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13.2《 与三角形有关的线段》同步练习
一、单选题
1．以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（ ）
A．线段是中边上的高
B．线段是中边上的高
C．线段是中边上的高
D．线段是中边上的高
3．若，，是的三边，化简：（ ）
A．0 B． C． D．
4．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
6．一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可）
7．如图，，与交于点，，，，则的长是______．
8．如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______．
9．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______．
10．如图，在中，为边上的中线．
（1）若的周长比的周长大4，，则___________；
（2）若的面积为17，则的面积为___________；
（3）若，，则的面积的最大值为___________．
三、解答题
11．已知，，是的三边长．
(1)若，试判断的形状．
(2)化简：．
12．按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，7，m，化简．
13．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)过点作线段且；
(4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度．
14.如图，在 ABC中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O．
(1)若是中线，，则与的周长差为______．
(2)若，是 ABC的高，求的度数．
15.数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知 ABC的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
16．如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究．
【观察发现】
(1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）；
【初步探究】
(2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论；
【拓展应用】
(3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积．
17.【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值．
参考答案
一、单选题
1．D
解：A. ，不能组成三角形；
B. ，不能组成三角形；
C. ，不能组成三角形；
D. ，能组成三角形．
2．C
解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求；
B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求；
C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求；
D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求．
3．B
解：∵是的三边，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴原式
．
4．A
解：∵是的边上的高，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵是的中线，
∴．
5．D
解：等腰的周长为，一边长为，
∴分两种情况讨论：
当为腰长时，底边长为，
，
∴满足三角形三边关系，
依题意，和谐比；
当为底边长时，腰长为，
，
∴满足三角形三边关系，
依题意，和谐比；
综上：等腰的“和谐比”为或，
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴，
∴，
∵为偶数，
∴的值为或．
7．
解：，即，
以为底时，的高为，
，
，即，
以为底时，的高为，
，
∴，
∴，
把，，代入得：
．
8．
解：连接，四边形可拆分为和，
设的面积为，
点是的中点，
，
∵和等高
，
是上靠近的三等分点，
，
和等高，
，
，，
，
和等高，
，
∵，
，
解得：．
9．①③④
解：∵在中，，为边上的高，，
∴，故①正确，符合题意；
∵P为上一动点，
∴的值不确定，
∴不一定与相等，故②错误，不符合题意；
当时，，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
由垂线段最短得，当时，的值最小，此时，
∴，
∴的最小值为，故④正确；
综上所述，正确结论的序号是①③④．
10． 5 12
解：（1）∵在中，为边上的中线，
∴，
∵的周长比的周长大4，
∴，
∴，即，
∵，
∴联立，
解得．
（2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17，
∴．
（3）如图，过点作于点，
∵，
∴的面积为，
∴要使得的面积最大，则需的值最大，
由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立），
∵，
∴，
∴的最大值为4，
∴的面积的最大值为．
三、解答题
11．（1）解：∵，
，且，
，
为等边三角形．
（2）解：∵，，是的三边长，
∴，，，
∴：．
12．（1）解：∵ ，，，
∴ ，即．
又∵为偶数，
∴．
∴的周长为．
（2）解：∵的三边长分别为，，，
∴，即．
∴，，．
∴原式
．
13．（1）解：的边上的高如图所示；
（2）解：的边上的中线如图所示；
（3）解：如图，线段即为所作；
（4）解：的面积，
设点到直线的距离为h，则，即
解得．
14.（1）解：∵是 ABC的中线，
∴，
∵，
∴与的周长差为；
（2）解：∵是角平分线，，
∴，
∵是 ABC的高，
∴，
∴，
∴．
15.（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴．
16.（1）解：∵是的中线，
∴，
∵和的高相等，
则两个三角形的面积相等；
(2)；
证明：∵是的中线，
∴是的中线，
∴,
同理可得：,,
设，，
∴,
∵
∴
∴
同理可知，，
∴
∴,,
∴
（3）连接，延长交于点，
由（2）可知，
∵，
∴,
同理可知,
∵，，
∴,,
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
17.（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
(2)猜想正确，
证明：如图，过点作于点，
∴，．
∴．
（3）连接，
设，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．即，
∴，
∴．
∴，．
∴．
∴的值为．

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