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　　充要条件
(时间:45分钟　分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)已知集合M,N,则“M∩N=M”是“M∪N=N”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(5分)“(a-b)2+|b-c|=0”是“a=b=c”的　　条件. (　　)
A.充要
B.必要不充分
C.既不充分也不必要
D.充分不必要
3.(5分)(2025·岳阳高一检测)“x>3”是“3(x-1)≥2x+1”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(5分)(2025·濮阳高一检测)某生命科学研究所通过研究发现,当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时,可认定为轻微肥胖;当一个人的肥胖指数大于28时,可认定为严重肥胖,且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种,据上述文字叙述可以得知 (　　)
A.严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件
B.严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件
C.严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件
D.严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件
5.(5分)(多选)下列四个选项中,p是q的充要条件的有 (　　)
A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等
B.p:两个三角形全等,q:两个三角形三边对应相等
C.p:xy>0,q:x>0,y>0
D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分
6.(5分)(多选)(2025·深圳高一检测)若“xk+2”是“-4A.-7 B.-5 C.1 D.4
7.(5分)写出两个三角形全等的两个充要条件:
①　　　　　　　　　　　　　;
②　　　　　　　　　　　　　.
8.(5分)(2025·上海高一检测)若集合P={1,2,3,4},Q={x|0　　条件.
9.(5分)设p:x≥a,q:3x-6≥0,且p是q成立的充要条件,则a的值是　　.
10.(10分)下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
(2)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形;
(3)p:x=1或x=2,q:x-1=;
(4)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实数根.
【综合应用练】
11.(5分)(2025·上海高一检测)若α:{2} B {2,3,4},β:B={2,3,4},则α是β的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(5分)(多选)四个电路图如图所示,条件p:“开关S闭合”,条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是 (　　)
13.(5分)已知x,y为两个正整数,p:x=2且y=3,q:x+y=5,则p是q的　　条件.
14.(10分)求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”.
15.(10分)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
(参考公式:m3+n3=(m+n)(m2-mn+n2);(m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3)
答案解析
【基础全面练】
1.(5分)已知集合M,N,则“M∩N=M”是“M∪N=N”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为M∩N=M,所以M N,因为M∪N=N,所以M N,
所以“M∩N=M”是“M∪N=N”的充要条件.
2.(5分)“(a-b)2+|b-c|=0”是“a=b=c”的　　条件. (　　)
A.充要
B.必要不充分
C.既不充分也不必要
D.充分不必要
【解析】选A.若(a-b)2+|b-c|=0,等价于,即a=b=c,
即“(a-b)2+|b-c|=0”与“a=b=c”等价,
所以“(a-b)2+|b-c|=0”是“a=b=c”的充要条件.
3.(5分)(2025·岳阳高一检测)“x>3”是“3(x-1)≥2x+1”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由题意3(x-1)≥2x+1 x≥4,所以“x>3”是“3(x-1)≥2x+1”的必要不充分条件.
4.(5分)(2025·濮阳高一检测)某生命科学研究所通过研究发现,当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时,可认定为轻微肥胖;当一个人的肥胖指数大于28时,可认定为严重肥胖,且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种,据上述文字叙述可以得知 (　　)
A.严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件
B.严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件
C.严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件
D.严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件
【解析】选A.由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24,但肥胖指数大于24,不大于28时不能推出严重肥胖,因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件.
5.(5分)(多选)下列四个选项中,p是q的充要条件的有 (　　)
A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等
B.p:两个三角形全等,q:两个三角形三边对应相等
C.p:xy>0,q:x>0,y>0
D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分
【解析】选AB.三角形是等腰三角形,则两底角相等,从而存在两角相等;反之,当三角形中有两角相等时,所对的边相等,即为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件,故A符合题意;
根据全等三角形的定义,可知三边对应相等;反之,当三边对应相等时,根据边边边的判定定理,可知两个三角形全等,故“两个三角形全等”是“两个三角形三边对应相等”的充要条件,故B符合题意;
当xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充分条件,故C不符合题意;
正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充分不必要条件,故D不符合题意.
