资源简介

2025-2026学年广东省广州市执信中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合，N={-2，-1，0，1，2}，则M∩N=（　　）
A. {-2，-1} B. {-1，0，1，2} C. {1，2} D. {0，1，2}
2.10个数据1，3，4，5，5，7，9，11，13，16的75%分位数是（　　）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
3.下列说法正确的是（　　）
A. B. x∈Z，2x2-5x+3＜0
C. x,y∈R，2x2+2y2≥（x+y）2 D.
4.在△ABC中，，AC=2BC=2，现以AB所在直线为轴，将其余两边旋转一周形成曲面并围成一个封闭几何体，则该几何体的表面积为（　　）
A. B. C. 2π D.
5.若，则tan（π+θ）=（　　）
A. B. C. 3 D. -3
6.在四面体OABC中，点M满足，N在BC上，若，则x-y=（　　）
A. 0
B.
C.
D.
7.在正四棱锥P-ABCD中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（　　）
A. 4：1 B. 3：1 C. 5：2 D. 2：1
8.我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图象关于点P（a,b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.依据推广结论，给定函数，设其对称中心为（m,n），则m+n=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设是平面上三个两两不相等的单位向量，，则下列说法正确的有（　　）
A. 若，则
B.
C. 若，则在上的投影向量为
D. 若，则
10.盒中有5个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有1，2，3，两个白球上分别写有1，2.从中不放回地随机取出两个小球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出的两个球上的数字相同”，事件C为“取出的两个球上的数字之和小于4”，那么（　　）
A. B. P（AB）=P（B） C. D. 事件A与C相互独立
11.已知f（x）=sin|x|+|cosx|，以下说法正确的有（　　）
A. f（x）是偶函数 B. f（x）的最小正周期为2π
C. f（x）的最小值为-1 D. 方程f（x）=-log3x|x|恰有6个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足iz=3+i（i为虚数单位），则|z|= .
13.如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距20米的两个测量基点C与D.现测量得∠BCD=30°，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为45°，60°，若河宽至少12米，则塔高AB= 米.
14.（不能建系）已知正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1，P，Q，R是其表面三点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若D为AC的中点.
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）若AB1⊥BC1，求三棱锥B1-BDC1的体积.
16.(本小题15分)
学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数：
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,已知.
（1）求证：b2+c2=2a2；
（2）若bc=20，，设D为BC边的中点，求AD的长.
18.(本小题17分)
如图，在多面体ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，A1A⊥平面ABC，A1A∥B1B，C1C∥B1B，AA1=2BB1=4，CC1=3，记A1B1的中点为O.
（1）证明：C1O⊥平面ABB1A1；
（2）设D为棱A1C1上的动点，
（i）若DA1=2DC1，求D到AB的距离；
（ii）求B1D与平面A1BC1所成角的正弦值的最大值.
19.(本小题17分)
设t＞0，函数y=f（x）的定义域为R.若对满足x2-x1≥t的任意x1，x2，均有f（x2）-f（x1）＞t,则称函数y=f（x）具有“P（t）性质”.
（1）在下述条件下，分别判断函数y=f（x）是否具有P（2）性质，并说明理由；
①；
②y=10sin2x；
（2）已知f（x）=ax3，且函数y=f（x）具有P（1）性质，求实数a的取值范围；
（3）证明：“函数y=f（x）-x为增函数”是“对任意t＞0，函数y=f（x）均具有P（t）性质”的充要条件.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：连结B1C交BC1于E，连结DE，
∵D，E分别为AC和B1C的中点，
∴AB1∥DE，又AB1 平面BC1D，DE 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D

16.【答案】2 71，
17.【答案】由，
得到，所以2asin（C+B）=2asinA=bsinB+csinC，
由正弦定理得2a2=b2+c2，即b2+c2=2a2

18.【答案】证明：如图，取AB的中点I，连接OI，IC．
因为A1A⊥平面ABC，A1A∥B1B，C1C∥B1B，
所以B1B⊥平面ABC，C1C⊥平面ABC．
因为O为A1B1的中点，I为AB的中点，AA1=2BB1=4，
所以在直角梯形ABB1A1中，，OI∥BB1．
因为C1C∥B1B，CC1=3，所以CC1=OI，CC1∥OI；所以平行四边形ICC1O是平行四边形．
所以IC∥OC1．
因为A1A⊥平面ABC，A1A 平面ABB1A1，
所以平面ABC⊥平面ABB1A1．
因为△ABC是等边三角形，I为AB的中点，所以IC⊥AB．
因为平面ABB1A1∩平面ABC=AB，IC 平面ABC，所以IC⊥平面ABB1A1．
因为IC∥OC1，
所以C1O⊥平面ABB1A1
（i）；（ii）
19.【答案】①是，理由如下：因为对任意x2-x1≥2，
，符合定义；因此，函数具有P（2）性质．
②不是，理由如下：
令，
f（x2）-f（x1）=10sin3π-10sinπ=0＜2，
故y=10sin2x不具有P（2）性质
（4，+∞）
证明：充分性：
若函数y=f（x）-x为增函数，则对任意x2＞x1均有f（x2）-x2＞f（x1）-x1，
即f（x2）-f（x1）＞x2-x1，因此，对任意t＞0，若x2-x1≥t，
则f（x2）-f（x1）＞t，函数y=f（x）具有P（t）性质，充分性得证；必要性：
若对任意t＞0，函数y=f（x）均具有P（t）性质，
假设函数y=f（x）-x不是增函数，则存在x2＞x1，满足f（x2）-x2＜f（x1）-x1，
即f（x2）-f（x1）＜x2-x1，而x2-x1＞0，
故存在t0＞0，使x2-x1≥t0，且f（x2）-f（x1）＜t0，即f（x2）-f（x1）＜t0＜x2-x1，
即对于t0＞0，存在x2-x1≥t0，但是f（x2）-f（x1）＜t0，
与“对任意t＞0，函数y=f（x）均具有P（t）性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数y=f（x）-x为增函数，必要性得证．
综上，“函数y=f（x）-x为增函数”是“对任意t＞0，函数y=f（x）均具有P（t）性质”的充要条件
第1页，共1页

展开更多......

收起↑