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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§3.4相似三角形的性质
一、选择题（每小题3分 共30分）
1．（本题3分）如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（本题3分）如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
5．（本题3分）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（本题3分）如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
9．（本题3分）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ）
A．1 B．6 C．4 D．2
10．（本题3分）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（本题3分）两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______．
12．（本题3分）如图，在中，，则的长度为___________．
13．（本题3分）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m．
14．（本题3分）如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________．
15．（本题3分）如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长．
17．（本题7分）如图，在中，为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（本题8分）如图，在中，点D是上一点，且，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．（本题8分）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
20．（本题8分）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
(1)若，，，求EF的长；
(2)若，，，求BE的长．
21．（本题9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为______．
(2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______．
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：．
22．（本题9分）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，求正方形的边长．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§3.4相似三角形的性质
一、选择题（每小题3分 共30分）
1．（本题3分）如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴．故选：B
2．（本题3分）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
3．（本题3分）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
解得，
故答案为：B．
4．（本题3分）如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
解：∵，
∴
∴，
∴．
故选：B．
5．（本题3分）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
解：设旗杆高度为米，
∵身高:影长旗杆高:旗杆影长，
∴，
∴，
∴旗杆高
故选：A．
6．（本题3分）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：点、分别是、的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
．故选：C
7．（本题3分）如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵
∴，，故A，C正确
∵
∴
∴，故D正确，
不一定成立，
故选：B．
8．（本题3分）如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
解：一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，
设新三角形为，
，
，
锐角的正弦值没有变化，
故选：C．
9．（本题3分）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ）
A．1 B．6 C．4 D．2
解：将沿翻折后，点A落在点处，
，．
为的中点，
，
，
．
，
，
，
，
，
．故选：D
10．（本题3分）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，∴，，，
∴，，∴，
∴，∴，
∴．故选：B
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（本题3分）两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______．
解：两个相似三角形的面积之比为，
两个相似三角形的相似比为，
这两个三角形对应高比为．
12．（本题3分）如图，在中，，则的长度为___________．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
13．（本题3分）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m．
解：，，
，
，
，
，
，
，
解得（m）．
故答案为：12．
14．（本题3分）如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________．
解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
15．（本题3分）如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，，即，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长．
解：，，
，
，
，，，
，
．
17．（本题7分）如图，在中，为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
(1)证明：，
；
（2）解：由（1）知，
∴，
，
∴，
．
18．（本题8分）如图，在中，点D是上一点，且，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
证明;(1)∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
解（2）：∵，
∴，即，
∴．
19．（本题8分）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
(1)证明：，
，
、，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
20．（本题8分）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
(1)若，，，求EF的长；
(2)若，，，求BE的长．
（1）解：∵，∴，
∵，，，
∴，∴；
（2）解：过点A作交于点G，交于点H，
∵，
∴四边形均为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，
∴．
21．（本题9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为______．
(2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______．
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：．
（1）解：∵正方形，
∴．，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设与交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
(3)证明：过点C作交的延长线于点H，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
即．
22．（本题9分）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，求正方形的边长．
(1)证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
(2)解：，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴．
(3)
（3）解：如图，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵正方形的边长为6，
∴，，，，
∵是正方形的中心，
∴点在上，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
即正方形的边长为．
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