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2025-2026学年河北省邢台市质检联盟高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. i B. -i C. i D. -i
2.数据2，3，5，7，9，m的极差为8，则m=（　　）
A. 1 B. 10 C. 1或10 D. -6或17
3.已知向量=（m+1，2m），=（3，1），=（3，5）.若∥（+），则m=（　　）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
4.某智能园林水肥一体化设备共有6个水肥浓度调节档位，依次编号为1，2，3，4，5，6.养护人员先后随机独立选定两个档位（档位可重复选择）调试浇灌，则选定的两个档位的数字之和为6的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为x轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（　　）
A. B. C. D.
6.掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚朝上的点数是奇数”，B=“第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（　　）
A. 互斥 B. 对立 C. 相互独立 D. 相等
7.在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面ABC，底面ABC为正三角形，AB=2，，二面角A-BC-P为60°，则PD=（　　）
A. B. C. 4 D. 3
8.如图，某同学为了测量千寻塔的高度，在千寻塔的正东方向找到一座相邻的古建筑AB，高约为46m,在两建筑之间的地面上取点E（B，E，N三点在同一水平面上且共线），在E处测得楼顶A与塔顶M的仰角分别为45°和60°，在楼顶A处测得塔顶M的仰角为15°，则千寻塔的高度MN约为（　　）
A. 66m B. 69m C. 72m D. 75m
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲、乙、丙在某次测试中射箭20次，三人的测试成绩如表所示，则（　　）
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
A. 甲这20次测试成绩的方差最大 B. 丙这20次测试成绩的标准差最小
C. 甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数相等 D. 甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数相等
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b=5，c=7，且7sinB+5sin2C=0，则（　　）
A. a=3 B. C. D.
11.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=12，CD=5，F在BC上，E，H均在AD上，AE=HD=3.将矩形ABFE沿EF翻折至四边形MEFN的位置，将Rt△DHC沿直线HC翻折至△PHC的位置，如图2所示，连接MH，NC，PF，且∠MEH=∠PHE=60°，K在MH上，则（　　）
A. 平面FNC⊥平面EFCH B. FK+KP的最小值为
C. 几何体PHMEFNC共有8个面 D. 几何体PHMEFNC外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=m-4i的模为5，且m＞0，则= .
13.设，是两个单位向量，且在上的投影向量为-，则与-的夹角为 .
14.已知某圆锥的底面直径为6，母线长为5，在该圆锥内放入一个球，则该球的表面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，，，.
（1）证明：BC∥平面ADD1A1
（2）求该正四棱台的体积.
16.(本小题15分)
某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动.在新一期研习活动中，研究院对100名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]），已知3b=7a.
（1）求a,b的值.
（2）估计此次修习评分在[70，90）内的参训人数.
（3）将评分77分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于60%，则判定本期研习活动达标，试问本期活动是否达标？并阐述理由.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE为梯形，BC⊥BE，CD∥BE，BC=CD=3，AB=BE=6，H为棱AE的中点.
（1）求异面直线DH与AB所成角的大小.
（2）证明：DE⊥平面ABD.
（3）求直线DE与平面BDH所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
设整数n≥2，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检1件产品，至多抽检n次，当且仅当抽到1件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为p（0＜p＜1），各件产品是否为次品相互独立.记X为停止抽检时抽检的产品件数.
（1）当n=5，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于3的概率P（X＜3）；
（2）当n=3时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p；
（3）当n＞2k（k∈N*）时，记停止抽检时抽检的产品件数大于2k的概率为P（X＞2k），停止抽检时抽检的产品件数大于k的概率为P（X＞k），证明：P（X＞2k）=[P（X＞k）]2.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,点D在△ABC内，DB=DC，2∠BAD=∠BCA，.
（1）证明：CD平分∠BCA.
（2）证明：∠BDC=π-∠ACB且∠ADB=π-∠ABC.
（3）若c=10，证明.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】3+4i
13.【答案】
14.【答案】9π
15.【答案】证明：根据正四棱台的性质可得BC∥AD，
又BC 平面ADD1A1，AD 平面ADD1A1，
所以BC∥平面ADD1A1
28
16.【答案】
75
超过60%的人的修习评分在77分及以上，即为40%分位数大于或等于77，
因为修习评分在[60，70）内的频率为0.15＜0.4，修习评分在[60，80）内的频率为0.5＞0.4，所以40%分位数在[70，80）内．
所以，可以估计40%分位数为，
所以有超过60%的人的修习评分在77分及以上，本期活动达标
17.【答案】
证明：因为，，
所以BD2+DE2=BE2，所以BD⊥DE．
因为AB⊥平面BCDE，DE 平面BCDE，所以AB⊥DE，又AB∩BD=B，
所以DE⊥平面ABD

18.【答案】
证明：当n＞2k时，X＞k说明前k次均未抽到次品，则P（X＞k）=（1-p）k，
X＞2k说明前2k次均未抽到次品，则P（X＞2k）=（1-p）2k，
因为（1-p）2k=[（1-p）k]2，所以P（X＞2k）=[P（X＞k）]2
19.【答案】因为，
所以，
即，
即cos∠DCB=cos∠DCA，
因为∠BCA∈（0，π），所以∠DCB=∠DCA，
即CD平分∠BCA
设∠BAD=θ，则∠DCB=∠DCA=∠DBC=θ，∠BDC=π-2θ=π-∠ACB，
在△ABD中，∠BDA=π-∠ABD-θ=π-∠ABC
在△BCD中，由正弦定理和诱导公式可得：
，
在△ABD中，由正弦定理和诱导公式可得：
，
所以，即asin∠ABC=csin∠ACB，
根据正弦定理得ab=c2，即ab=100，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立
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