：∵|a|＝a，
∴a≥0，
即a是正数或零，故B正确．
故选：B．
9．【解答】解：∵，
∴0，b﹣3＝0，
∴a，b＝3，
∴ab，
故选：A．
10．【解答】解：（﹣2）÷（）×（﹣2）
＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
＝﹣8，
故选：A．
11．【解答】解：①两个正数相加，和一定为正数；两个负数相加，和一定为负数，正确；
②立方等于本身的数是有0和±1，错误；
③一个数的倒数不一定小于这个数，比如：1的倒数等于1，错误；
④有理数的2倍不一定大于这个有理数，比如﹣2的2倍小于﹣2，错误；
⑤这些式子中一定为正的只有a2+1，正确；
故选：A．
12．【解答】解：由所给数轴可知，
a+b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，
所以原式＝﹣a﹣b﹣b+c﹣c+a＝﹣2b．
故选：A．
二．填空题
1．【解答】解：∵，，
又∵，即，
∴．
故答案为：＜．
2．【解答】解：∵选对一道得（5分），选错一道得﹣（1分），不选得零分．
∴他的得分是16×5﹣2＝78．
故本题答案为：78．
3．【解答】解：根据题意可知，x＝±3，y＝±7，
∵|x+y|＝x+y，
∴x+y≥0，
当x＝3，y＝7时，x+y＝3+7＝10＞0，符合题意，此时y﹣x＝7﹣3＝4，
当x＝3，y＝﹣7时，x+y＝3+（﹣7）＝﹣4＜0，不符合题意；
当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4＞0，符合题意，此时y﹣x＝7﹣（﹣3）＝7+3＝10；
当x＝﹣3，y＝﹣7时，x+y＝﹣3+（﹣7）＝﹣10＜0，不符合题意．
故答案为：4或10．
4．【解答】解：∵a+b+c＝0，abc≠0，
∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
∴，
当a＞0，b＞0，c＞0时，原式1+（﹣1）+（﹣1）+1＝﹣2；
当a、b、c中有一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
原式1+1+（﹣1）+1＝2；
当a、b、c中有两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，
原式1+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣2；
当a＜0，b＜0，c＜0时，原式1+1+1+（﹣1）＝2；
综上，原式的值是2或﹣2，
故答案为：2或﹣2．
5．【解答】解：
．
故答案为：．
三．解答题
1．【解答】解：正数集：{5，1.4，，0.1010010001…}；
非负整数集：{5，0…}；
负分数集：{﹣3.14159，，}；
有理数集：{ 5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159…}．
故答案为：5，1.4，，0.1010010001；5，0；﹣3.14159，，；5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159．
2．【解答】解：如图所示：
，
用“＜”号将这些数连接起来为：﹣4＜﹣2.5＜03．
3．【解答】解：（1）原式
＝9+12+16﹣18﹣22
＝﹣3；
（2）原式
＝17；
（3）原式
＝（﹣21.5﹣0.5﹣5）÷9
＝（﹣27）÷9
＝﹣3；
（4）原式
＝﹣14+6
＝﹣8．
【解答】解：（1）（a-6）2+|b+4|=0，
∵|b+4|≥0，（a-6）2≥0，
∴b+4=0，解得b=-4，
a-6=0，解得a=6，
∴AB=|a-b|=|6-（-4）|=10，
故答案为：6，-4，10；
（2）由（1）可知a=6＞0．
因为|ac|=-ac,所以ac＜0或ac=0，所以c＜0或c=0．
因为点C距点A 7个单位长度，
所以c=6+7=13或c=6-7=-1，
又因为c≤0，所以点C在数轴上表示的数为c=-1
所以点B，C之间的距离为|-1-（-4）|=|-1+4|=3．
5．【解答】解：（1）小云的解法有错误，错误处是①，错误原因是：运算顺序错误；
故答案为：①，运算顺序错误；
（2）正确的解答过程如下：
原式＝﹣5﹣（﹣5）10×（﹣5）
＝﹣5﹣25
＝﹣30．
6．【解答】解：（1）20﹣4＝16（个），
故答案为：16；
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+60）+0＝10﹣12﹣4+8﹣1+60＝61，
∴小明妈妈本周实际生产玩具总数为：140+61＝201（个），
故答案为：201；
（3）201×5+（10+8+60）×3+（12+4+1）×（﹣2）＝1205（元），
故小明妈妈这一周的工资总额是1205元；
（4）201×5+61×3＝1005+183＝1188（元），
∵1188＜1205，
∴小明妈妈这一周的工资总额与原来相比减少了，
故答案为：减少了．
7．【解答】解：（1）∵|a+1|+（c﹣4）2＝0，而|a+1|≥0，（c﹣4）2≥0，
∴a+1＝0，c﹣4＝0，
解得a＝﹣1，c＝4，
又∵a＝﹣b，而a＝﹣1，
∴b＝1，
故答案为：﹣1，1，4；
（2）AC＝|﹣1﹣4|＝5，当点M在A、C之间时，|m+1|+|m﹣4|＝AM+CM＝AC＝5，
故答案为：5，5；
（3）当m＜﹣1时，|m+1|+|m﹣4|＝8，
∴﹣m﹣1﹣m+4＝8，
解得m＝﹣2.5，
当m＞4时，|m+1|+|m﹣4|＝8，
∴m+1+m﹣4＝8，
解得m＝5.5，
综上所述m＝﹣2.5或m＝5.5，
故答案为：﹣2.5或5.5；
（5）代数式|m+1|+|m﹣1|+|m﹣4|所表示的几何意义是数轴上表示数m的点到表示数﹣1，1，4三点距离之和，
所以当m＝1时，数轴上表示数m的点到表示数﹣1，1，4三点距离之和最小，
即代数式|m+1|+|m﹣1|+|m﹣4|的值最小，
这个最小值为|﹣1﹣5|＝5，
故答案为：5．

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