6.(5分)(多选)(2025·深圳高一检测)若“xk+2”是“-4A.-7 B.-5 C.1 D.4
【解析】选ACD.因为“xk+2”是“-4k+2},所以k≥1或k+2≤-4,即k≥1或k≤-6.
【易错提醒】解答本题容易因思考不周到而漏掉一种情形.
7.(5分)写出两个三角形全等的两个充要条件:
①　　　　　　　　　　　　　;
②　　　　　　　　　　　　　.
答案:①两个三角形的三边对应相等　②两个三角形的两边及其夹角对应相等(答案不唯一)
8.(5分)(2025·上海高一检测)若集合P={1,2,3,4},Q={x|0【解析】由题意得1,2,3,4均满足大于0且小于5,故充分性成立,易得当x=时,满足x∈Q,但不满足x∈P,故必要性不成立.
9.(5分)设p:x≥a,q:3x-6≥0,且p是q成立的充要条件,则a的值是　2　.
【解析】因为3x-6≥0,解得x≥2,所以q:x≥2,又因为p:x≥a,p q,
所以{x|x≥2}={x|x≥a} a=2.
10.(10分)下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
【解析】(1)因为|x|=|y|x=y,但x=y |x|=|y|,所以p是q的必要不充分条件.
(2)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形;
【解析】(2)因为四边形的对角线互相平分四边形是矩形;四边形是矩形 四边形的对角线互相平分,所以p是q的必要不充分条件.
(3)p:x=1或x=2,q:x-1=;
【解析】(3)因为x=1或x=2 x-1=;
x-1= x=1或x=2,
所以p是q的充要条件.
(4)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实数根.
【解析】(4)因为m>0 Δ=1+4m>0,即方程有实数根;
而方程x2+x-m=0有实根,即Δ=1+4m≥0m>0,所以p是q的充分不必要条件.
【综合应用练】
11.(5分)(2025·上海高一检测)若α:{2} B {2,3,4},β:B={2,3,4},则α是β的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为{2} B {2,3,4},所以B={2},{2,3},{2,4},{2,3,4},
故α是β的必要不充分条件.
12.(5分)(多选)四个电路图如图所示,条件p:“开关S闭合”,条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是 (　　)
【解析】选AD.A,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p q,但qp,所以p是q的充分不必要条件.
B,p q,所以p是q的充要条件.
C,开关S,S1与灯泡L串联,所以pq,q p,所以p是q的必要不充分条件.
D,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p q,但qp,所以p是q的充分不必要条件.
13.(5分)已知x,y为两个正整数,p:x=2且y=3,q:x+y=5,则p是q的　充分不必要　条件.
【解析】若x=2且y=3,则x+y=5成立;
反之当x=1,y=4时,满足x+y=5,但x=2且y=3不成立,即p q,qp,故p是q的充分不必要条件.
14.(10分)求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”.
【证明】先证明必要性:
因为方程ax2+bx+c=0有一个根为2,把x=2代入方程ax2+bx+c=0中可得4a+2b+c=0,所以必要性成立.
再证明充分性:
因为4a+2b+c=0,所以c=-4a-2b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-4a-2b=0,
即(x-2)(ax+2a+b)=0,故方程ax2+bx+c=0有一个根为2,所以充分性成立.
综上可知,“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”.
15.(10分)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
(参考公式:m3+n3=(m+n)(m2-mn+n2);(m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3)
【证明】a3+b3+ab-a2-b2=0 (a+b)(a2+b2-ab)-(a2+b2-ab)=0 (a+b-1)(a2+b2-ab)=0,
而ab≠0,所以a2+b2-ab=+>0,
所以当ab≠0时,(a+b-1)(a2+b2-ab)=0 a+b-1=0 a+b=1,
综上所述,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

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