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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§3.2探索三角形相似的条件
一、选择题（每小题3分 共30分）
1．（本题3分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似．
B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似．
C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似．
D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似．故选:C
2．（本题3分）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意；
故选：D
3．（本题3分）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
解：在和中，为公共角．
选项A：∵，且，
∴根据两角对应相等，两个三角形相似，；
选项B：∵，且，
∴根据两角对应相等，两个三角形相似，；
选项C：∵，即，且，
∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，；
选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件，
∴不能判定．
故选：D．
4．（本题3分）能判定的条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意；
选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意；
选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意
选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意
故选：B ．
5．（本题3分）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④
解：第一个三角形的边长分别为：，2，；
第二个三角形的边长分别为：，，；
第三个三角形的边长分别为：2，，；
第四个三角形的边长分别为：，3，；
∵，对应边成比例的是①和③．
故选：A．
6．（本题3分）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（）
A． B．
C． D．
解：，
，即，
A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则；
B、添加，根据两角对应相等，则；
C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似；
D、添加，根据两角对应相等，则；
故选：C．
7．（本题3分）如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
解：设米，则米，
又，
，
整理得：．故选:A
8．（本题3分）如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、，，
，
故A选项不符合题意；
B、，，
，
故B选项不符合题意；
C、，，
，
故C选项不符合题意；
D、，，
不能判定，
故D选项符合题意；
故选：D．
9．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两个等腰三角形相似
C．两个等腰直角三角形相似
D．有一个角是的两个等腰三角形相似
解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故A错误；
B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等，
∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误；
C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等，
∴两个等腰直角三角形相似，故C正确；
D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等，
∴不一定相似，故D错误．故选:C
10．（本题3分）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
解：①如图所示，
∵，，
∴，符合题意；
②如图所示，
∵，且，即，
∴，符合题意；
③如图所示，
∵，，
∴，符合题意；
④如图所示，
该图中给出条件无法得出阴影部分的三角形与原相似；
综上，阴影部分的三角形与原相似的有3对，
故选：B．
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（本题3分）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____
解：∵是斜边上的高，于点，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
在和中，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴图中与相似的三角形有个．
12．（本题3分）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似．
解：当时，，
即，
解得，
当时，，
即，
解得，
故答案为：或．
13．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）．
解：∵在Rt中，．
∴
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：相似 ．
14．（本题3分）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________．
解：∵，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴当时，成立，
又∵，
∴．故答案为：
15．（本题3分）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）．
解：①两个等腰三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意；
②两个直角三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意；
③两个等边三角形的三个内角都等于，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似；故符合题意；
④两副三角板中的含角的直角三角形的三个内角分别为，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似，故符合题意；
⑤各有一个内角是的两个等腰三角形，可能一个是底角为，另一个是顶角为，则这两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意；
其中一定相似的是③④，
故答案为：③④．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，．
求证：
(1)．
(2)若，求的值．
(1)证明：∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴
∴．
∵在中，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在中，．
∴．
17．（本题7分）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知．
(1)求证：：
(2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积．
(1)证明：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，且相似比为，
∴，
∵，
∴．
18．（本题8分）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来．
(1)；
(2)．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
19．（本题8分）如图，，，点B是线段上的一点，且．

(1)证明：；
(2)若，，．求线段的长．
(1)证明：，，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
解得．
20．（本题8分）如图，线段与相交于点P，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
(1)证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．（本题9分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使．
(1)若添加的条件为，求证：；
(2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）；
①；②；③．
(3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长．
（1）证明：四边形是菱形，
，
，
又，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
∴可添加，使；
（3）解：四边形是菱形，
，
又，
，即，
，
∵，，，
，
即菱形的边长为．
22．（本题9分）综合与实践
实验操作
(1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形；
拓展应用
(2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：．
(1)解：如图，如图，连接并延长，以点为圆心以为半径画弧，交的延长线与点，
∵点O为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形．点D即为所求，
(2)证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§3.2探索三角形相似的条件
一、选择题（每小题3分 共30分）
1．（本题3分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题3分）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）能判定的条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
5．（本题3分）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④
6．（本题3分）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两个等腰三角形相似
C．两个等腰直角三角形相似
D．有一个角是的两个等腰三角形相似
10．（本题3分）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（本题3分）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____
12．（本题3分）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似．
13．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）．
14．（本题3分）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________．
15．（本题3分）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，．
求证：(1)．(2)若，求的值．
17．（本题7分）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知．
(1)求证：：
(2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积．
18．（本题8分）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来．
(1)；
(2)．
19．（本题8分）如图，，，点B是线段上的一点，且．

(1)证明：；
(2)若，，．求线段的长．
20．（本题8分）如图，线段与相交于点P，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．（本题9分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使．
(1)若添加的条件为，求证：；
(2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）；
①；②；③．
(3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长．
22．（本题9分）综合与实践
实验操作
(1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形；
拓展应用
(2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：．
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